sábado, 22 de junio de 2013

Arrugas espaciotemporales y velocidades superlumínicas II: Espaciotiempo que soporta propagación superlumínica.


Una nave es capaz de expandir el espacio detrás de ella y contraerlo en frente suyo.
Aquí tenemos dos observadores que nos ayudaran a entender la cosa mejor:
Por un lado tendremos al observador externo, que verá a su alrededor un espacio plano (Minkowski).
Por otro lado tendremos al observador interno, el piloto de la nave que está dentro de esa burbuja de compresión/dilatación del espaciotiempo.
¿Cómo es la métrica del espaciotiempo con la burbuja?
Supongamos que tenemos una nave moviéndose por el eje X en el sentido positivo. La métrica será:
ds^2 = -dt^2+(dx-v_s(t)f(r_s)dt)^2 +dy^2 + dz^2
(Es interesante ver la forma de esta métrica aunque no captemos toda la matemática involucrada en su obtención. A veces, la vida es dura, y es mejor pelearse un poco con las matemáticas para entender bien lo que quieren decir las teorías físicas. No ponemos estas fórmulas para parecer guays, que también podría ser, sino para ser lo más rigurosos en la explicación de este tema.)
Estudiemos qué significan estas cosas:
Para empezar la métrica en un espaciotiempo plano es la métrica de Minkowski:
ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2
Por lo tanto partimos de una situación de un espacio plano donde se verifica la teoría de la relatividad especial.
La cantidad v_s es la velocidad con la que un observador externo ve moverse a la nave dentro de la burbuja.
f(r_s) es una función de la distancia a la que está el observador de la nave o burbuja. Las condiciones para esta función son las siguientes: Para distancias r_s=0 (dentro de la burbuja) pequeñas la función vale 1. Para distancias grandes la función tiende a cero. Y si esa función se hace cero… la métrica se convierte en la métrica de Minkowski
r_s se puede construir de la siguiente manera:
r_s(t,x,y,z)=\sqrt{(x-x_s(t))^2+y^2+z^2}
 donde x_s(t) es la coordenada en el eje X de la nave (técnicamente es la geodésica sobre la cual se propaga la burbuja)
La velocidad v_s(t) será cuanto espacio x_s(t) recorramos por unidad de tiempo t. (Técnicamente una derivada)
Así que para un observador externo muy alejado de la nave, lo que ve a su alrededor no es más que Minkowski. Recordemos que la función que controla el comportamiento de la burbuja se hace cero… Y esto implica que a ojos de dicho observador lo que está dentro de la burbuja ni tiene masa ni experimenta dilataciones temporales (En relatividad especial cuando tenemos un observador O’ en movimiento respecto a un observador que consideramos en reposo O, si le preguntamos al observador O’ cuando ha durado un proceso desarrollado en su sistema de referencia nos dirá \Delta t_1 y si le preguntamos al observador O por el proceso en el sistema de referencia de O’ nos dirá \Delta t_2, entonces si comparamos veremos que \Delta t_2 > \Delta t_1 y decimos que el tiempo se ha dilatado. Seguro que tendremos oportunidad de explicar esto en otra entrada.)
Lo importante es que v_s puede ser arbitrariamente alta. De hecho no hay aceleraciones involucradas, se puede mover a velocidades superiores a la de la luz respecto a un observador externo.
Relación Geometría-Materia: Las ecuaciones de Einstein.
Hemos de volver a parar nuestra discusión sobre las arrugas del tiempo y los viajes superlumínicos para recapacitar sobre Relatividad General (RG en lo que sigue).
En relatividad general no podemos simplemente dar una métrica y ya está. Hemos de asegurarnos que dicha métrica satisface las ecuaciones de Einstein.
Señoras y señores, con todos ustedes las ecuaciones de Einstein (formato de bolsillo):
G_{ab}=8\pi \kappa T_{ab}
Explicación de los términos:
G_{ab} es un objeto que lo construimos a partir de la métrica y sus derivadas. Es decir, nos dice como es la métrica y como cambia. (A esto se le llama el tensor de Einstein)
8\pi \kappa Esto es 8, por pi, por la constante de Newton de la gravedad (que no hemos llamado G para no confundirla con el tensor de Einstein)
T_{ab} esto es un objeto que contiene la información de la materia y la energía que tenemos en el espaciotiempo. Contiene toda la información sobre energías, distribuciones de partículas, sus momentos lineales, sus momentos angulares, en fin todas las posibles energías y cómo se propagan. (A esto se le llama tensor energía-momento)
Lo interesante es que estas ecuaciones (porque esto se puede escribir como 16 ecuaciones diferenciales) nos dicen que la materia y la geometría del espaciotiempo están relacionadas. Resolver estas ecuaciones se pueden hacer de dos formas:
Damos la métrica y vemos que materia/energía es la que produce eso. (Conocemos G y buscamos T)
Damos la distribución de materia/energía y hallamos la métrica que acomoda eso. (Conocemos T y buscamos G)
En este caso tenemos la métrica que queremos que satisfaga nuestro espaciotiemo, así que preguntemos por la distribución de masa/energía que produciría esto.
Y aquí viene el problema (el primero):
Para conseguir arrugas en el espaciotiempo hemos de tener materia con propiedades exóticas. Propiedades que no vemos a nuestro alrededor. A esto lo llamamos materia exótica.
¿Por qué la materia exótica es necesaria?¿A qué nos referimos?
En RG se introducen condiciones sobre el comportamiento de la materia. A estas condiciones se las denomina:
condiciones de energía
Estas condiciones nos aseguran que la materia puesta en el tensor T, así como su distribución y su propagación es tal que la física es bien comportada.
Para entender un poco más esto hay que saber qué información contiene el tensor energía-momento T:
Por un lado nos da información acerca de la densidad de masa-energía contenida en el espaciotiempo \rho.
Por otro lado nos da los momentos lineales de los constituyentes de la materia energía P^a
También nos dice “la densidad de energía” de partículas sin masa en reposo \nu
Hay diferentes condiciones de energía:
1. Condición de energía nula: \rho\geq 0 (medida desde un rayo de luz, groso modo)
2. Condición de energía débil: \rho\geq 0 (medida desde un observador con masa en resposo no nula)
3. Condición de energía dominante: Esta implica la condición de energía débil y encima nos dice que P^a es un vector dentro del cono de luz del observador y que apunta al futuro. Es decir, según esto la materia no puede viajar a mayor velocidad que la velocidad de la luz.
4. Condición de energía fuerte: (no explicaremos esta porque no es posible considerarla física porque hay múltiples situaciones físicamente realizables que no cumplen esta condición).
Nota importante:
La gravedad no distingue entre ningún campo, le da igual lo que le pongas, todos los campos generan gravedad. Así que podríamos poner cualquier cosa con cualquier propiedad (que de hecho es lo que hacen los que se dedican a proponer modelos cosmológicos, proponiendo quintaesencias, materia fantasma, materia axiónica, taquiónica, con propiedades cada una más rara que la anterior, ;) ). Así que las condiciones anteriores se imponen para que la materia que ponemos en las ecuaciones de Einstein se parezca lo más posible a lo que vemos y lo que observamos y no den lugar a  física poco “creible”. Por comentar un dato, estas condiciones aseguran que la gravedad generada por la materia/energía es atractiva, porque desde el punto de vista de RG, la gravedad es dinámica del espaciotiempo, así que podría provocar repulsiones también (como lo hace la constante cosmológica, por ejemplo). Que sea sólo atractiva es debido a las características de la materia involucrada, no a una propiedad intrínseca a la gravedad.
Así que volviendo al tema, si le enchufo la métrica de Alcubierre a las ecuaciones de Einstein y obtengo el tensor energía-momento, lo que me sale viola todas las condiciones energéticas, lo que implica:
La energía que tengo que poner en juego para crear la burbuja ha de ser negativa.
Pero esto no parece ser un grave problema, ya tenemos sistemas físicos en laboratorios que presentan densidades de energías negativas… El efecto Casimires el ejemplo arquetípico.
Pues ya está, tenemos la solución. Todo solucionado.
No del todo, porque la cosa no es nada simple:
Tener densidades de energía negativas no es moco de pavo. Además hay un problema con esto que viene de la mecánica cuántica. Es cierto que hay efectos como el Casimir que implican energías negativas, pero también es cierto que la mecánica cuántica impone restricciones insalvables en la extensión de dicha energía y en su duración.
Si aplicamos estas restricciones nos obligan a lo siguiente:
La densidad de energía negativa tiene que estar concentrada en un espesor del orden de la longitud de Planck 10^{-35}m. Lo que viene siendo muy muy pequeño. Y eso implica que para una nave no muy grande habría que concentrar en ese espesor una energía negativa comparable a la masa del sol.
Pequeños problemas técnicos en definitiva.
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