viernes, 28 de junio de 2013

Café matemático... El lema de Poincaré


Se dice que un campo vectorial {\bf f} \colon A \subseteq {\mathbb R}^n \to {\mathbb R}^n de clase C^1 en un abierto A \subseteq {\mathbb R}^n es cerrado si se verifican las condiciones
\displaystyle{\frac{\partial f_i}{\partial x_j}=\frac{\partial f_j}{\partial x_i}, \qquad 1 \leq i,j \leq n.}

Supongamos que {\bf f} es conservativo, es decir, que existe un campo escalar g \colon A \subseteq {\mathbb R}^n \to {\mathbb R}de clase C^2 tal que {\bf f}= \nabla g. 

Tenemos como consecuencia de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas que

\displaystyle{\frac{\partial f_i}{\partial x_j}=\frac{\partial^2 g}{\partial x_j \partial x_i } = \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j }= \frac{\partial f_j}{\partial x_i}}
y por lo tanto el campo {\bf f} es cerrado. 
El lema de Poincaré afirma que el recíproco es cierto si la geometría del dominio es favorable.
Lema de Poincaré.
 Sea {\bf f} \colon A \subseteq {\mathbb R}^n \to {\mathbb R}^n un campo vectorial de clase C^1 en un abierto convexo A \subseteq {\mathbb R}^n. 
Si {\bf f} es cerrado entonces {\bf f} es conservativo.
Demostración.
 Se puede suponer sin pérdida de generalidad que {\bf 0} \in A. 
Sea g el campo escalar definido mediante la expresión
\displaystyle{g({\bf x})= \int_0^1 {\bf f}(t {\bf x}) \cdot {\bf x} \,dt, \qquad {\bf x} \in A.}
Calculando las derivadas parciales de g resulta
\displaystyle{\frac{\partial g}{\partial x_j } = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial x_j} \, {\bf f}(t {\bf x}) \cdot {\bf x} \,dt.}
La función t \to tf_j(t{\bf x}) es una primitiva del integrando, puesto que
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_j} \, {\bf f}(t {\bf x}) \cdot {\bf x}= \frac{\partial}{\partial x_j} \, \sum_{i=1}^n f_i(t {\bf x})x_i=f_j(t {\bf x}) + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} (t {\bf x}) t x_i }
\displaystyle{=f_j(t {\bf x}) + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f_j}{\partial x_i} (t {\bf x}) t x_i = \frac{d}{dt} \left [ t f_j(t {\bf x}) \right ]. }
Se sigue de la regla de Barrow que
\displaystyle{\frac{\partial g}{\partial x_j } = \left . tf_j(t {\bf x}) \right |_{t=0}^{t=1}=f_j({\bf x}), }
de donde se deduce que {\bf f}= \nabla g.
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