Vuelvo a hablar de aritmética, pero ahora va a ser una cosa cortita y así como "para tontitos".
Se trata de un método aritmético arcaico, desechado en general por su falta de precisión (algo relativamente intolerable en matemáticas) pero todavía útil.
Recuerdo que el método en cuestión venía en los libros de matemáticas del colegio,
pero nunca lo dábamos en clase.
Además lo mencionaban alguna que otra vez en las historietas de Zipi y Zape,
lo que le daba un cierto toque casi tardofranquista.
El método en cuestión es la prueba del nueve.
La prueba del nueve, tal y como se entiende en las clases del sistema educativo, es en principio un algoritmo para comprobar la validez de las soluciones de las divisiones.
El método hacía un dibujo raro con forma de equis y en cada uno de los huecos ponía una cifra,
en realidad puede ser visto de la siguiente manera: partimos de un algoritmo base de sumar cifras,
que suma todas las cifras de un número y repite la operación hasta que el resultado es de sólo una cifra.
O sea: si partimos del número 78, primero se hace 7+8=15, luego 1+5=6, y como tiene una sola cifra paramos. Luego, si el resultado es 9, se cambia por un 0 (esto no recuerdo si lo hacía el algoritmo original, yo al menos lo hago). Este procedimiento de sumar cifras se lo aplicamos al dividendo, al divisor, al cociente y al resto, con lo que nos quedarán cuatro números de una cifra. Bien, pues la prueba del 9 consiste en comprobar si se sigue verificando la regla D=(d*c)+r, o sea, dividendo=divisor*cociente+resto, pero con los números de una cifra (puede ser necesario aplicarle el procedimiento de sumar hasta una sola cifra al valor d*c+r).
La prueba es simple y se hace rápidamente (al menos si partimos de la base de que el alumno se sabe las tablas de multiplicar, no sé yo...), pero tiene un problema.
Si la división está bien, la prueba saldrá bien; sin embargo, cuando la división está mal,
es posible que la prueba dé positivo.
Por ejemplo, si yo digo que 23 entre 7 es igual a 124 y sobra 1, lo que es obviamente falso,
tenemos: D=5, d=7, c=7, r=1.
Entonces, d*c+r=7*7+1=50=5+0=5.
Otro caso más sutil es el de las divisiones por números de 9, en las cuales la prueba se limita de facto a comprobar que D=r y la probabilidad de falso positivo es muy alta (el cociente puede estar mal y dará igual mientras el resto sea el adecuado).
Desde luego si la prueba ya no se usa es por cosas como ésta.
Hasta puede parecer un poco sorprendente que la prueba se siguiera usando mucho después, en una rama del conocimiento tan estricta en sus métodos como es las matemáticas (no por nada llamadas ciencias exactas).
Evidentemente en estos momentos los lectores habituales se preguntarán para qué hablo de esta tontera
si no se usa más.
El caso es que, aún siendo falible, sí que es efectiva, pues en caso de error existe una posibilidad
bastante alta de que la prueba lo refleje.
Además: las matemáticas, incluso fuera de la estadística, contienen diversos métodos que dan el resultado
de forma probabilística o aproximada, y son métodos muy usados; valgan como ejemplo los test de pseudoprimalidad, tan comunes en criptografía.
Así que voy a exponer los usos que le doy yo a la prueba del nueve,
no sin antes dar un poco de trasfondo matemático a esto.
¿Pero qué carajos es la prueba del nueve?
Como ya habrá deducido algún lector avispado, la clave de todo este embrollo es la modularidad.
No está de más recordar otro pequeño bit de conocimiento matemático escolar, concretamente las pruebas de divisibilidad del 3 y del 9 (éstas sí, completamente fiables): el algoritmo de suma de cifras es el mismo,
y esto no es casual. La idea es que todas las potencias de 10 tienen una misma propiedad, y es que al dividir por 9 (o entre 3, que para eso es divisor de 9) el resto siempre es 1, de donde obtenemos, con un poco de maña y de experiencia matemática, que la suma de las cifras de un número es igual a su resto
al dividir entre 9.
De donde se deducen, entre otras, tres cosas divertidas:
1) Las pruebas de divisibilidad de 3 y 9 (dato friq a continuación: aplicar el mismo método en base 16 serviría para la regla de divisibilidad de 3, 5 y 0; y en general el método se puede usar, mutatis mutandis, como regla de divisibilidad de N-1 y de todos sus divisores, siendo N la base en la que esté expresado el número).
2) La prueba del 9 clásica (también extensible a otras bases, lo cual es mucho menos habitual pero no por ello imposible).
3) La prueba del 9 extra-plus , que paso a enunciar a continuación.
Nótese que las dos primeras son más o menos básicas en EGB, y sin embargo su demostración no se da en ningún momento en toda la enseñanza obligatoria, lo que evidentemente me parece una vergüenza.
Prueba del nueve, versión extendida
La aritmética modular, ese mundo desconocido para el gran público. La base de la prueba del nueve estándar es que las operaciones de suma y multiplicación son consistentes en la aritmética modular y en la normal, lo que se puede demostrar muy fácilmente.
La prueba del nueve aprovecha esto para proyectar la fórmula general D=d*c+r (alma de la división) sobre sus equivalentes modulares, de un modo unidireccional en el que se pierde información (relegando al método de la categoría de algoritmo de cálculo a la de prueba) pero se gana en rapidez.
Mi idea, básica y simple como casi todas, es aplicar el método a todo lo aplicable.
Que es como decir todas las aplicaciones que se deriven de la multiplicación y la suma, entre las cuales entran la resta, la división entera, la potenciación y la radicación entera.
En los casos de división entera (prueba del nueve clásica) y de radicación entera es necesario tener en cuenta el resto, pero en las demás basta con los operandos y el resultado.
Ni que decir tengo que, en las potencias y raíces, los índices y exponentes no se ven afectados por la modularidad (... sí se ven afectados, pero de otro modo más complejo en el que no entraré).
La rapidez intrínseca al método modular hace que la prueba no suponga un inconveniente en términos de tiempo, y tanto es así que le hago la prueba del 9 a casi cualquier operación que hago (salvo a las sumas y restas necesarias para los sudokus killer, o en general para cualquier operación cuyo resultado sea lo suficientemente bajo como para que no se requieran cálculos en sí sino accesos a mi base de datos de resultados ultrarrepetidos).
Ejemplos:
¿Qué cálculo 1244 al cuadrado y me da 1547536?
Pues nada, nada: 1+2+4+4=11=2; 1+5+4+7+5+3+6=31=4, que es justo 2*2.
¿Qué cuernos la raíz cúbica a 1347 y me sale 11, con un resto de 16?
Pues 1+1=2, 1+6=7, 1+3+4+7=15=6; como 23+7=15=6, el resultado es correcto.
¿Que al multiplicar 112 por 206 sale 23072?
Pues 4*8=32=5, que también coincide con el resultado de base 2+3+7+2=14=5.
Y así sucesivamente.
Una posible optimización, que por supuesto uso siempre, es ignorar los ceros, nueves y grupos de números que sumen 9 (por ejemplo, en el último caso yo no habría hecho 2+3+7+2, sino 2+3, ya que 7+2=9
y esto salta a la vista).
Pues ya está todo dicho (lo de la modularidad de las potencias paso de explicarlo.
Raramente suele ser necesario elevar un número a potencias más allá de 5 ó 6).
Así que, amiguitos, usen la prueba del nueve.
La aritmética modular es falible pero ultrarrápida.
Y si no quieren usarla porque es demasiado para sus no-matemáticas y faltas de experiencia mentes
... Auf Wiedersehen.
