Decíamos que una teoría es un conjunto T de enunciados que cumple que si P1,P2,P3,… son enunciados de T y Q es un enunciado que se deduce de ellos entonces Q también está en T. (Es decir, T es cerrado por deducción.)
[Nótese que esta definición depende de las reglas de inferencia que tomen.]
El texto que sigue, y que presupone esta definición de “teoría”,
había sido escrito para el capítulo 9 de “Gödel (para todos)”,
pero finalmente no fue incluido en el libro.
Lo rescato ahora (con el agregado de algunas notas aclaratorias):
En 1929, en su tesis doctoral, Gödel probó que la teoría formada por todos los enunciados universalmente válidos de la lógica de primer orden
es consistente y recursivamente axiomatizable (esto último quiere decir que todos los enunciados de la teoría pueden obtenerse como teoremas a partir de un conjunto recursivo de axiomas).
Sin embargo, la teoría no es decidible, es decir no existe un programa que pueda determinar si un enunciado dado pertenece, o no, a la teoría.
Otro ejemplo de una teoría recursivamente axiomatizable, pero no decidible, es el conjunto de todos los enunciados demostrables a partir de los axiomas de Peano de primer orden (la llamada “Aritmética de Peano de primer orden”). Esta teoría es recursivamente axiomatizable (esto es obvio: los axiomas de Peano dan una axiomatización recursiva), pero no es decidible, es decir no hay un programa que determine en una cantidad finita de pasos si un enunciado es, o no es, deducible de los axiomas
(esto último fue demostrado por Alonzo Church).
Vemos entonces que hay al menos dos formas de definir una teoría:
a) Como el conjunto de todos los enunciados que se deducen de un determinado conjunto de axiomas.
(Por ejemplo, la Aritmética de Peano de primer orden.)
b) Como el conjunto de todas los enunciados verdaderas referidas a un cierto un objeto matemático.
(Por ejemplo, el conjunto de todos los enunciados aritméticos verdaderos.)
[Según cómo se definan los axiomas, el punto a) suele ser un modo sintáctico de definición, mientras que el b) es inevitablemente semántico.]
Existen otras formas de definir una teoría, por ejemplo, como el conjunto de todos los enunciados que cumplen alguna propiedad diferente a las mencionadas en los dos puntos anteriores.
Éste es el caso del conjunto de todos los enunciados de primer orden universalmente válidos.
Dos preguntas que, en general, suelen formularse acerca de una teoría son si la teoría es recursivamente axiomatizable y si es decidible.
En el caso de la teoría de primer orden de un objeto matemático ambas preguntas (bajo ciertas condiciones razonables) son equivalentes.
En cambio, una teoría dada por un conjunto de axiomas (suponiendo que éste sea recursivo) es, obviamente, recursivamente axiomatizable,
pero no siempre es decidible.
