alquimiayciencias: Interpretación probabilista de ψ II

Si a diferencia de lo que ocurría en la mecánica clásica (que sigue siendo válida para objetos macroscópicos) en el mundo sub-microscópico ya no es posible hablar sobre la localización de la posición exacta de una partícula sino de tan sólo de una probabilidad de que dicha partícula pueda estar en cierta región del espacio, lo “borroso” de la partícula debe ser aplicable no sólo a una partícula confinada a un recipiente cerrado sino también a la misma partícula cuando se está moviendo de un lado a otro. Al hablar acerca del flujo de una partícula estamos hablando entonces realmente acerca de un flujo de probabilidad. Puesto que es el cuadrado de la amplitud de la función de onda ψ lo que nos dá la probabilidad de encontrar a la partícula en cierta región del espacio, la probabilidad de encontrar a la partícula dentro de esa región encerrada por una superficie A está dada por:

en donde dr = dx·dy·dz representa un elemento infinitesimal de volumen (¡no es el diferencial de un vector!). Para poder hablar acerca de un flujo de probabilidad, tenemos que saber cómo varía con respecto al tiempo la probabilidad de encontrar a la partícula dentro de dicha región. Tomando la derivada con respecto al tiempo de la igualdad de arriba tenemos lo siguiente:

Metiendo la derivación con respecto al tiempo dentro del signo de la integral y aplicando la regla de la derivada del producto de dos funciones obtenemos:

La ecuación de Schrödinger para una región del espacio en la cual el potencial puede considerarse constante e igualado a cero es la siguiente:

Tomando el conjugado complejo de la ecuación de Schrödinger tenemos:

Despejando en ambos casos para la derivada con respecto al tiempo (obsérvese que los números imaginarios i pasan como recíprocos 1/i, convirtiéndose en i/i² = -i):

Substituyendo esto en nuestra expresión para el flujo de probabilidad:

Simplificando un poco sacando las constantes fuera de la integral:

La integral que tenemos es una integral de volumen, llevándose a cabo sobre el volumen de la región de interés. Esta integral puede ser convertida en una integral de superficie mediante una identidad que nos viene del análisis vectorial (conocida a veces como elteorema de Green) que nos permite hacer la siguiente substitución para poder llevar a cabo la conversión:

La superficie en cuestión es la misma que la que encierra al volumen del que estamos hablando. Con esta identidad tenemos entonces:

Lo que tenemos a la derecha de la igualdad es el producto escalar (o producto punto) de dos “vectores”. Esto nos sugiere hacer la siguiente definición tentativa del concepto de un flujo de probabilidad (también conocido como corriente de densidad de probabilidad) de la siguiente manera (obsérvese que el flujo de probabilidad es una cantidad vectorial):

De este modo, con esta definición obtenemos la siguiente relación:

Esto último tiene una interpretación muy sencilla: la razón del cambio de la probabilidad de encontrar a una partícula dentro de una superficie A será igual al negativo del flujo total de probabilidad que está atravesando la superficie A que acota un volumen V. A este flujo de probabilidad contribuye cada elemento infinitesimal de flujo de probabilidad que pasa a través de cada elemento infinitesimal del área de que consta dicha superficie:

La interpretación probabilista de la función de onda dada por Max Born es de aplicación general y es completamente válida en cualquier sistema de coordenadas, trátese de coordenadas rectangulares Cartesianas, coordenadas esféricas, en fin, cualquier tipo de coordenadas. Tómese a modo de ejemplo un sistema de coordenadas cilíndricas (ρ,φ,z).

Con la transformación apropiada de coordenadas, podemos expresar una función de onda Ψ(x,y,z) en coordenadas cilíndricas Ψ(ρ,φ,z). De acuerdo con el criterio de Born, la densidad de probabilidad de la función de onda está dada por el producto de la función de onda Ψ y el conjugado complejo de la misma Ψ^* en cualquier sistema de coordenadas, estando en absoluta libertad de poder escoger el sistema de coordenadas que más nos convenga para la resolución de un problema. Es muy posible (aunque ello no está garantizado de antemano) que dada una función de onda Ψ(ρ,φ,z) en coordenadas cilíndricas la podamos escribir mediante la técnica matemática de separación de variables como el producto de una función de onda radial R(ρ) con una función de onda Φ(φ) y con una función de onda Z(z). Siendo así, podemos expresar la densidad de probabilidad de la función de onda (por unidad de volumen) de la siguiente manera:

Si lo que queremos es encontrar la probabilidad de encontrar una partícula con tal función de onda en cierta región del espacio cuando nuestro sistema de medición está basado en coordenadas cilíndricas, un volumen cilíndrico como el siguiente:

en tal caso tenemos que multiplicar la densidad de probabilidad de la función de onda por tal volumen expresado en coordenadas cilíndricas. Puesto que un elemento infinitesimal de línea expresado en coordenadas cilíndricas está dado por:

en donde los símbolos destacados en color azul representan vectores unitarios de base(ortogonales, a ángulos rectos entre sí) que fijan la dirección a cada componente en el sistema de coordenadas cilíndricas, entonces el elemento infinitesimal de volumen en coordenadas cilíndricas será:

De este modo, la probabilidad de encontrar a una partícula con una función de onda Ψ(ρ,φ,z) dentro de cierto volumen infinitesimal del espacio bajo consideración viene siendo:

en donde se ha destacado con color magenta el elemento infinitesimal de volumen dentro del cual queremos obtener la probabilidad de poder encontrar a la partícula. En cualquier caso, bajo cualquier sistema de coordenadas, la probabilidad de encontrar a una partícula dentro de cierto volumen se obtiene multiplicando la densidad de probabilidad por el elemento de volumen bajo consideración:

en cuyo caso la densidad de probabilidad tiene que ser una densidad de probabilidad por unidad de volumen (en problemas unidimensionales, se usará una densidad de probabilidad por unidad de longitud, y en problemas en dos dimensiones se usará una densidad de probabilidad por unidad de área).

PROBLEMA: En la mecánica clásica lo que importa son las diferencias de energía ΔE y no tanto el valor absoluto que se le pueda dar a cierto valor de energía. De este modo el nivel de referencia que se le dá a la energía potencial dentro de la mecánica clásica es arbitrario. ¿Cuáles son los efectos sobre la función de onda y sobre la energía de añadirle un potencial constante a la ecuación de Schrödinger?

Para conocer el efecto de añadirle un potencial constante V₀ a la función potencial V = V(x) que aparece en la ecuación de Schrödinger, podemos empezar con la versión unidimensional de la misma:

y agregarle un potencial constante a dicha ecuación:

Despejando para ∂Ψ/∂t de esta ecuación tenemos entonces:

Tomando el conjugado complejo de esta última ecuación obtenemos la siguiente:

Si substituímos estas dos relaciones en la expresión para dP/dt:

obtenemos entonces:

Simplificando esto último llegamos a lo siguiente:

Obviamente, los últimos cuatro términos se cancelan entre sí por pares, quedándonos únicamente:

Pero usando nuevamente la ecuación de Schrödinger para pasar los términos que involucran a las segundas derivadas de la función de onda Ψ con respecto a la coordenada-x poniéndolo todo en función de términos que involucran a la primera derivada de Ψ con respecto al tiempo, obtenemos nuevamente el punto de partida original que tendríamos si no se le hubiese añadido potencial constante alguno a la ecuación de Schrödinger. Se concluye por lo tanto que agregarle a la ecuación de onda de Schrödinger un potencial constante V₀ no produce efecto observable alguno en las variables dinámicas, al menos no algo que podamos detectar experimentalmente en el laboratorio, y por lo tanto no se producirá efecto alguno en la esperanza matemática de la energía que calculemos para un sistema basada en su función de onda. Sin embargo, la ecuación de onda en sí recogerá unfactor de fase exp(iV₀t/ħ) como consecuencia de agregarle el potencial constante V₀ a la ecuación de Schrödinger. Para demostrarlo, supóngase una solución a la ecuación de onda con la forma:

de lo cual obtenemos lo siguiente tomando derivadas de Ψ con respecto a la coordenada-x y con respecto al tiempo:

Substituyendo estas expresiones en la ecuación de onda tenemos entonces:

El factor exp(iV₀t/ħ) es común a todo los términos, con lo cual podemos simplemente borrarlo para llegar así a lo siguiente:

Invirtiendo los pasos que utilizamos para llegar a esto último tenemos la demostración formal de que agregarle un potencial V₀ a la ecuación de onda de Schrödinger equivale a tanto como añadirle a la ecuación de onda un factor de fase e^iφ con φ = V₀t/ħ, sin consecuencias medibles en el laboratorio porque el valor calculado para una observable física (a través de su esperanza matemática) no puede depender en la convención de la fase.

PROBLEMA: Tomando la divergencia para el vector flujo de probabilidad S demostrar que:

Tomando la divergencia vectorial de S tenemos lo siguiente:

Podemos simplificar esto usando la siguiente identidad vectorial en donde φ es una función escalar y f es una función vectorial:

Tenemos entonces:

El segundo y el cuarto término se cancelan dejándonos:

Usando la ecuación de Schrödinger en su forma usual y en su forma conjugada compleja la expresión se nos reduce a:

Si en el resultado que acabamos de obtener reemplazamos el producto ψ*ψ por lo que realmente representa, la probabilidad P, obtenemos lo siguiente:

Esto último es mejor conocido dentro de la Mecánica Cuántica como la ecuación de continuidad, en similitud con su contraparte clásica que se escribe de igual manera.

PROBLEMA: Considérese la siguiente ecuación para una onda plana:

en donde p es el vector momentum y r es el vector posición (no confundir el número imaginario i con el vector unitario de base i usado para el eje-x en las coordenadas Cartesianas):

p = (p_x, p_y, p_z) = ip_x + jp_y + kp_z

r = (x,y,z) = ix + jy + kz

Una ecuación de este tipo no puede ser normalizada, de modo tal que el cuadrado de la amplitud de la función de onda sólo puede representar la probabilidad de poder encontrar a la partícula en cierto punto en el espacio. La densidad de probabilidad en este caso es independiente de la posición. Una forma de visualizar la función de onda proporcionada es como un enjambre móvil de partículas con una densidad promedio de una partícula por centímetro cúbico. En este caso, las partículas se están moviendo con un momentum p y tienen una velocidad v = p/m. Con esta velocidad y con una densidad promedio de una partícula por centímetro cúbico, v partículas por segundo estarán pasando a través de una área superficial de un centímetro cuadrado perpendicular a la dirección de movimiento de las partículas:

Esto constituye el flujo de probabilidad de la onda. Obténgase el flujo de probabilidad para este caso.

El gradiente para la función de onda dada ψ es:

Tomando cada una de las derivadas parciales sobre el exponencial y simplificando un poco:

Esto lo podemos simplificar aún más escribiéndolo como:

Simplificando un poco más:

Tomaremos a continuación el conjugado complejo de ambos lados de esto último, lo cual requiere reemplazar i por -i:

Esto nos resulta en lo siguiente:

Con lo que hemos obtenido podemos calcular ya la corriente de densidad de probabilidad:

Puesto que el exponencial de cero es igual a la unidad, tenemos finalmente el siguiente resultado:

Esto último está en concordancia con el resultado clásico para la razón a la cual un flujo de partículas atraviesa un centímetro cuadrado de área superficial por unidad de tiempo bajo estas condiciones.

PROBLEMA: Demuéstrese que el flujo de probabilidad se puede escribir de la siguiente manera:

en donde “Im” representa la parte imaginaria de la función de onda.

Una función de onda siempre puede ser representada como una función compleja separada en una parte real (Re) y una parte imaginaria (Im):