alquimiayciencias: Demostración de las ecuaciones del movimiento parabólico

En este artículo demostraré la ecuación de la posición de un movimiento parabólico (que represetaremos con la letra $\vec{r}$ ).

Antes de nada, recomiendo la lectura del artículo sobre Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) y el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) y sobre lacinemática en una dimensión en general. Además, sería buena alguna lectura sobre integración de este mismo foro, pues su entendimiento es necesario para comprender la demostración.

Un movimiento parabólico se puede describir como muestra la imagen

(consideraremos que el tiro se ejecuta desde el origen del sistema de coordenadas):

El movimiento parabólico se desarrolla en dos dimensiones, y podemos ver que consta de dos componentes: una que describe un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU, representado por el eje horizontal ) y un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA, representado por el eje vertical ).

La velocidad incicial ( $\vec{v_0}$ ) tiene dos componentes, una horizontal () y otra vertical (), representada por la ecuación:

$\vec{v_0}=v_0_x\hat{\imath}+v_0_y\hat{\jmath}$

Mediante el dibujo podemos realizar las siguientes relaciones trigonométricas (a partir de las definiciones de seno y coseno):

$v_0_x=v_0\cos\alpha$

$v_0_y=v_0\sin\alpha$

Como la componente horizontal de la velocidad es de un MRU, esta es constante, y por tanto igual a la velocidad inicial:

$v_x=v_0_x=\text{constante}$

Por último, la aceleración de este movimiento depende únicamente de la intensidad del campo gravitatorio (suponemos que terrestre y a una altura en que su variación sea despreciable):

$\vec{a}=0\hat{\imath}-g\hat{\jmath}$

$\vec{a}=-g\hat{\jmath}$

La constante la suponemos negativa ya que es un vector que apunta siempre hacia el centro de la Tierra

Con estas aclaraciones, ya podemos proceder a la demostración de la ecuación dela posición en el movimiento parabólico. Primero partiremos de la ecuación de la aceleración:

$\vec{a}=-g\hat{\jmath}$

Sabemos que $\vec{a}=\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d} t}$ :

$\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d} t}=-g\hat{\jmath}$

$\mathrm{d}\vec{v}=(-g\hat{\jmath})\mathrm{d}t$

Integramos en ambos miembros (desde la velocidad inicial hasta la velocidad en el primero y desde el tiempo inicial hasta el tiempo en el segundo):

$\dst\int_{{v}_{0}}^v\mathrm{d}\vec{v}=\dst\int_{{t}_{0}}^t (-g\hat{\jmath})\mathrm{d}t$

Como $-g\hat{\jmath}$ es constante, podemos sacarlo fuera de la integral:

$\dst\int_{{v}_{0}}^v\mathrm{d}\vec{v}=-g\hat{\jmath}\dst\int_{{t}_{0}}^t \mathrm{d}t$

Resolvemos:

$\vec{v}-\vec{v_0}=-g(t-t_0)\hat{\jmath}$

$\vec{v}=\vec{v_0}-g\Delta t \hat{\jmath}$

Sustituimos $\vec{v_0}$ por $v_0_x\hat{\imath}+v_0_y\hat{\jmath}$ de acuerdo con la ecuación (1):

$\vec{v}=v_0_x\hat{\imath}+(v_0_y-g\Delta t) \hat{\jmath}$

Ahora procederemos de forma similar a la anterior integración, pero esta vez tomando la definición de la velocidad $v=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d} t }$ :

$\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d} t }=v_0_x\hat{\imath}+(v_0_y-g\Delta t) \hat{\jmath}$

$\mathrm{d} \vec{r} =(v_0x\hat{\imath}+(v_0_y-g\Delta t) \hat{\jmath})\mathrm{d} t$

Volvemos a integrar en ambos miembros, esta vez desde la posición inicial hasta la posición en el primer miembro y desde el tiempo inicial hasta el tiempo en el segundo:

$\dst\int_{{r}_{0}}^r\mathrm{d} \vec{r}=\dst\int_{{t}_{0}}^t(v_0_x\hat{\imath}+(v_0_y-g\Delta t) \...$

Resolvemos cada integral (esta vez tenemos tres constantes, $v_0_x\hat{\imath}$ , $v_0_y\hat{\jmath}$ y $-g\hat{\jmath}$ ):

$\vec{r}-\vec{r_0}=v_0_x \Delta t \hat{\imath}+\left(v_0_y \Delta t -g\frac{{\Delta t}^{2}}{2}\rig...$

(Colocamos el $\frac{1}{2}$ delante por mayor comodidad).

El vector $\vec{r_0}$ corresponde con el vector posición cuando . Sus componentes son:

$\vec{r_0}=x_0\hat{\imath}+y_0\hat{\jmath}$

Sustituyendo $\vec{r_0}$ en nuestra ecuación:

$\vec{r}=(x_0+v_0_x \Delta t)\hat{\imath}+\left(y_0+v_0_y \Delta t-\frac{1}{2}g{\Delta t}^{2}\righ...$

Y teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas presentadas al principio de la demostración correspondientes a las ecuaciones (2) y (3), podemos concluir que:

$\boxed{\vec{r}=(x_0+v_0 \cos \alpha \Delta t)\hat{\imath}+\left(y_0+v_0 \sin \alpha \Delta t-\fra...$

Esta ecuación se suele escribir en forma escalar, resultantes de la descomposición de la ecuación (21), en cuyo caso el movimiento se describe mediante las siguientes ecuaciones:

$\boxed{x=x_0+v_0\cos\alpha\Delta t}$

$\boxed{y=y_0+v_0\sin\alpha\Delta t-\frac{1}{2}g{\Delta t}^{2}}$

A partir de estas ecuaciones podemos determinar la ecuación de la trayectoria para el movimiento parabólico. Para ello, despejamos $\Delta t$ de la ecuación (22) y la sustituimos en la ecuación (23):