jueves, 11 de agosto de 2011

Anyones...


La naturaleza es brutalmente asombrosa  y sorprendente y una de las mayores sorpresas es la riqueza de comportamientos que presenta en dos dimensiones y que no vemos en nuestras tres dimensiones usuales. 
 Aclaremos que aquí estamos hablando de dimensiones espaciales, el tiempo sigue estando ahí pero por ahora nos interesan solo las relacionadas con el espacio.
En esta entrada vamos a introducir un concepto poco conocido pero muy interesante, y es la definición de una nueva clase de partículas que se llaman anyones.

Fermiones y bosones

En la naturaleza (3D) que nos rodea vemos dos tipos de partículas, los fermiones y los bosones.
Los fermiones son partículas que tienen espín semientero 1/2, 3/2, 5/2, etc.
Los bosones son partículas que tienen espín entero 0, 1, 2, etc.
Un conjunto de dos o más fermiones no pueden estar todos en el mismo estado.  Se dice que cumplen el principio de exclusión de Pauli.
Por otro lado un conjunto de bosones pueden estar todos en el mismo estado.
Todas las partículas se clasifican en estas categorías, fermiones o bosones, debido a su espín.

¿Por qué preocuparse de la física en 2D cuando vivimos en un mundo 3D?

Esta es una fantástica pregunta con una, aún más fantástica respuesta


 Hay fenómenos físicos donde literalmente las condiciones físicas hacen que todo suceda en 2D, los físicos suelen decir que una de las dimensiones se congela.


  Así aunque nuestro espacio diario es 3D, la física de determinados fenómenos está restringida realmente a 2D.





  Un ejemplo de esto es el Efecto Hall Cuántico (QHF por sus iniciales en inglés Quantum Hall Effect), o la superconductividad anyonica (que es un modelo propuesto para la superconductividad a altas temperaturas que no ha funcionado bien por el momento).





En esta entrada no tenemos la intención de estudiar modelos físicos que dan física 2D, lo que pretendemos es introducir el concepto de anyon en términos generales.  Ya tendremos tiempo luego de ver como emergen en modelos concretos.

¿Por qué es interesante estudiar la física en 2D?

 La cuántica nos obliga a que si tenemos dos fermiones su estado sea antisimétrico y si tenemos dos bosones su estado ha de ser simétrico.
Es decir, si tenemos la partícula 1 en el estado A y la partícula 2 en el estado B, el estado total vendrá representado por:
|1A\rangle|2B\rangle
Ahora podemos intercambiar las partículas, esto se puede hacer de dos formas que en la mayoría de los casos de interés es equivalente. 
 O bien cambiamos el estado de la partícula 1 de A a B y el de la partícula 2 de B a A, obteniendo:
|1B\rangle|2A\rangle
O bien movemos las partículas de forma que la partícula que inicialmente llamamos 1 ocupe la posición de la 2 y viceversa (es decir intercambiamos las partículas), y obtenemos después de renombrar las partículas (cambiar 1 por 2):
|1B\rangle|2A\rangle
Lo que nos dice la cuántica es que si las partículas son fermiones se cumple:
|1A\rangle|2B\rangle=-1\cdot |1B\rangle|2A\rangle
Y si son bosones:
|1A\rangle|2B\rangle=+1\cdot |1B\rangle|2A\rangle
En lo que sigue cuando hablemos de intercambiar partículas nos referiremos a mover una respecto a otra, intercambiando sus posiciones.
¿Qué pasa si hacemos un doble intercambio entonces?
La respuesta es muy fácil, un doble intercambio de partículas, independientemente de que sean fermiones o bosones, el estado queda igual (comprobarlo).
Pero en dos dimensiones ocurre algo nuevo, si intercambiamos las posiciones de dos partículas la situación es más rica y el resultado es:
|1A\rangle|2B\rangle=e^{i\alpha}\cdot|1B\rangle|2A\rangle
El caso es que e^{i\alpha} nos dice Euler que equivale a:
e^{i\alpha}=cos\alpha + isin\alpha
Los casos fermión y bosón son casos extremos de esto:
Para \alpha=\pi tenemos e^{i\pi}=cos\pi + isin\pi=-1.  Dado que cos\pi=-1 y sin\pi=0.
  Que corresponde al caso de los fermiones.
Para \alpha=0i tenemos e^{i0}=cos 0 + isin 0=+1.  Dado que cos 0=+1 y sin 0=0.  


Que corresponde al caso de los bosones.






Pero en 2D tenemos todo el resto de posibilidades, así aparecen partículas que no son ni bosones ni fermiones sino cosas con características intermedias (se dicen que siguen una estadística fraccionaria) y que se denominan anyones.





¿Me puedes explicar esto un poco más?


Intentemos dar una imagen de esto, supongamos que tenemos dos partículas sobre una mesa, una en la posición 1 y otra en la posición 2.  Ahora cambiemos las posiciones una vez (intercambiar las posiciones).


  Ahora cambiemos otra vez y como hems visto todo queda igual.


El doble cambio se puede ver como que una de las partículas ha girado alrededor de la otra.
¿Dónde está el truco que hace que dar ese giro alrededor de la partícula deje el estado igual?  
La razón última responde a una particularidad matemática muy sutil e interesante, pero también algo abstracta.
 Así que intentaremos dar alguna imagen aproximada (y lo más exacta posible) sobre esto.
El caso es que el estado queda igual después de que una partícula haga un giro completo alrededor de la otra (lo que corresponde a dos intercambios).  
Eso es porque en tres dimensiones hacer un giro completo es como no haber hecho nada. 
¿En qué sentido decimos eso? 
 Hasta ahora todo lo que hemos hecho ha sido mover partículas sobre la mesa.
  Pero hacer un giro completo en tres dimensiones alrededor de un punto es como no hacer nada.  
La idea es que la trayectoria recorrida en el giro puede ser contraída a un punto.
  De hecho es tan fácil como levantar en la tercera dimensión (con la imaginación por supuesto) la trayectoria y reducirla a un punto.
Si no tenemos más que dos dimensiones, esto no puede hacerse, uno no puede reducir la trayectoria de la partícula que gira alrededor de un otra partícula a un punto. 
Porque al intentar reducirlo a un punto, las dos partículas intentarían ocupar el mismo punto, cosa que no se puede.  Así en el caso de 2D, las partículas adquieren lo que se llama una fase e^{i\alpha} precisamente por este hecho. 
 Lo que significa que no son bosones ni fermiones, sino anyones.

Vemos ejemplo de una curva contractible (la que no contiene a la otra partícula) y una no contractible (la que encierra la otra partícula) en 2D
¿Pero eso existe de verdad?
De verdad que sí, lo cual es sorprendente porque nosotros solo tenemos bosones y fermiones a nuestro alrededor.
  Pero sucede que en determinados casos se convierten en anyones. 
 Por ejemplo, si tenemos una superficie metálica sometida a un campo magnético perpendicular, los electrones del metal (que en principio son fermiones) dejan de comportarse como tales por dos motivos:
1.-  Los electrones sólo se pueden mover en un plano.  El campo magnético los confina en un mundo bidimensional.
2.- El campo magnético pasa a través de la superficie, representado por su líneas de campo.
3.- Resulta que los electrones capturan líneas de campo y esa combinación (que se llama fermión compuesto) se comporta como una partícula anyónica.
Anotaciones técnicas:
Todo esto está relacionado con la topología efectiva que puede “ver” la partícula.
 El espacio tridimensional es contractible (relacionado con su grupo de homotopía) y aunque quitemos un punto lo seguirá siendo (por lo anteriormente explicado). 
 Sin embargo, si en dos dimensiones quito un punto (porque tengo una partícula en él por ejemplo), hay curvas que no se pueden contraer a un punto y eso tiene influencia en el comportamiento de las partículas. 
 Aquí se pone de manifiesto una relación entre la topología (rama matemática) y la física.
  Este sin duda es uno de los aspectos más sorprendentes de la física en 2D.
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