Aunque la teoría de cuerdas y la teoría M no han hecho todavía predicciones testables en experimentos de física de altas energías, podrían encontrar aplicaciones prácticas en la teoría de la información cuántica.
El entrelazamiento cuántico reside en el corazón de la teoría de la información cuántica (QIT en inglés), con aplicaciones en computación cuántica, teletransporte cuántico, criptografía y comunicación cuánticas.
En el aparente mundo separado de la gravedad cuántica, la radiación de Hawking también desempeña un papel central.
A pesar de las aparentes diferencias, resulta que hay una correspondencia entre ambos (Duff 2009; Kallosh & Linde 2010).
Siempre que se encuentra que dos áreas separadas de la física teórica comparten las mismas matemáticas, se obtienen nuevas perspectivas en ambas teorías.
De hecho, esta correspondencia ha resultado ser la punta del iceberg: el conocimiento de la teoría de cuerdas y la teoría M conduce a nuevos descubrimientos sobre QIT, y viceversa.
Entropía de Bekenstein-Hawking
Todo objeto, como una estrella, tiene un tamaño crítico determinado por su masa, que se llama radio de Schwarzschild.
Un agujero negro es cualquier objeto de menor radio que el de Schwarzschild. Algo que cae dentro del radio de Schwarzschild no puede escapar.
Esta frontera en el espacio-tiempo se denomina horizonte de sucesos.
Así, la imagen clásica de un agujero negro es la de un objeto compacto cuyo campo gravitatorio es tan fuerte que nada puede escapar de éste.
Pero en 1974 Stephen Hawking mostró que los agujeros negros cuánticos no son completamente negros, sino que pueden irradiar energía.
En ese caso, tienen que tener entropía.
La entropía es una medida del grado de desorden de un sistema, y de acuerdo a la segunda ley de la termodinámica, nunca puede disminuir.
Observando que el área del horizonte de sucesos de un agujero negro nunca puede disminuir, Jacob Bekenstein había sugerido anteriormente entonces, que los agujeros negros tenían que tener entropía.
Esta entropía de Bekenstein-Hawking de un agujero negro es igual a un cuarto del área del horizonte de sucesos.
La entropía también se puede interpretar estadísticamente como la medida del número de estados cuánticos disponibles.
Sin embargo, no fué hasta veinte años después que la teoría de cuerdas dió una explicación microscópica de este tipo para los agujeros negros.
Bits y trozos
Un bit en sentido clásico es la unidad básica de información en un ordenador y puede tomar los valores 0 y 1.
Un interruptor de luz es una buena analogía; puede estar encedido, 1, o apagado, 0. Un bit cuántico o “qubit” puede también tener dos estados.
Pero al ser cuántico, puede estar en un estado de superposición de 0 y 1 hasta que se hace una medida.
En mecánica cuántica, esto se llama superposición de estados.
Cuando hacemos una medida, encontraremos los valores 0 o 1, pero no podemos predecir con certeza cuál de los dos resultará; lo más que podemos hacer es asignar una probabilidad a cada resultado.
Hay muchas maneras diferentes de construir un qubit físico.
Las partículas elementales tienen espín.
Así que un ejemplo de un qubit sería una superposición de un electrón con espín “alto”, 0, y un electrón con espín “bajo”, 1.
Otro ejemplo de un qubit sería la superposición de las polarizaciones a izquierda y derecha de un fotón.
Entonces, un estado de un qubit, usualmente llamado Alice, es una superposición de Alice-espín-alto 0 y Alice-espín-bajo 1, representado por la línea en la fig. 1.
El estado más general de dos qubits, Alice y Bob, es una superposición de Alice-espín-alto–Bob-espín-alto 00, Alice-espín-alto–Bob-espín-bajo 01, Alice-espín-bajo–Bob-espín-alto 10 y Alice-espín-bajo–Bob-espín-bajo 11, representado por un cuadrado en la fig. 1.
Consideremos un estado especial de dos qubits que es 00+01.
Alice sólo puede medir espín alto pero Bob puede medir ambos, espín alto y espín bajo.
Esto se llama estado separable; la medida de Bob no está correlacionada con la de Alice.
Por contra, consideremos ahora 00+11. Si Alice mide espín alto, Bob también, y si Alice mide espín bajo, Bob lo hará igualmente.
Esto se llama estado entrelazado; Matemáticamente, el cuadrado en la fig. 1 forma una matriz 2 x 2 y un estado está entrelazado si la matriz tiene determinante no nulo.
Este es el origen de la famosa paradoja Einstein–Podolsky–Rosen (EPR) descrita en 1935.
Incluso si Alice está en Ginebra y Bob está a millones de kilómetros de distancia, en Alfa Centauri, la medida de Bob estará determinada por la de Alice.
No es de extrañar que Einstein la llamara “acción fantasmal a distancia”. EPR concluyeron correctamente que si la mecánica cuántica es correcta entonces la naturaleza es no local, y si imponemos realismo local entonces la mecánica cuántica debe ser incompleta.
El propio Einstein estuvo a favor de la última hipótesis.
Sin embargo, no fue hasta 1964 cuando el teórico del CERN John Bell propuso un experimento que podría decidir qué versión era la correcta – y no fue hasta 1982 cuando Alain Aspect realizó dicho experimento.
La mecánica cuántica estaba en lo cierto, Einstein no, y se tiró el realismo local por la ventana.
A medida que la QIT se desarrolló, el impacto del entrelazamiento iba más allá de la prueba de las bases conceptuales de la mecánica cuántica.
El entrelazamiento ahora es esencial para numerosas tareas en información cuántica como la criptografía cuántica, teletransporte cuántico y computación cuántica.
Hiperdeterminante de Cayley
Como teórico de altas energías trabajando en la gravedad cuántica, la teoría de cuerdas y la teoría M, había prestado poca atención a estos avances, incluso aunque mi oficina en el CERN en la década de 1980 estaba debajo de la de Bell.
Mi interés no surgió hasta 2006, cuando asistí a una clase del físico húngaro Peter Levay en una conferencia en Tasmania, que trataba de tres qubits, Alice, Bob, and Charlie, con lo que en total habían tres posibilidades, 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, representados por un cubo en la fig. 1. Wolfgang Dür y sus colegas de la Universidad de Innsbruck han mostrado que tres qubits pueden entrelazarse de varias formas físicamente diferentes: “tripartite GHZ (Greenberger–Horne–Zeilinger), tripartite W, biseparable A-BC, separable A-B-C and null”, como se muestra en el lado izquierdo del diagrama de la fig. 2 (Dür et al. 2000).
El estado GHZ se distingue por una cantidad no nula conocida como “3-tangle”, que mide el entrelazamiento genuino tripartite.
Matemáticamente, el cubo en la fig. 1 forma lo que en 1845 el matemático Arthur Cayley llamó una hipermatriz 2 × 2 × 2 y el “3-tangle” viene dado por la generalización de un determinante llamado hiperdeterminante de Cayley.
La razón por la que esto despertó mi interés fué que las ecuaciones de Levay me recordaron a un trabajo que había estado haciendo en un tema completamente diferente a mediados de la década de 1990 con mis colaboradores Joachim Rahmfeld y Jim Liu (Duff et al. 1996). Encontramos una solución de agujero negro particular que tiene 8 cargas (cuatro eléctricas y cuatro magnéticas) y contiene tres campos llamados S, T y U. Cuando regresé a Londrés desde Tasmania revisé mis viejas notas y me pregunté qué pasaría si identificaba S, T y U con Alice, Bob y Charlie de tal modo que las ocho cargas del agujero negro se identificaban con los ocho números que fijan el estado de los tres qubits.
Quedé gratamente sorprendido al encontrar que la entropía de Bekenstein–Hawking del agujero negro venía dada por el “3-tangle”: ambos estaban descritos por el hiperdeterminante de Cayley.
Octoniones y super qubits
De acuerdo con la supersimetría, para cada bosón conocido (espín entero, 0, 1, 2, etc.) hay un fermión (espín semientero 1/2, 3/2, 5/2, etc.), y viceversa.
El colisionador LHC del CERN buscará estas superpartículas.
El número de supersimetrías viene dado por N y va de 1 a 8 en 4 dimensiones espaciotemporales.
Sergio Ferrara del CERN, y yo, hemos extendido el modelo STU, que tiene N=2, al caso más general de agujeros negros en N=8, la supergravedad.
Hemos mostrado que el sistema correspondiente en teoría de información cuántica contiene siete qubits (Alice, Bob, Charlie, Daisy, Emma, Fred y George), sometidos como máximo a un entralazamiento “tripartite” específico como el mostrado por el plano de Fano de la fig. 3.
El plano de Fano tiene una extraña propiedad matemática: describe la tabla de multiplicar de un tipo de número particular: el octonión.
Los matemáticos clasifican los números en cuatro clases: reales, complejos (con una parte imaginaria), cuaterniones (con tres partes imaginarias) y octoniones (con siete partes imaginarias).
Los cuaterniones no conmutan (AB no es igual a BA). Los octoniones no conmutan y tampoco son asociativos ((AB)C no es igual a A(BC)).
Los números reales, complejos y cuaterniones se muestran en muchos contextos físicos.
La mecánica cuántica, por ejemplo, se basa en los números complejos y los operadores de electrón-espín de Pauli son cuaterniónicos.
Los octoniones han fascinado a los matemáticos y físicos durante décadas pero aún tienen que encontrarles una aplicación física.
En libros recientes, tanto Roger Penrose como Ray Streater han caracterizado los octoniones como una de las grandes “causas perdidas” de la física.
Por lo que deseamos que el entrelazamiento tripartite de siete qubits (que es justo el límite de lo que se puede alcanzar experimentalmente) demostrará que estaban equivocados y proporcionará una forma de ver los efectos de los octoniones en el laboratorio (Duff and Ferrara 2009; Borsten et al. 2010a).
En otro desarrollo, la QIT ha sido extendida a super-QIT con la introducción del superqubit, que pueden tomar tres valores: 0 ó 1 ó $. Aquí 0 y 1 son “bosónicos” y $ es “fermiónico” (Borsten et al. 2009b).
Tales valores pueden darse en la física de materia condensada, tales como las excitaciones del modelo t-J de electrones fuertemente correlacionados, conocidos como espinones y holones. Los superqubits prometen unos efectos totalmente nuevos.
Por ejemplo, a pesar de las apariencias, el estado de dos superqubit está entrelazado.
La computación supercuántica ya está siendo investigada (Castellani et al. 2010).
Cuerdas, branas y Teoría M
Si las actuales ideas son correctas, una teoría unificada de todos los fenómenos físicos requerirá algunos ingredientres radicales además de la supersimetría.
Por ejemplo, debería tener dimensiones extra: la supersimetría coloca un límite superior de 11 a las dimensiones del espacio-tiempo.
El tipo de mundo real de cuatro dimensiones que finalmente predice la supergravedad depende de cómo están enrolladas estas siete dimensiones extra, de una nueva forma sugerida por Oskar Kaluza y Theodor Klein en la década de 1920.
En 1984, no obstante, la supergravedad de 11 dimensiones fue bajada del pedestal por la teoría de supercuerdas de 10 dimensiones.
Había cinco teorías en competición: la heterótica E8 × E8, la heterótica SO(32), la SO(32) Tipo I, y las cuerdas Tipo IIA y Tipo IIB. La E8 × E8 parecía – al menos en principio – capaz de explicar las fuerzas y partículas elementales, incluyendo su orientación.
Ademas, la teoría de cuerdas parecía proporcionar una teoría de la gravedad que es consistente con los efectos cuánticos.
No obstante, el espacio-tiempo de 11 dimensiones permite una membrana, que tiene forma de burbuja en una hoja bidimendional.
En 1987 Paul Howe, Takeo Inami, Kelly Stelle y yo demostramos que su una de las 11 dimensiones era un círculo, podríamos enrollar la hoja a su alrededor, pegando los extremos entre sí para formar un tubo.
Si el radio era lo suficientemente pequeño, las membranas enrolladas terminaban pareciendo cuerdas en 10 dimensiones; que es, precisamente, lo que nos da las supercuerdas de Tipo IIA.
En una charla histórica en la Universidad del Sur de California en 1995, Ed Witten unificó todo este trabajo sobre cuerdas, branas y 11 dimensiones bajo el paraguas de la teoría M en 11 dimensiones.
Las branas ahora ocupan un lugar central como los constituyentes microscópicos de la teoría M, como los progenitores en dimensiones superiores de los agujeros negros y universos completos por sí mismos.
Tales avances han llevado a una nueva interpretación de los agujeros negros como branas negras que se intersectan enrolladas alrededor de siete dimensiones curvadas de la teoría M o seis en la teoría de cuerdas.
Además, el origen microscópico de la entropía de Bekenstein-Hawking queda desmitificado. Usando las D-branas de Polchinski, Andrew Strominger y Cumrun Vafa fueron capaces de contar el número de estados cuánticos de estas branas enrolladas (Strominger and Vafa 1996).
Una D-brana p-dimensional (o Dp-brana) enrollada alrededor de algún número p de direcciones compactas (x4, x5, x6, x7, x8, x9) tiene el aspecto de un agujero negro (o D0-brana) desde la perspectiva de cuatro dimensiones (x0, x1, x2, x3). Strominger y Vafa encontraron una entropía que concuerda con la predicción de Hawking, colocando otra pluma en el sombrero de la teoría M. A pesar de todos estos éxitos, los físicos apenas están empezando a mirar en los rincones de la teoría M; aún les falta la descripción global.
A lo largo de los próximos años, esperamos descubrir qué es realmente la teoría M.
Comprender los agujeros negros será un pre-requisito esencial.
¿Predicciones falsables?
La naturaleza parcial de nuestra comprensión de la teoría M/cuerdas ha evitado hasta el momento cualquier tipo de prueba experiental.
Esto ha llevado a algunos críticos de la teoría de cuerdas a sugerir que no es auténtica ciencia.
Esto se refuta fácilmente estudiando el descubrimiento científico; el lapso de 30 años entre la idea EPR y la predicción falsable de Bell proporciona un ejemplo genial.
No obstante, no puede negarse que tal predicción en la teoría de cuerdas sería bienvenida.
En la literatura de cuerdas se pueden encontrar reglas de intersección de D-branas que nos dicen cómo las N branes pueden intersectarse entre só y la fracción de supersimetría (SUSY) que conservan (Bergshoeff et al. 1997).
En nuestra correspondencia agujero negro/qubit, mis estudiantes Leron Borsten, Duminda Dahanayake, Hajar Ebrahim, William Rubens y yo demostramos que la descipción microscópica del estado GHZ, 000 +011+101+110 e la de N = 4; 1/8 susy en el caso de D3-branas de la teoría de cuerdas de Tipo IIB (Borsten et al. 2008).
Señalamos los círculos enrollados con cruces y los no enrolados con ceros; O corresponde a XO y 1 a OX, como en la tabla 1.
Por lo que el número de aquí es de tres debido a que el número de dimensiones extra es de seis.
Esto también explica dónde entran los dos valores del lado del agujero negro. Enrollar, o no enrollar; eso es el qubit.
Repitiendo el ejercicio para los casos N < 4 y usando nuestro diccionario, vemos que la teoría de cuerdas predice la clasificación del entrelazamiento de tres qubits que se muestra en la fig. 2, que está de acuerdo con los resultados estándar de QIT. Permitiendo que distintas p-branas enrollen distintas dimensiones, podemos también describir “qutrits” (sistemas de tres estados) y más generalmente “qudits” (sistemas de d-estados).
Además, para los casos bien documentados de 2 × 2, 2 × 3, 3 × 3, 2 × 2 × 3 y 2 × 2 × 4, nuestras reglas de intersección de D-brana también están en completo acuerdo.
No obstante, para entrelazamiento mayore, tales como 2 × 2 × 2 × 2, los resultados de QIT son parciales o desconocidos, o incluso contradictorios.
Ésta es actualmente un área de investigación en QIT debido a que los experimentadores pueden ahora controlar el entrelazamiento con un mayor número de qubits.
Uno de nuestros objetivos es usar las configuraciones de enrollamiento permitidas y las reglas de intersección de D-branas para predecir nuevas clasificaciones de entrelazamiento de qubit.
Así que las matemáticas esotéricas de la teoría M podrían encontrar aplicaciones prácticas.
Referencias
E Bergshoeff et al. 1997 Nucl. Phys. B494 119, arXiv:hep-th/ 9612095.
L Borsten et al. 2008 Phys. Rev. Lett. 100 251602, arXiv:0802.0840 [hep-th].
L Borsten et al. 2009a Phys. Rep. 471 113, arXiv:0809.4685 [hep-th].
L Borsten et al. 2009b arXiv:0908.0706 [quant-ph].
L Castellani et al. 2010 arXiv:1001.3753 [hep-th].
M J Duff et al. 1996 Nucl. Phys. B459 125, arXiv:hep-th/9508094.
M J Duff 2007 Phys. Rev. D76 025017, arXiv:hep-th/0601134.
M J Duff and S Ferrara 2007 Phys. Rev. D76 025018, arXiv:quant-ph /0609227.
W Dür et al. 2000 Phys. Rev. A62 062314, arXiv:quant-ph /0005115.
R Kallosh and A Linde 2006 Phys. Rev. D73 104033, arXiv:hep-th /0602061.
A Strominger and C Vafa 1996 Phys. Lett. B379 99, arXiv:hep-th /9601029.
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