domingo, 23 de junio de 2013

Algunas curiosidades de las expresiones decimales...(28989)



Hoy por hoy muchos de ustedes, lectores, sabrán que, en matemáticas, 0,999\dots=1, 
es decir, que hay números reales que tienen más de 1 expresión decimal.
Este caso no es aislado, pero sí es cierto que únicamente ocurre cuando al final tenemos el dígito 9 como periódico puro, es decir, cuando el final de la expresión decimal es una concatenación de 9s. 
Por ejemplo, el número
 1,4999\dots=1,5.
En general, se puede demostrar la siguiente igualdad.
 Si n es un número natural cualquiera y a_0,a_1,\cdots,a_n son dígitos del 0 al 9 (y a_n\ne9),
entonces 0,a_0a_1\cdots a_n999\cdots= 0,a_0a_1\cdots (a_n+1), 
es decir, el decimal enésimo es a_n+1.
En efecto, 0,a_0a_1\cdots a_n999\dots=0,a_0a_1\cdots a_n + \frac{9}{10{n+1}}+\frac{9}{10{n+2}}+\frac{9}{10{n+3}}+\cdots. 
Pero esta suma final es, en realidad, una progresión geométrica de razón \frac{1}{10} por lo que, aplicando la fórmula de sumación de estas series, se tiene que 
\frac{9}{10{n+1}}+\frac{9}{10{n+2}}+\frac{9}{10{n+3}}+\cdots = 9\cdot\frac{1/10{n+1}}{1-1/10}= 9\cdot\frac{1/10{n+1}}{9/10}=\frac{1}{10^n}. 
Por lo tanto, esta suma, lo que hace es sumar una unidad a la posición decimal enésima.
Pero este hecho tampoco es exclusivo del sistema decimal. 
Si trabajamos en binario, es igualmente sencilla comprobar que 0,111\dots=1; 
si trabajamos en base 3, entonces 0,222\dots=1; 
y, en general, si trabajamos en base n+1 (para un natural n cualquiera)
 se tendrá que 0,nnn\dots=1.
Y para finalizar, querría darle la vuelta a la tortilla. 
Me explico. Estos casos se deben a expresiones decimales, pero… ¿qué pasaría si escribiéramos un número formado por infinitos 9s? es decir,
 ¿cuál sería el último término (el límite, hablando matemáticamente) de la siguiente sucesión?
 9,\,99,\,999,\,9999,\,99999,\,999999,\,9999999,\cdots. 
Vamos a tratar de calcularlo.
Vamos a ponerle nombres a las cosas. 
Sea {\dots}99999=x, esto es, infinitos 9s uno detrás de otro. 
Si multiplicamos este número por 10, habrá que añadirle un 0 al final del número, es decir, 
\dots99990=10x.
 Si ahora restamos el segundo del primero resulta que -9=9x, por lo que x=-1. 
Según esto, el número más grande que uno podría tratar de escribir 
(bueno, al menos si tienes cierta edad) es, el -1.
Bueno que nadie se asuste, porque aquí hemos hecho algo de trampa. 
En realidad hemos dicho (aunque de forma oculta) que 1+10+100+1000+\cdots=\frac{-1}{9} 
o dicho de una forma más matemática, hemos utilizado la expansión en series de potencias
 de la función \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n para valores x\ge 1 que,
 tal y como asegura el Teorema de Hadamard, no es posible (el radio de convergencia de la anterior
 serie de potencias es exactamente 1).
Básicamente, éstos son los peligros de jugar con el infinito.
 Por cierto, los matemáticos, para poder hablar de la unicidad de la expresión decimal de un número real en un sistema de numeración posicional, suelen incluir una regla/axioma que dice que el dígito más grande posible (el 9 en el sistema decimal, el 1 en l binario, el 2 en base 3 o n en base n+1) nunca puede aparecer como periódico puro al final de una expresión decimal.
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