Los postulados de Einstein tienen importantes consecuencias cuando se quieren medir intervalos de tiempo y de espacio, o velocidades relativas.
Ahora vamos a trabajar con un tratamiento matemático muy sencillo, que no entraña dificultad.
Vamos a utilizar dos sistemas de coordenadas rectangulares.
El sistema S tiene su origen en O y sus coordenadas son x,y,z.
El sistema S' tiene su origen en O' y sus coordenadas son x', y',z'. S' se mueve a velocidad constante v
con respecto a S, a lo largo del eje x , o lo que es lo mismo,
S se mueve a velocidad constante -v con respecto a S'.
Estos sistemas de referencia se ilustran en la imagen de la izquierda.
Ahora vamos a determinar la relación entre las coordenadas x,y,z de un suceso que ocurre en el tiempo t, y las coordenadas x',y',z', y el tiempo t' del mismo suceso visto desde el sistema de referencia S'.
Para ello suponemos que cuando t=t'=0 los orígenes de ambos sistemas de referencia coinciden.
En física clásica las coordenadas están relacionadas por el sistema de ecuaciones:
En la columna de izquierda tenemos las ecuaciones conocidas como Transformación de Galileo, y el columna de la derecha, la transformación inversa.
Estas ecuaciones se cumplen siempre que v sea muy pequeña con respecto a c.
Pero en los cálculos relativistas no podemos utilizar las ecuaciones clásicas.
¿Cómo resolvemos este dilema? Vamos a modificar las ecuaciones de transformación clásicas para adaptarlas a los postulados de Einstein.
Supongamos que la ecuación de transformación relativista para x es la misma que para la ecuación clásica excepto por la presencia de un factor adicional en el segundo miembro, es decir:
x = γ (x’ + vt’)
x ’ = γ (x – vt)
γ es un factor que depende de la velocidad de la luz y de v, velocidad entre ambos sistemas de referencia. Vamos a ver qué valor es el que posee:
Consideremos un pulso luminoso que parte desde el origen de S en t=0.
Suponemos que los orígenes son coincidentes en t=t'=0.
Luego el pulso también parte en t'=0 en el sistema S'.
En el sistema S, la coordenada x toma el valor x = ct, y en el sistema S', x'= ct'.
Si sustituimos en las dos ecuaciones anteriores, obtenemos:
Suponemos que los orígenes son coincidentes en t=t'=0.
Luego el pulso también parte en t'=0 en el sistema S'.
En el sistema S, la coordenada x toma el valor x = ct, y en el sistema S', x'= ct'.
Si sustituimos en las dos ecuaciones anteriores, obtenemos:
ct = γ (c + v) t'
ct' = γ (c - v) t
Si despejamos t' de la primera ecuación y sustituimos en la segunda ese valor,
despejando γ nos queda:
despejando γ nos queda:
que es conocido como el factor de Lorentz.
De esta forma, las ecuaciones relativistas toman la forma:
Estas ecuaciones son conocidas como Transformación de Lorentz.
