INTRODUCCIÓN
Al tratar de calcular la dimensión fractal de las fluctuaciones
cuánticas del vacío (fcv), el resultado final a que llevan los cálculos,
resumidos en la tabla siguiente, es totalmente inesperado.
Todo parece
indicar que el valor verdadero del fractal que representa a las fcv es de 9 .
Al “exceso” de ese valor, sobre el valor 3 de las dimensiones topológicas,
que es 6 lo he llamado dimensión del factor de arrugamiento, pues en
cierta forma, representa la irregularidad del fractal.
En el anterior trabajo ( número 23 de Ciencia Abierta) se demostraba
que, en nuestro mundo macroscópico, las dimensiones enrolladas ejercen
cierta acción contraria a la desarrollada por la dimensión del factor de
arrugamiento. Esto se traduce en la corrección de la dependencia de las
fluctuaciones cuánticas del vacío con la distancia. A una dimensión fractal 9
le corresponde una dependencia de las fcv del orden de la raiz cúbica de la
distancia, la realidad nos dice que dependen de su inverso debido a la
corrección a la que apunto.
Por otra parte, ligado a este hecho se observa que la propia naturaleza del
cuanto de acción es un fiel reflejo de la propia geometría del Universo,
formado por 3 dimensiones ordinarias y otras 6 enrolladas. Como veremos,
al generalizar con el factor ficticio de peso f el cuanto:
Δ E t f , obtenemos la expresión 2+f = ( δ+ε ) /δ , que liga el factor
f con el número de dimensiones enrolladas ε y con el número de
dimensiones ordinarias δ . Para un valor diferente en el número de
dimensiones ordinarias o enrolladas, el valor de f sería distinto de la unidad
y el cuanto de acción, como mínima expresión de la acción, no existiría.
Es de resaltar, como veremos más adelante, que el valor 2 en la expresión
anterior es el valor de la dimensión fractal de un movimiento aleatorio puro
tipo browniano. Para f = 0, el cuanto fundamental no sería de acción sino de
energía, correspondería al mínimo valor de energía posible.
Tabla 1.-_Descripción y cálculos:
Un ejemplo de cálculo.
En principio, por similitud, nos centraremos en el cálculo de la
dimensión fractal de una variable aleatoria v de estructura fractal, como es
el movimiento aleatorio simple, que va incrementando la posición inicial con
los valores +1 ó –1, es decir : abs ( Δ v ) =1 , donde abs ( ) se traduce por “
valor absoluto de” . Es bien sabido, que el valor esperado después de n pasos
es n 1 / 2 . Su dimensión fractal será:
D = D top. (log n)/(log n 1 / 2 ) =2 , pues D top = dimensión topológica ,
que en el caso de una trayectoria clásica es igual a 1 .
Dimensión del factor de arrugamiento.
La expresión D / D top. adquiere nuevo significado si la igualamos a:
(δ+ε) / δ., siendo δ = D top. y ε un valor que llamaremos “dimensión del
factor de arrugamiento”. En este caso, siendo δ = D top. = 1, el valor de
ε será 1, y resultará tanto mayor cuanto más intrincado sea el fractal que
representa. La suma δ+ε es la dimensión fractal, para el caso no fractal,
lógicamente, ε = 0 , D / D top. = 1.
Simplificación del cálculo.
La dimensión fractal 2 es , también, la dimensión típica, de un
movimiento browniano cuya variable, aunque acotada, puede tomar muchos
más valores ( no sólo +1 ó –1). Esta circunstancia es esencial para nuestro
cálculo, pues supone que una variable v, de este tipo, se puede definir como
Δ v < constante o como abs (Δ v ) = constante , sin que cambie el valor de
su dimensión fractal y la expresión matemática del correspondiente cálculo.
Cálculo de la dimensión fractal.
El principio de incertidumbre, que acota la energía de las
fluctuaciones del vacío en función de la distancia, obedece a la expresión :
Δ E Δ x < h c/2π
( sustituyendo Δ t por c Δ x ). Eligiendo las unidades de forma conveniente y
aplicando lo que acabamos de apuntar ( el producto Δ E Δ x, se comporta
como una variable aleatoria del tipo browniano ) queda: ( Δ E ) =1 / n ,
siendo n un número entero que representa la distancia en función de la
longitud de Planck ( n = distancia/Longitud Planck). La dimensión fractal, en
este caso, será :
(1) D = D top. energía. (log n)/ (log 1/n) = -1 . Este valor negativo nos hace
pensar en algún tipo de distorsión que trataremos de identificar y
neutralizar. Para n finito ( para evitar indeterminaciones numéricas) es
lícito y conveniente convertir, mediante una proporción directa, el
valor de referencia 1/n del denominador por el número entero n :
T : { 1/n à n y, en consecuencia, n à n3 }, ( al final confirmaremos la
validez y el efecto de esta transformación, que llamamos T ) entonces :
D = D top. energía. (log n3)/ (log n ). Finalmente el valor de la dimensión fractal
de las fluctuaciones de energía del vacío D será : 3 * 3 = 9, o bien 9+1
espacio-temporal.
Generalización.
Para generalizar y poder extraer más información de los resultados,
introducimos el factor ficticio de peso f en el producto Δ E Δ x, de forma
que :
(2) Δ E (Δ x) f < h c/2π ,
y realizando la misma conversión T : ( ahora : 1/nf --> n ,y n--> n 2+f ) ,
encontramos la siguiente generalización de la expresión (1):
(3) D/ D top. energía. = (log n 2+f ) / (log n) = ( 2+f )= (δ+ε) / δ.
Es de resaltar que para f=0, la expresión de la energía en (2) resultaría la
típica de una variable puramente aleatoria, lo que concuerda con el valor de
la dimensión 2 que le confiere la expresión (3).
Descubriendo el factor que distorsiona.
Por otra parte, si realizamos el cálculo directo de la igualdad (1) (sin ningún
tipo de conversión) , obtenemos :
D/ D top. energía = ( log n)/ (log 1/nf ) = - (1/f), que basándonos en (3) y
sustituyendo f por su valor, en función de δ y ε queda:
(4) D/ D top. energía = -(1/f)= δ / (δ−ε).
Para pasar de la expresión
(3): D/ D top. energía. = ( 2+f )= (δ+ε) / δ.
a la expresión (4) no tenemos más que hacer el cambio: δ −−> δ − ε ,
es decir a la dimensión topológica δ se le sustrae el valor ε . Este cambio es
equivalente a la operación de enrollar ε dimensiones reales de las δ
totales, hasta hacerlas ocultas.( Se enrollan e l mismo número de
dimensiones que el valor ε de dimensión del factor de arrugamiento).
Nota sobre la transformación T .
Generalizada con el factor f, la transformación T, hemos visto que
convierte:
{ 1/nf à n , y , n à n 2+f }, es decir, el valor (log n )/ (log n –f ) en
( log n 2+f ) / ( log n) . La transformación: δ −−> δ − ε ( enrollar un número
ε de dimensiones) , resulta ser la inversa de la transformación T, de hecho
si sustituimos f por su valor ( ε−δ ) / δ y aplicamos la transformación T, el
resultado es equivalente a la transformación: δ / (δ−ε) à (δ+ε) / δ ( o bien:
-1/f à 2+f ). Es decir, T es capaz de eliminar el efecto de las dimensiones
enrolladas. Nos presenta el valor que tendría la expresión D/ D top. energía
sin la acción de las mismas.
CONCLUSIÓN
Una sencilla expresión 2+f = ( δ+ε ) /δ liga el número de
dimensiones ordinarias δ , el número de dimensiones enrolladas ε y el
parámetro f ligado a la naturaleza del cuanto fundamental.
micienciaabierta
