Introducción
La cuadratriz es una curva descubierta por los antiguos matemáticos griegos que resuelve dos de los problemas famosos de la época: la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo.
No sabemos quienes descubrieron sus propiedades,
pero autores antiguos la asocian con Dinóstrato, Nicomedes e Hipias.
En el libro IV de la ‘Colección Matemática’ de Pappus de Alejandría nos ha llegado una demostración de la propiedad de la cuadratriz que permite cuadrar el círculo, que presentamos aquí.
Usamos la notación 
para expresar ‘
es a 
como 
es a 
’,
en lugar de la notación de igualdad de fracciones, para intentar acercarnos a los conceptos de las antiguas matemáticas griegas.
Generación de la cuadratriz
Supongamos inscrito en el cuadrado 
un arco de circunferencia 
con centro . Sea un punto que parte de y se desplaza por el arco a velocidad uniforme. Sea 
un punto que parte de en el mismo momento que y se desplaza por el segmento 
a velocidad uniforme y de forma que el tiempo en que recorre es el mismo que el tiempo en que recorre el arco . Entonces, en cada instante, la longitud del segmento 
es a la longitud del segmento como la longitud del arco
es a la longitud del arco , lo que expresamos con la notación 
. El punto 
, en que se cortan la perpendicular a 
por y la recta
, describe la curva llamada cuadratriz.
Como con regla y compás podemos bisecar ángulos y obtener el punto medio de segmentos, podemos obtener con regla y compás puntos de la cuadratriz tan cercanos entre sí como queramos.
La división del ángulo
La cuadratriz permite inmediatamente dividir un ángulo en la misma proporción que un segmento y viceversa, es decir, reduce el problema de la división de un ángulo al de la división de un segmento. Se presume que éste fue el uso para el que se inventó en primer lugar la cuadratriz.
Si queremos dividir un ángulo 
según una razón dada 
, obtenemos el punto de intersección del ángulo con la cuadratriz, y a continuación el punto con 
perpendicular a . Obtenemos en 
un punto 
de forma que 
(Elementos VI.9) y a continuación el punto 
, intersección de la cuadratriz con la perpendicular a por . Por último obtenemos el punto 
, interseccion de 
con el arco .
Como por la definición de la cuadratriz y 
, resulta que 
, y hemos dividido el ángulo en la razón requerida.
La cuadratura del círculo
Si primero se concibió la cuadratriz para dividir ángulos, quizá fue una sorpresa descubrir que también resolvía el problema de la cuadratura del círculo. Para ello no hace falta la cuadratriz, sino solo el punto 
de intersección de la cuadratriz con la base 
. Ese punto no se produce como intersección de las rectas y 
en la primera figura, porque esas rectas coinciden cuando llegan a , y por tanto tenemos que definirlo como el punto límite al que tienden los puntos de la cuadratriz cuando y se acercan a .
La propiedad del punto que permite rectificar la circunferencia y cuadrar el círculo es que 
, o, dicho en palabras, la longitud del arco es a la longitud del segmento como la longitud del segmento es a la longitud del segmento 
.
Ello implica que si 
es la intersección de la paralela a 
que pasa por con la prolongación de , la longitud 
es igual a la longitud del arco (porque 
).
Entonces, puesto que el área de un sector circular es la mitad de la longitud del arco por el radio, si 
es el punto medio de , el área del sector circular 
es igual al área del rectángulo 
. Por tanto el área del círculo es 4 veces el área de ese rectángulo.
Y como podemos construir un cuadrado con área igual a un rectángulo dado (Elementos II.14), podemos cuadrar el círculo con regla y compás si nos dan el punto de la cuadratriz en el segmento .
Demostración
A continuación damos la demostración que da Pappus de la propiedad .
En existe un punto 
tal que 
.
Con centro y radio 
trazamos el arco de circunferencia 
. Entonces 
, porque las circunferencias son proporcionales a sus radios. Y como también 
, tenemos que es igual al arco .
Supongamos que el arco tiene un punto distinto de en la cuadratriz (figura de la izquierda). Por definición de la cuadratriz:
Como es igual a y es igual a , resulta que 
es igual a 
, lo que es absurdo. Por tanto
Supongamos ahora que la perpendicular a por tiene un punto distinto de en la cuadratriz (figura de la derecha).
Por definición de la cuadratriz, 
. Como es igual a y es igual a , resulta que 
es igual a 
, lo que es absurdo. Por tanto la perpendicular a por no tiene un punto en común con la cuadratriz, salvo quizá . Entonces no puede ser menor que .
Pero hemos visto que tampoco puede ser mayor, luego el punto es el punto , y entonces . como queríamos demostrar.
Obtener la ecuación de la cuadratriz en coordenadas polares y cartesianas no es difícil. A ver quién se atreve.
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