Una fórmula maravillosa.

Desde que la vi no la he podido olvidar...

 Relaciona los números imaginarios ( i = raíz cuadrada de ( –1)),

 con las potencias ( número e y logaritmos neperianos ) 

y con las funciones trigonométricas. 

Me ha permitido recordar, sin esfuerzo, fórmulas trigonométricas como la del seno o coseno de una suma de ángulos, del ángulo doble o mitad, y calcular, con facilidad, derivadas de funciones trigonométricas.

Nos la podemos encontrar en cualquier sitio, en cualquier expresión matemática pura o relacionada con algo tan prosaico como las relaciones de impedancias en un circuito de corriente alterna.

 En la función de onda de la mecánica cuántica o en cualquier expresión de naturaleza ondulatoria o periódica. 

En la técnica, en la física o en las matemáticas más abstractas

 ( Roger Penrose reflexiona– en su último libro,en el capítulo sobre las diferenciales complejas - lo que habría disfrutado Euler con todas las maravillas de su fórmula y de los números imaginarios ).

La fórmula de Euler fué demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada por Euler en 1748. 

Es interesante notar que ninguno de los descubridores vió la interpretación geométrica ( circunferencia en el plano complejo): 

la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió unos 50 años mas tarde con Caspar Wessel, y d'Argaud.

En la figura, para el cálculo de la impedancia, el eje imaginario representa

 la reactancia, resultado de la resta entre la parte inductiva ( bobinas ) 

y la parte capacitiva ( condensadores). 

El ángulo ( phi ) que forman la impedancia con el eje real de la resistencia pura es sumamente importante en la industria, su coseno es lo que llamamos el factor de potencia que mide, en cierto modo, la eficiencia de un circuito. 

Para un ángulo grande la reactancia asociada es grande y obliga a las compañías eléctricas a suministrar una potencia reactiva adicional y a la industria a pagar un consumo innecesario.

 Este ángulo se corrige añadiendo baterías de condensadores que ofrecen una reactancia de signo contrario a la presentada por los motores industriales.

Lo tiene todo, es sencilla, bonita, elegante y útil, muy útil.

 Sin duda es una Fórmula Maravillosa.