Ecuaciones diferenciales

Problema) y" - 2.y´ - 3.y = e^-x/2

Cálculo de las raíces:

La integral homogénea es:

y* = c₁.e³.^x + c₂.e^-1.x

Cálculo de la integral particular:

y = a.x⁵.e^-x

como

s = 1

y = a.x.e^-x

Sus derivadas son:

y´ = a.e^-x - a.x.e^-x

y" = -a.e^-x - (a.e^-x - a.x.e^-x)

y" = -a.e^-x - a.e^-x + a.x.e^-x

y" = -2.a.e^-x + a.x.e^-x

debe verificar:

(-2.a.e^-x + a.x.e^-x) - 2.(a.e^-x - a.x.e^-x) - 3.(a.x.e^-x) = e^-x/2

-2.a.e^-x + a.x.e^-x - 2.a.e^-x + 2.a.x.e^-x - 3.a.x.e^-x = e^-x/2

-2.a.e^-x - 2.a.e^-x + a.x.e^-x + 2.a.x.e^-x - 3.a.x.e^-x = e^-x/2

-4.a.e^-x = e^-x/2

-4.a = 1/2 

a = -1/8

La integral particular es:

y = -x.e^-x/8

Luego la integral general es:

y = y* + y 

y* = C₁.e³.^x + C₂.e^-1.x - x.e^-x/8