La ecuación Lippmann-Schwinger (29855)

La ecuación Lippmann-Schwinger tiene sus orígenes en un trabajo elaborado conjuntamente por Bernard A. Lippmann y Julian Schwinger publicado en agosto de 1950 en el volumen 79 del Physical Review bajo el título “Variational Principles for Scattering Processes”. En su quintaesencia, en dicho trabajo se aplican los principios del análisis de variaciones a la teoría cuántica del esparcimiento de partículas, y en el proceso se inventa una nueva forma de la ecuación de Schrödinger, hoy conocida como la ecuación Lippmann-Schwinger.

Supóngase que tenemos un haz de partículas. Supondremos que el operador Hamiltoniano H puede ser escrito del siguiente modo:

siendo H₀ la parte que representa al operador de energía cinética que mediante un vector tridimensional del momentum p está dado por la relación:

Cuando no hay esparcimiento alguno, ello se debe a que el potencial V es igual a cero en toda la región de interés, y un eigenestado de energía será simplemente el estado de una partícula libre. La presencia del potencial V trae como consecuencia que el eigenestado de energía sea diferente del que corresponde a una partícula libre. Sin embargo, si suponemos que el proceso de esparcimiento es elástico, no habiendo cambio alguno en la energía de las partículas al llevarse a cabo el esparcimiento, estamos entonces interesados en obtener una solución a la ecuación de Schrödinger con el mismo eigenvalor de energía. Para esto, supóngase que se tiene una eigenecuación como la siguiente (usamos φ en la representación del ket en lugar de p porque p es lo que usualmente se relaciona con estados de ondas planas, siendo que en los problemas de esparcimiento estamos interesados no sólo en ondas planas sino también en ondas esféricas; y el ket con φ representará a ambas):

Al tomar en cuenta los efectos de la presencia de un potencial V, La eigenecuación general que estamos interesados en resolver es la siguiente:

Para una partícula libre que no se encuentra en estado ligado alguno, tanto el operador H₀ como el operador H₀.+.V conducen a espectros de energía continuos. Estamos buscando una solución a esto último tal que conforme V.→.0 se tenga:

Procediendo en forma tentativa, una posible solución consiste en  “despejar algebraicamente” para obtener una relación como la siguiente:

Aplicando E.-.H₀ en ambos lados y simplificando conforme lo que tenemos más arriba, resulta fácil verificar que, al menos desde un punto de vista puramente algebraico, lo que se tiene es consistente con lo que se ha especificado previamente:

Sin embargo, la parte que se destaca a continuación en color magenta:

a primera vista parece ser un absurdo, porque si el E.-.H₀ que aparece en el denominador se toma como un operador, entonces lo que se tiene para “operar” sobre lo que hay a la derecha requiere dividir previamente a la unidad entre el operador, lo cual parece tener tan poco sentido como el tratar de dividir 1 entre una matriz. Para hacernos a la idea de que podemos tratar de interpretar lo que se tiene en color magenta como algo con lo que de cualquier modo se puede trabajar operacionalmente, en vez de la simbolización anterior podemos recurrir a una simbolización alterna como la que usamos en Teoría de Grupos para denotar un operador inverso que al actuar sobre el operador mismo resulta en una operación identidad:

De cualquier modo, esta cuestión de semántica no es el verdadero problema. El verdadero problema se tiene en el caso en que E sea igual a H₀, lo cual conduce a una singularidad, el equivalente de una división entre cero. Solventar esto requiere algo de ingenio, y esto fue precisamente lo que hicieron Lippmann y Schwinger al proponer añadir una cantidad iε a lo que se tiene en el denominador para así tener la siguiente fórmula alterna (obsérvese que se ha añadido a la función de onda ψ un + entre paréntesis para indicar que se trata de una cantidad que se ha sumado al denominador original):

Igualmente como se añadió una cantidad iε a lo que se tiene en el denominador, también se puede restar iε a lo que se tiene en el denominador para así tener la siguiente fórmula alterna:

Es usual representar ambas propuestas en una sola del siguiente modo:

Esta es precisamente la ecuación mejor conocida como ecuación Lippmann-Schwinger. Tal y como está dada, es una ecuación de ket válida tanto en el espacio-posición como en el espacio-momentum. Faltan por definir varios detalles, tales como la interpretación física que se le pueda dar a la variante en donde se usa el signo positivo en contraposición con la interpretación física que se le pueda dar a la variante en donde se usa el signo negativo. Si estamos interesados en trabajar en el espacio-posición, podemos empezar pre-multiplicando esta ecuación Lippmann-Schwinger con un bra de posición (tridimensional) y recurriendo en esta operación a un operador identidad tridimensional (destacado en color magenta, en una forma parecida a lo hicimos en la entrada “El método de las ondas parciales IV”):

Obsérvese que en esta ecuación el ket desconocido pendiente de ser evaluado:

aparece bajo el signo de la integral, y lo que se tiene por lo tanto es una ecuación integral, como la ecuación integral de Schrödinger que se obtuvo para el desarrollo de la serie de Born (véase la entrada “La aproximación de Born III”).

Por otro lado, si estamos interesados en trabajar en el espacio-momentum, la ecuación Lippmann-Schwinger escrita en esta representación resulta ser:

Veamos nuevamente la ecuación integral definida en el espacio-posición:

Podemos tomarla re-escribiéndola de la siguiente manera:

Siguiendo las convenciones en el estudio matemático formal de las ecuaciones integrales, lo que se ha destacado en color magenta:

es lo que se conoce como el gránulo (o kernel) de la ecuación integral. Resolver una ecuación integral consiste esencialmente en tratar de averiguar la expresión analítica del gránulo. Podemos llevar a cabo la resolución de la ecuación integral, pero eventualmente encontraremos que para esta ecuación integral el gránulo es la siguiente función que ya hemos encontrado con anterioridad en nuestros estudios previos del esparcimiento de partículas:

El gránulo es, en efecto, una función de Green (de allí el uso de la letra G en la simbolización). Se trata de lo mismo que ya obtuvimos en entradas previas (mediante el Análisis Vectorial, en la entrada “La aproximación de Born I”; y mediante la Teoría de las Variables Complejas, en la entrada “La aproximación de Born III”). Vale la pena ver cómo se puede obtener esta función de Green usando la notación que hemos estado desarrollando en esta entrada. Para ello, tomaremos:

y haremos el siguiente desarrollo injertando dos operadores identidad, uno para el ket p’ y el otro para el ket p’’ (usaremos dos colores distintos para distinguir ambos operadores identidad):

habiéndose tomando como presunción de que el operador de energía cinética H₀ actúa sobre el bra:

Se resalta el hecho de que cada una de las dos integrales en la penúltima relación, tanto la integral en color azul como la integral en color magenta, en realidad representan en forma abreviada tres integrales, en virtud de que cada vector de momentum p’ y p’’ representa vectores tridimensionales, válidos en cualquier sistema de coordenadas. Hay, por lo tanto, seis integraciones a llevarse a cabo arriba. Por la ventaja que representa explotar la simetría esférica relacionada con los problemas del esparcimiento de partículas, recurrimos a un sistema de coordenadas esféricas. Por otro lado, se tiene que:

en donde el delta triple δ⁽³⁾, en un sistema de coordenadas rectangulares Cartersianas, representa el siguiente producto de tres funciones delta de Dirac:

mientras que en un sistema de coordenadas esféricas representa el siguiente producto de tres funciones delta de Dirac:

Además, por lo que hemos visto ya previamente (véase la entrada “El espacio-posición y el espacio-momentum IV”):

Entonces la relación en la que estamos trabajando se reduce a (obsérvese que las seis integrales quedan abatidas a únicamente tres integrales, llevadas a cabo sobre p’):

Puesto que la expresión principal que tenemos bajo la integral triple es una relación en el espacio-momentum y la integración se lleva a cabo también sobre el espacio-momentum, no nos debe preocupar ya el aspecto operacional del integrando del mismo modo en que al manejar problemas en donde aparece la variable posición y en donde afortunadamente no aparezca también la variable del momentum podemos manejarlo todo en un sentido puramente algebraico sin tener que recurrir a susbstituciones tales como:

que como ya hemos visto en muchos problemas nos vienen a complicar las cosas; y si bien es cierto que en el exponencial:

aparece la variable posición (tridimensional) como una diferencia entre dos vectores posición x y x’, podemos dar cuenta de ello tomando el producto escalar entre los vectores haciendo algo como lo siguiente:

en donde |x-x’|, destacado en color azul, es la magnitud de la diferencia entre dos vectores, o sea un escalar, un número que tomamos como una constante, con lo cual la variable ha sido transferida al ángulo θ que es justo lo que necesitamos para un problema que involucra simetría esférica. Además, en el caso que nos ocupa, podemos hacer E.=.ħ²k²/2m. 

Y del mismo modo, para no tener que andar lidiando con las ħ, podemos hacer p’.=.ħq. Haciendo esto, y fijando la integración sobre un sistema de coordenadas esféricas, la relación se puede simplificar un poco más (en la segunda línea llevaremos a cabo la integración sobre la coordenada φ mientras que en la cuarta línea llevaremos a cabo la integración sobre la coordenada θ):

El problema aquí, desde luego, es la integración, en virtud de que el integrando explota hacia el infinito al cumplirse la condición:

Esto último lo podemos escribir de la siguiente manera:

Si recurrimos a la expansión binomial (un método muy utilizado para calcular raíces cuadradas antes del advenimiento de las calculadoras de bolsillo):

entonces q es aproximadamente igual a:

en donde hemos definido a una nueva ε’. De este modo, podemos ver que el integrando tiene dos polos en el plano complejo. La integración debe ser llevada a cabo, por lo tanto, en el plano complejo, y tiene que ser llevada a cabo mediante una integral de contorno recurriendo al método de los residuos que se estudia en la Teoría de las Variables Complejas:

Pero ya hemos visto esto mismo antes (véase la entrada “La aproximación de Born III”). Y ya conocemos la respuesta. Es la función de Green G(x,x’) para la ecuación de Helmholtz:

o sea:

Podemos, por lo tanto, escribir la relación:

del siguiente modo:

En base al resultado obtenido, la función de onda total en la presencia de un esparcidor es igual a la suma de la función de onda para la onda plana incidente y un término adicional que incorpora los efectos del esparcimiento que se lleva a cabo. Ambas funciones de onda, la función de onda esférica esparcida superimpuesta (en virtud de la superposición linear) sobre la onda plana incidente, son las que producen el perfil resultante que esperamos detectar en el laboratorio. Tomando las aproximaciones pertinentes, se puede demostrar de lo anterior que a distancias radiales suficientemente grandes (en lo que es conocido en óptica como la zona de radiación) la dependencia espacial del segundo término es:

siempre y cuando el potencial sea de un alcance finito.

Estamos ya en condiciones de poder darle una interpretación física a los signos aritméticos en la expresión obtenida con la ayuda de la ecuación Lippmann-Schwinger. La solución positiva corresponde a una onda plana sumada a una onda esférica saliente (radiando hacia afuera del centro de esparcimiento), mientras que la solución negativa corresponde a una onda plana sumada a una onda esférica entrante (radiando hacia el centro de esparcimiento). En la mayoría de los problemas encontrados, estamos interesados en la solución positiva, en virtud de que no es fácil preparar en el laboratorio un sistema que satisfaga las condiciones de frontera apropiadas para la solución negativa.

Para poder ver en mayor detalle en forma más explícita el comportamiento de la función de onda total, considérese el caso en el cual el potencial V está localizado, siendo un potencial local que por lo tanto es diagonal en la representación-x. Dentro de esta categoría caen todos los potenciales que son funciones únicamente de la posición. Usando términos más precisos, decimos que un potencial V es local si puede ser escrito de la manera siguiente:

Como consecuencia de esto último, se obtiene lo siguiente con la ayuda de un operador identidad (destacado en color magenta):

Con esto, la ecuación integral obtenida arriba para la descripción del esparcimiento de partículas se puede escribir de la siguiente manera:

Esto debe resultar familiar. Se trata esencialmente de la misma ecuación integral de Schrödinger obtenida en la entrada “La aproximación de Born III”:

con la diferencia de que aquí se obtuvo lo mismo por una vía más elegante y sofisticada partiendo de la ecuación Lippmann-Schwinger.

No hay nada mejor para entender la puesta en práctica de la ecuación Lippmann-Schwinger que un ejemplo aplicado. Para mayor simplicidad, consideraremos un caso de esparcimiento de partículas que se lleva a cabo en una sola dimensión, en lo que vendría siendo un problema de transmisión y reflexión de partículas a través de una barrera de potencial de altura finita y de rango igualmente finito:

Ya hemos visto con anterioridad este tipo de problemas (véanse las entradas tituladas “Transmisión y reflexión de partículas”), pero ahora lo atacaremos usando tecnología matemática de mayor sofisticación.

Supóngase que se tiene una onda que incide desde la izquierda sobre la barrera de potencial:

Después de que la onda de materia ha impactado sobre la barrera de potencial, se tendrá una onda transmitida y una onda reflejada. Para tener una onda transmitida (hacia la derecha) para valores de x mayores que a, el operador singular:

es manejado mediante la prescripción:

E → E + iε

En cambio, para valores de x menores que -a, recurrimos a la prescripción:

E → E - iε

En una dimensión, la ecuación Lippmann-Schwinger sigue siendo la misma:

Todos los pasos anteriores de derivación para el caso tridimensional siguen siendo los mismos en el caso unidimensional, y la única diferencia aparece en la función de Green en forma notacional (sin usar vectores posición o momentum tridimensionales) tanto para una onda transmitida como para una onda reflejada:

Recurriendo a dos operadores identidad (y en este caso solo hay dos integraciones a llevarse a cabo) se tiene (un operador identidad es destacado de color azul, y el otro de color magenta):

Aplicando simplificaciones semejantes a las que se usaron para el caso tridimensional, se tiene:

Haciendo el cambio a la variable q (unidimensional), se tiene también de modo similar:

Con los polos ubicados en:

la integración de contorno llevada a cabo en el plano-q nos produce los siguientes dos resultados:

En la electrodinámica clásica en donde también hacen su aparición las funciones de Green, se acostumbra llamar a la función de Green con el signo positivo función de Green retardada, mientras que la función de Green con el signo negativo es conocida como función de Green avanzada. Hasta ahora no hemos tomado en cuenta el efecto de la variable del tiempo en el esparcimiento de partículas, porque en el tipo de problemas que hemos estudiado el efecto del tiempo carece de relevancia. Sin embargo, si vamos a considerar una situación dinámica, entonces la distinción entre una función de Green retardada y una función de Green avanzada adquiere mucha mayor relevancia.

Por lo pronto, la ecuación integral para la onda transmitida es:

o bien:

Procediendo del mismo modo, se tiene la siguente ecuación integral para la onda reflejada:

No hemos especificado aún el tipo de barrera de potencial con el que queremos trabajar (o sea, la altura y la anchura de la barrera). Resulta conveniente recurrir a un potencial delta de Dirac atractivo (para ser atractivo en lugar de repulsivo, el potencial tiene que tener desde luego un signo negativo) como el siguiente:

siendo γ una constante positiva. Ya hemos tratado con anterioridad este tipo de potenciales (véase la entrada “El potencial delta de Dirac”). Podemos tratar de visualizar el potencial que estaremos con un dibujo como el siguiente (es, desde luego, imposible reproducir en forma gráfica algo que tiene una anchura prácticamente igual a cero y una altura prácticamente igual a algo infinito):

siendo el “área bajo la curva” (pintada de color verde claro) igual a α.

Para una onda transmitida para un potencial de este tipo, se tiene:

Si fijamos x.=.0 (este es el centro del rango en donde el potencial es diferente de cero), entonces la ecuación anterior toma el siguiente aspecto:

Si substituimos esto en la penúltima relación, se tiene entonces:

Por inspección de esto último, se concluye que para valores de x mayores que a, el coeficiente de transmisión T (como se define usualmente) debe ser:

mientras que para valores de x menores que -a el coeficiente de reflexión R debe ser:

No cuesta mucho trabajo confirmar que los resultados obtenidos son consistentes con lo que se ha visto previamente (desde una perspectiva más elemental) en lo que concierne a la transmisión y reflexión de partículas.

A estas alturas es posible que el lector se esté preguntando: ¿es la ecuación Lippmann-Schwinger, con su rebuscada complejidad, realmente necesaria, habiendo visto previamente otras técnicas menos exóticas para el análisis y la resolución de problemas de esparcimiento de partículas? Todo depende del tipo de problema que se esté analizando. La ecuación Lippmann-Schwinger introduce una nueva perspectiva en la cual los fenómenos del esparcimiento de partículas pueden ser estudiados mediante la rica variedad de polos en el plano complejo que a su vez conducen a una comprensión mayor de los fenómenos de resonancia.

Ya hemos visto en entradas previas que un potencial δ de Dirac como el que tenemos arriba, con γ positivo, admite un estado ligado (y sólo un estado ligado). A continuación nos preguntamos si las amplitudes que hemos obtenido arriba para la transmisión y la reflexión poseen los polos que corresponden a estados ligados cuando k es considerada no como una cantidad real sino como una variable compleja. De las expresiones que hemos obtenido para T y para R, vemos de inmediato que ambas tienen polos en k.=.iγ/2, y que:

Por otro lado, para el potencial delta que tenemos aquí, la ecuación de Schrödinger correspondiente:

tiene las siguientes dos soluciones (obsérvese que en el exponencial no estamos usando la k latina sino la κ griega):

para valores positivos de x y para valores negativos de x, en donde se ha hecho (como se acostumbra hacerlo en muchos textos):

satisfaciéndose en el borde de x.=.0 la condición de frontera:

Esto último implica que κ.=.γ/2, o lo que es lo mismo k.=.iγ/2, de lo cual se deduce que (omitiremos la constante de normalización por no ser indispensable para la comparación que queremos establecer):

Esto está en completa concordancia con lo mismo que se obtuvo arriba de la discusión previa de T y R y los polos de estados ligados cuando k es tratada no como una variable real sino como una variable compleja.

Podemos encontrar una forma alterna para expresar la función de Green:

en coordenadas esféricas para una onda saliente que sea una solución a la ecuación de Helmholtz (el super-índice (3) que se ha puesto en el δ es opcional y se ha puesto únicamente para resaltar el hecho de que es una función delta de Dirac tridimensional):

La función delta de Dirac tridimensional, expresada en coordenadas esféricas se puede escribir del siguiente modo:

En algunos textos se acostumbra compactar esta función delta de la siguiente manera conjuntando los ángulos θ y φ en un ángulo sólido Ω:

siendo:

De que esta relación es justa se puede comprobar considerando que el elemento infinitesimal para el ángulo en coordenadas esféricas está dado por:

con lo cual:

Usualmente, en lugar del elemento infinitesimal dθ se utiliza como substitución de variable al elemento infinitesimal d[cos(θ)], con el objeto de no estar arrastrando a sen(θ) por todos lados.

En virtud de que vamos a postular una expansión de la función de Green G₊(x,x’) que estará en función de sumatorias que involucran armónicas esféricas, recurriremos a la siguiente relación de completitud (relación de cerradura) para armónicas esféricas (esto es simbolismo puro; recuérdese, por si acaso se ha olvidado, que la función δ de Dirac solo tiene sentido cuando es utilizada bajo un signo de integración):

PROBLEMA:

 Demostrar la relación de completitud de las armónicas esféricas.

El punto de partida es el hecho de que las armónicas esféricas forman un conjunto completo en el sentido de que cualquier función razonable (una que se pueda encontrar en situaciones físicas) de θ y φ puede ser expandida como una suma infinita Fourier de tales funciones:

estando dadas las constantes a_lm por:

Por brevedad, denotaremos las direcciones (θ,φ) y (θ’,φ’) como Ω y Ω’ respectivamente. Simbolizaremos también al elemento diferencial de ángulo sólido dΩ sobre una esfera unitaria como dφdcos(θ). Usando las dos relaciones anteriores e invirtiendo el orden de la sumación y la integración, se tiene:

llevándose a cabo la doble integración sobre el ángulo sólido completo de la esfera unitaria (4π esteroradianes). Pero esto a su vez implica que lo que se tiene dentro de los paréntesis cuadrados debe ser una función delta de Dirac:

lo cual es requisito indispensable para que se pueda tener:

De este modo, la vericidad de la relación a probar ha quedado demostrada.

Pondremos la relación que se acaba de demostrar en la siguiente forma alterna que resultará un poco más ventajosa para fines posteriores de simplificación:

Por otro lado, tal y como se había adelantado, a continuación postularemos la función de Green que queremos desarrollar en función de armónicas esféricas:

siendo g_l una función de Green radial que está pendiente de ser determinada (usamos una g minúscula en lugar de una G mayúscula con la finalidad de evitar confusiones). El problema, desde luego, consiste en determinar la forma de g_l.

Al llevarse a cabo la substitución para δ(x-x’) y G₊(x,x’) de estas últimas dos relaciones en la ecuación de Helmholtz dada arriba:

se puede apreciar de inmediato que el cálculo más laborioso será el que corresponde al término:

habido el hecho de que el operador ∇² a ser usado tiene que estar especificado no en coordenadas rectangulares Cartesianas sino en coordenadas esféricas. En virtud de la cantidad de álgebra involucrada, se presentarán únicamente los resultados que se obtienen al llevarse a cabo las simplificaciones de rigor. El resultado final es que terminan eliminándose las armónicas esféricas Y_l,m obteniéndose un conjunto de l ecuaciones diferenciales, una ecuación diferencial para cada g_l, cada una de las 
cuales se asemeja en forma a la estructura típica de una ecuación de Schrödinger:

La resolución de esta ecuación diferencial con la finalidad de determinar la función de Green radial g_l tampoco es un asunto trivial. Para la solución de la misma, es necesario recurrir a las condiciones de frontera que requieren que g_l sea finita tanto en el origen como en el infinito. 

El procedimiento de solución requiere de algunas herramientas de cálculo que suelen introducirse en libros que tratan sobre el tema de la Electrodinámica Clásica (como el libro del mismo nombre de John D. Jackson). Usando tales técnicas de análisis, se obtienen dos soluciones, todo depende de que r sea mayor que r’ o de que r sea menor que r’. Suponiendo que las superficies esféricas de acotamiento sean dos esferas concéntricas en r.=.r y r.=.r’, entonces para el caso en el que r sea menor que r’:

la solución es:

en donde se tiene el producto de una función esférica de Bessel .j_l y una función esférica de Hankel h⁽¹⁾_l  y en donde A es una constante pendiente de ser evaluada. 
Por el contrario, cuando r sea mayor que r’, la solución es:

Con el propósito de no estar arrastrando por todos lados dos expresiones diferentes, se acostumbra compactar las dos soluciones en una sola:

 usando para ello la convención notacional:

La obtención función radial de Green g_l suele ser cubierta en textos que tratan de forma más detallada el tema de las funciones de Green. Tratar la teoría de las funciones de Green en detalle nos sacaría muy fuera del tema que estamos estudiando. Sin embargo, para no dejar al lector con muchas dudas, se hará aquí una pequeña disgresión tomando parte del material que aparece publicado en el capítulo 11 bajo el título “Spherical Symmetry” del trabajo “Green’s functions in Physics” de Marshall Baker y Steve Sutlief (disponible en Internet). Se resaltarán tanto el inicio como el final de la disgresión para aquellos lectores que prefieran saltarse el anexo manteniendo continuidad en lo que tenemos arriba.

INICIO DE LA DISGRESIÒN

Estamos interesados en la solución de problemas que involucran a la función de Green cuando dichos problemas están enunciados usando coordenadas esféricas.

Repasemos primero lo que es la esencia de la función de Green, y por qué se requiere una función tal. Cuando se tiene una ecuación diferencial como la siguiente:

la función ψ(r) tiene una solución sencilla si se aplican las técnicas convencionales que se ven en cualquier curso introductorio de Ecuaciones Diferenciales. Este tipo de ecuación diferencial es conocida como una ecuación diferencial homogénea. Sin embargo, supóngase que se tiene una ecuación diferencial como la siguiente en la que lo que se tiene del lado derecho de la igualdad no es un cero sino otra cosa que inclusive puede ser una función, algo como lo siguiente:

Este tipo de ecuación diferencial es conocida como una ecuación diferencial no-homogénea o inhomogénea. Los problemas que se tengan para resolverla dependerán directamente del tipo de función que se tenga a la derecha. En los problemas propios de la Mecánica Cuántica, es muy común que la función sea una función delta de Dirac.

Si podemos imaginar al función δ como un “cascarón esférico”, resulta obvio que dicho cascarón subdivide a la región del espacio en dos regiones, una región que es interior al cascarón, y otra región que es exterior al cascarón. La idea esencial consiste en tomar la ecuación diferencial original obteniendo de la misma tres ecuaciones diferenciales: una ecuación diferencial homogénea que corresponde al interior del cascarón en donde la función δ es igual a cero; otra ecuación diferencial homogénea que corresponde al exterior del cascarón en donde la función δ también es igual a cero; y una tercera ecuación diferencial en donde la función δ no es igual a cero, teniéndose por lo tanto una ecuación diferencial no-homogénea que nos presenta una discontinuidad abrupta con respecto a las soluciones que esperamos de las ecuaciones diferenciales homogéneas pero que de cualquier modo puede resolverse con los métodos de aproximación que ya hemos usado en el caso de las funciones delta de Dirac (véase la entrada “El potencial delta de Dirac”). Entendido esto, el problema consiste entonces en resolver cada ecuación diferencial y “pegar” las tres soluciones usando las condiciones de frontera. Podemos, si así lo deseamos, ofrecer las tres soluciones cada vez que se ofrezca. Sin embargo, por razones de simplicidad, se acostumbra juntar las tres soluciones en una sola función dándole a dicha función el nombre de función de Green, en memoria del matemático británico George Green, el primero al que se le ocurrió esta idea.

Si tomamos la ecuación de Helmholtz:

y representamos el operador que actúa sobre la función de Green G₊(x,x’) simplemente como L, se tiene entonces la siguiente ecuación compacta:

En la teoría clásica de las funciones de Green es frecuente encontrar un operador más amplio en el que se agrega tanto al operador como a la función de Green una cantidad λ que suele ser un número complejo arbitrario que representa el cuadrado de la frecuencia continuada hacia el plano complejo, al cual restaremos importancia en el desarrollo que se está llevando a cabo aquí, y si el lector así lo desea lo puede tomar como igual a la unidad. La relación que frecuentemente se encuentra en tales textos es la siguiente:

Ahora bien, defínanse τ.=.τ(x).=.τ(r) y σ.=.σ(x).=.σ(r) como funciones que son esféricamente simétricas. Defínase también al potencial V(x).=.V(r) como un potencial que es también esféricamente simétrico. Con ello, defínase como operador linear L₀ al siguiente operador:

en donde:

es el término usualmente conocido como el “término centrífugo”. En realidad, lo único que se ha hecho aquí es introducir como parte de L₀ al operador ∇² expresado a su vez en coordenadas esféricas.
 De este modo, el objetivo ahora consiste en resolver la siguiente ecuación diferencial:

Siendo la incógnita G_lm la incógnita, intentamos una solución que tenga la siguiente forma (obsérvese que no usamos aquí comillas ni en θ ni en φ):

La simetría de θ, φ y θ’, φ’ en esta solución que se propone satisface un requerimiento de la función de Green conocido como el principio de reciprocidad., el cual nos permite dispensar de las comillas en θ’ y φ’. Substituyendo la solución propuesta en la ecuación diferencial y usando una ecuación mecánico-cuántica que ya hemos visto con anterioridad en nuestros estudios sobre operadores del momento angular:

esto trae como consecuencia que el operador Lθφ pueda ser reemplazado por el eigenvalor de Y_l,m que es l(l.+.1). El principio de la superposición linear nos garantiza que podemos enfocar nuestra atención en un solo término de la sumatoria a sabiendas que los resultados obtenidos serán igualmente válidos para los demás términos. Puesto que el operador linear original ya no involucra ni a θ ni a φ, podemos factorizar y dividir ambos lados entre Y_l,m para obtener la siguiente ecuación radial:

De este modo, se ha eliminado la dependencia en m del operador linear, m es ya tan solo un índice de degeneración para las 2l.+.1 soluciones distintas de la ecuación con el operador Lθφ para un l fijo. Lo cual permite eliminar el sub-índice m escribiendo G_l en lugar de G_lm. Podemos reconocer ahora a la función de Green G_l como la función radial de Green g_l que se había especificado más arriba. Con esto podemos definir al operador radial como:

Se había afirmado también que la función de onda radial de Green tiene la siguiente solución:

¿Pero de dónde puede salir algo como esto? Recordemos que la función delta de Dirac lleva a cabo una partición de toda la región del espacio en tres regiones posibles, una región interior y una región exterior (como ya se mencionó, hay de hecho una tercera “región”, la cual ocurre justo en donde la función delta de Dirac tiene un valor diferente de cero, pero haremos por lo pronto a un lado este detalle). Resulta que para una región la solución matemática viene siendo la función esférica de Bessel .j_l, mientras que para la otra región la solución matemática viene siendo la función esférica de Hankel h⁽¹⁾_l.

Si recurrimos a las condiciones de frontera en lo que toca a la continuidad de las pendientes de las soluciones G, recuérdese que justo en donde la función delta de Dirac no es igual a cero se tiene una discontinuidad severa que da lugar a una ecuación no-homogénea. La pendiente de la función G en los sitios de encuentro de las soluciones está relacionada con el hecho de que las condiciones de frontera sean o no esféricamente simétricas. Si no lo son, se vuelve necesario tomar en consideración los ángulos:

para x tocando con su punta una superficie  S y para x’ ubicado en una región R. Las cosas resultan mucho más sencillas si se consideran condiciones de frontera esféricamente simétricas:

lo cual nos permite fijar κ_int(S).=.k_a para la región interior y κ_ext(S).=.k_b para la región exterior, con lo cual:

Estas condiciones deben ser válidas para la función radial de Green G_l que se obtuvo arriba, o sea:

Estas ecuaciones que provienen de las condiciones de frontera, junto con la ecuación diferencial radial para G_lm, determinan en forma unívoca a G_l. Los tres casos especiales de interés son:

1) El problema interno: a → ∞
2) El problema externo: b → 0
3) El problema para todo el espacio: a → 0 y b → ∞

Estos tres casos corresponden, respectivamente, al problema del estado ligado, al problema del esparcimiento de partículas, y al problema del espacio libre.

Para problema externo esférico (esparcimiento de partículas), la región R de interés es la región situada afuera de una esfera de radio a, y la frontera S es la superficie de la esfera. Los parámetros físicos  son todos ellos esféricamente simétricos, o sea que se tiene τ(r), σ(r), V(r) y  κ(S).=.k_a. La condición de frontera es entonces:

en donde r.=.a para todos los ángulos θ y φ, esto es:

lo cual implica que:

La otra condición de frontera es que la función de Green G_l esté acotada (debe tener siempre algún valor finito) conforme r.→.∞.

Ahora bien, hay dos maneras distintas de interpretar una función de Green en términos de soluciones de la ecuación homogénea. Una de ellas consiste en estudiar la manera en la que se comporta cerca de sus polos en el plano complejo considerándola como una suma de residuos (aquí estamos tomando prestada la terminología que se utiliza en la Teoría de Variables Complejas; obsérvese también que las ls puestas en las funciones u_n no son exponentes, son super-índices, razón por la cual fueron puestas dentro de paréntesis para evitar que los super-índices puedan ser confundidos con exponentes):

La otra consiste en escribir las funciones de Green como el producto de la solución que satisface la condición superior de frontera y la solución que satisface la condición inferior de frontera, dividiendo el producto entre un Wronskiano W obtenido de las soluciones para así garantizar la continuidad del producto-solución. Si tomamos dos funciones u₁ y u₂ a las cuales se les pueda aplicar la siguiente definición matemática del determinante Wronskiano:

y si nos ponemos de acuerdo en la siguiente convención notacional:

entonces la teoría formal de las funciones de Green nos garantiza que la función de Green estará dada por la relación:

en donde u₁ y u₂ satisfacen las condiciones de frontera:

Si una de las funciones u es una función esférica de Bessel .j_l y la otra función u es una función esférica de Hankel h⁽¹⁾_l, la evaluación del Wronskiano y la posterior simplificación de lo anterior nos produce la solución que se había dado ya previamente para la función radial de Green g_l.

FINAL DE LA DISGRESIÒN

Al aparear la discontinuidad que ocurre en el punto r.=.r’ (el origen), se encuentra que ello requiere que la constante A de g_l sea igual a ik. De este modo, juntándolo todo, se tiene la siguiente expansión para la función de Green en coordenadas esféricas:

de lo cual se obtiene:

Este resultado que acabamos de obtener resulta útil en el estudio de potenciales esféricamente simétricos. Para potenciales de este tipo, y para el caso de ondas esféricas salientes, podemos recurrir a la representación de un ket de estado como:

en donde el (+) agregado dentro del ket indica que lo estaremos usando en referencia a ondas esféricas salientes. Con esta convención notacional, la ecuación Lippmann-Schwinger para ondas esféricas puede ser escrita del siguiente modo:

Para enfatizar el hecho de que estaremos trabajando en el espacio-posición, y haciéndolo en tres dimensiones (naturalmente), premultiplicaremos todo lo anterior con un bra de posición, intercalando además dentro de ello dos operadores identidad (resaltados con colores azul y magenta):

Anteriormente, en otra entrada, ya habíamos obtenido la siguiente relación (véase “El método de las ondas parciales IV”):

(En lo que sigue, por razones de mera conveniencia tipográfica, estaremos usando las simbolizaciones equivalentes Y_l,m.=.Y_l^m.). Esta es la ocasión propicia para usar dicho resultado. En base a esto, podemos intuir por otro lado que la expresión apropiada para:

tendrá la forma:

Obsérvese que en esto último se ha especificado una función pendiente de ser determinada, A_l.(k;r), la cual no suponemos de antemano que tenga que ser necesariamente una función de Bessel. Con estas expresiones la relación que tenemos arriba:

toma la siguiente forma:

o bien:

Suponiendo que el potencial V(x) no está desparramado en el espacio sino que está muy bien localizado en cierto punto del mismo, esto es:

y metemos además el resultado previo:

entonces la relación se puede escribir como (para mayor simplicidad simbolizaremos las armónicas esféricas en función de vectores posición unitarios radiales r y r’ en lugar de los ángulos  θ, φ así como los ángulos θ’, φ’ respectivamente aclarándose que el significado en las Y_l,m sigue siendo el mismo; obsérvese también que cada integral es una integral volumétrica por lo que en realidad se tienen seis integrales):

Trabajando sobre el segundo término en el cual enfocaremos nuestra atención, abatiremos primero una de las integrales triples poniendo en acción la acción definitoria de la función delta de Dirac (obsérvese cómo se elimina la diferencial volumétrica con la doble comilla junto con la función δ⁽³⁾):

A continuación, podemos usar ventajosamente la propiedad de ortonormalidad que guardan entre sí las armónicas esféricas:

teniendo entonces:

Las dos funciones delta (destacadas en color magenta) nos permiten sacar fuera los símbolos de sumatorias dejando en el integrando únicamente lo que queda en pie de aquellos términos que corresponden a productos “no cruzados”, abatiendo en el proceso a dos de las integrales (las que corresponden a la parte angular) dejándonos por fin una sola integral (la que corresponde a la parte radial, destacado también esto en color magenta), pudiendo sacar a la vez fuera de la integral a la armónica esférica (obsérvese también que el argumento vector posición tridimensional x’ del potencial V es cambiado a la distancia radial r’ al no haber ya ambigüedad alguna):

Por lo tanto, la relación que se estaba buscando demostrar queda del siguiente modo:

o bien:

Casi al final de la DISGRESION dada arriba se había afirmado que una manera de interpretar una función de Green en términos de soluciones de la ecuación diferencial homogénea consiste en estudiar la manera en que la función de Green se comporta cerca de sus polos en el plano complejo considerándola como una suma de residuos. Retomaremos esta afirmación por la importancia que el asunto reviste.

Como ya lo vimos arriba, podemos afirmar que en su caso más general la ecuación diferencial no-homogénea de Helmholtz está dada por una expresión como la siguiente:

observándose que cuando la función arbitraria que aparece en el lado derecho de la igualdad es igual a cero, entonces la ecuación no-homogénea se convierte en una ecuación homogénea de Helmholtz:

Una peculiaridad de este último tipo de ecuaciones (homogéneas) es que dan lugar no a una solución única sino a un conjunto (muchas veces infinitamente grande) de soluciones posibles, igualmente válidas todas ellas. La ecuación básica clásica del oscilador armónico simple es de este tipo. Esto significa que de tal ecuación se obtienen eigensoluciones que corresponden a eigenfunciones que podemos simbolizar como φ_n, de forma tal que la ecuación homogénea toma el siguiente aspecto:

La función que hemos estado usando arriba para el término no-homogéneo es la función delta de Dirac, para la cual la solución es la función de Green con la que hemos estado trabajando:

Esta ciertamente parece ser una ecuación no-homogénea de Helmholtz, excepto para r₁.=.r₂ en donde la ecuación se reduce a:

Esto nos lleva a sospechar que las funciones de Green puedan estar caracterizadas por eigenvalores.
 Si esto es así, entonces debe ser posible llevar a cabo una expansión de la función de Green en una serie (infinita) de eigenfunciones que corresponden a la ecuación homogénea, una serie como la siguiente:

Substituyendo esta expansión en:

se obtiene lo siguiente:

Obsérvese que la función δ(r₁.-.r₂) ha sido reemplazada por su propia expansión en una serie infinita de eigenfunciones. Para obtener tal cosa, se supone primero que a partir de un conjunto completo y ortonormal de funciones φ_n(x) debe ser posible llevar a cabo una expansión de la forma:

siendo los coeficientes a_n funciones de una variable t cualesquiera (la cual no representa en modo alguno al tiempo). Multiplicando lo anterior por φ_m(x)  e integrando para obtener los coeficientes  a_m(t) mediante el “truco de Fourier”, se tiene:

o bien:

que es precisamente la expansión de la función delta de Dirac en una suma infinita de eigenfunciones. Regresando a lo que se había dejado pendiente arriba, se obtiene de inmediato:

Esta es la suma de residuos en el plano complejo. Cada polo en el plano complejo está dado por uno de los términos de la sumatoria. Esta forma es mejor conocida por los matemáticos como una expansión bilinear, la cual como era de esperarse es simétrica con respecto a r₁ y a r₂. Obtenido lo anterior, se tiene con ello la solución deseada a la ecuación inhomogénea, que viene siendo:

Lo importante en todo caso son los polos de la función de Green en el plano complejo. Un ejemplo de fácil interpretación física se tiene cuando el potencial que introduce una discontinuidad en el espacio es una función de potential δ atractivo (con signo negativo). Una función así permite un estado ligado (y solo uno). Al ocurrir tal cosa en un fenómeno de esparcimiento de partículas, se presenta el fenómeno de resonancias de esparcimientos. Y el fenómeno de la resonancia siempre se dá cuando en una expresión que describe un fenómeno físico se tiene en el denominador algo que puede acercase al valor de cero haciendo que la magnitud de la variable bajo estudio adquiera el famoso “pico de resonancia”
. En una situación así, la función de Green tiene un solo eigenvalor, el que se corresponde con el “pico de resonancia”, y en la expresión para G(r₁,r₂) se tendrá un solo término de la sumatoria:

Supóngase que en vez de un potencial δ atractivo se tiene un pozo de potencial (esférico). A diferencia del potencial δ, tal pozo de potencial puede admitir no uno sino varios eigenvalores., estando en condiciones de poder atrapar no una sino varias partículas colocando cada una de ellas en un nivel energético discreto. Si el pozo de potencial es tal que pueda admitir cuatro niveles de energía discretos, entonces ello se verá reflejado en la función de Green en el plano complejo con la presencia de cuatro polos.

Se había mencionado arriba que, al hablar acerca de las funciones de Green, podemos hablar de dos tipos de funciones, la función de Green retardada y la función de Green avanzada. Hasta este punto no se ha tomado en cuenta el posible efecto de la variable del tiempo, y por lo tanto las soluciones obtenidas arriba deben ser consideradas como soluciones a la ecuación de Schrödinger estática. Sin embargo, si el efecto del transcurso del tiempo va a ser relevante, entonces en lugar de la ecuación estática de Green que hemos estado manejando, G₊(x₁,.x₂), tenemos que considerar una función de Green más generalizada, simbolizada como G₊(x₁,.t₁;.x₂,.t₂). Para mayor claridad, la función retardada de Green, que es con la que estaremos trabajando, puede ser simbolizada usando una letra “R” puesta como super-índice en lugar del signo positivo que hemos estado usando arriba como sub-índice.

En la ausencia de potencial alguno, para una partícula libre (tal sería el caso de una partícula incidente antes de que haya caído bajo la influencia de un potencial) sabemos que la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es, en una dimensión  (obsérvese que podemos suponer que, en su forma más general, el operador Hamiltoniano es también dependiente del tiempo):

Por construcción, la función de Green G^R(x_f.,.t_f.;.x_i.,.t_i.) tiene que satisfacer la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Si tomamos a la función de Green como sinónimo de la función de onda de una partícula libre, entonces la siguiente relación unidimensional se debe cumplir, al menos desde el punto de vista matemático:

¿Pero qué interpretación podemos darle a esto? Tentativamente, podemos suponer que la función de Green que así se define representa la amplitud de la probabilidad de que una partícula salte de un punto inicial x_i en un tiempo inicial t_i a un punto final x_f. en un tiempo final t_f., siendo t_f. mayor que t_i. Puesto de otra manera, la función de Green G coincide con la función de onda ψ(x,t) de una partícula cuando es evaluada en el punto x_f. en un tiempo t_f.. Suponemos que la función de onda va evolucionando temporalmente, pero... ¿a partir de qué punto? Escogemos dicho punto precisamente como el punto en el cual ocurre la discontinuidad producida por la función delta de Dirac.

Introduzcamos ahora los efectos de la presencia de un potencial V. En una formulación de un esparcimiento de partículas que sea dependiente del tiempo, la ecuación de Schrödinger completa es la siguiente:

Designando al operador Hamiltoniano para la partícula libre como H₀, esto último lo podemos reescribir de la siguiente manera destacando la naturaleza operacional del operador que se tiene al lado izquierdo actuando sobre la función de onda:

Si lo deseamos, podemos escribir esto como una ecuación de ket recurriendo a la notación de Dirac:

Esto representa lo que le sucede a la partícula cuando es sometida a la acción de un potencial V.
 La condición de frontera adecuada para el problema de esparcimiento es que en el pasado distante previo:

t → -∞

 la partícula era libre. Este requerimiento se puede lograr si se va “encendiendo” lentamente el potencial en forma gradual, lo cual equivale a proponer algo como lo siguiente:

Del mismo modo en que la ecuación diferencial no-homogénea como las que hemos visto arriba se resuelve recurriendo a la función de Green, la ecuación operacional de Schrödinger dependiente del tiempo que tenemos arriba se resuelve introduciendo el operador de Green satisfaciéndose con ello:

A esto, y suponiendo (mientras no haya evidencia de lo contrario) que los eventos futuros no pueden tener efecto alguno sobre los eventos pasados, agregamos el requerimiento de causalidad impuesto sobre la función de Green de que la interacción de una partícula en un tiempo t tiene un efecto únicamente para el caso en el que t sea mayor que t_i. y no en el caso contrario, o sea:

En la última ecuación diferencial que se ha dado arriba, las coordenadas de la posición no parecen tener efecto alguno. Tomando esto en consideración, podemos postular una función de Green como la siguiente:

Se propone en este punto que para la ecuación operacional dependiente del tiempo que se tiene arriba y para el operador de Green que se ha dado, a lo cual se le ha sumado el requerimiento de causalidad, se tiene como una solución matemática posible la siguiente expresión:

siendo θ( t-t_i.) una función de paso unitario, esto es, una funciónque es igual a cero para un tiempo t menor que t_i. e igual a la unidad para un tiempo t mayor que t_i. Para un tiempo t mayor que t_i en donde la función de paso unitario toma el valor de la unidad, claramente se tiene el producto de una constante que multiplica a:

que a su vez satisface la ecuación diferencial no-homogénea en virtud de que la función delta que está a la derecha de la igualdad se vuelve inoperante cuando t es mayor que t_i. Para un tiempo t menor que t_i en donde la función de paso unitario toma un valor igual a cero y la contribución de la función delta también es igual a cero, la solución propuesta también se cumple. Y en caso especial en el que t es igual a t_i, se tiene una contribución adicional proveniente de la función de paso unitario que balancea en la medida justa el lado derecho en donde se encuentra la función delta:

Usando kets, la solución al problema completo del esparcimiento de partículas en una formulación dependiente del tiempo se puede escribir por lo tanto de la siguiente manera:

El límite superior de la integración puede tomarse como t en virtud de que por el requerimiento de causalidad la función de Green retardada se desvanece para un tiempo t menor que t_i. Conforme t tiende a valores infinitamente negativos, el ket de ψ al lado izquierdo de la igualdad coincide con el ket de φ en virtud de que la función de Green se desvanece en un tiempo que tiende al infinito negativo para cualquier valor finito de t_i:

Se tiene, desde luego, que:

De este modo, podemos ver que la solución completa satisface la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, lo cual se vuelve aún más obvio cuando aplicamos el operador:

a ambos lados de la solución completa. Como se ha destacado en la penúltima expresión, el ket que corresponde a φ no produce contribución alguna, y en lo que concierne a la acción del operador sobre el segundo término de la solución completa (al lado derecho de la igualdad) esto simplemente nos regresa la función delta:

δ(t - t’)

por medio de la cual la integral es evaluada de inmediato como:

En caso de que los kets sean eigenkets de energía, entonces por el método de la separación de variables podemos sacar hacia afuera la dependencia del tiempo en la forma en la que ya se ha venido haciendo:

Esta separación de variables supone implícitamente que la energía E no se altera si el potencial V se va “encendiendo” lentamente en forma gradual (o para usar una expresión más elegante, se va encendiendo adiabáticamente). Si se lleva a cabo la separación de variables en el modo prescrito, entonces la solución completa se puede evaluar en un tiempo t.=.0 del modo siguiente (obsérvese que en un exponencial aparece H₀ mientras que en otro exponencial aparece E):

Si para tratar de llevar a cabo la integración metemos en el panorama a la fórmula de Euler, entonces por las funciones trigonométricas senoidales involucradas esta integral parecería oscilar en forma indefinida. Sin embargo, si recordamos que el efecto del potencial V “encendido” lentamente se ha definido como dado por:

entonces se vuelve posible llevar a cabo la integración mediante un procedimiento límite de modo casi inmediato:

Llevando a cabo la integración y tomando límites, se tiene:

Pero al tomar el límite t’’ con un valor suficientemente negativo, se tiene justo la ecuación Lippman-Schwinger independiente del tiempo con la que habíamos empezado. De este modo, la formulación del esparcimiento de partículas dependiente del tiempo contiene la ecuación Lippmann-Schwinger, tal y como lo podríamos haber anticipado desde un principio. Resulta interesante comparar la manera en la que la misma prescripción iε aparece en ambos formalismos, tanto en el que vimos al principio de esta entrada como en el que acabamos de ver. En el formalismo independiente del tiempo que vimos al principio, vimos que la selección de un signo positivo para el término iε corresponde al hecho de que el dispersor tiene efectos únicamente sobre las ondas esféricas salientes (las partículas dispersadas); mientras que en la formulación dependiente del tiempo que acabamos de ver la presencia del término iε (haciendo ε igual a ξħ) surge del requerimiento de que la partícula incidente era una partícula libre en el pasado remoto. Pudiera objetarse el hecho de que el “encendido” lento del potencial V que hemos usado en nuestros argumentos es un recurso hasta cierto punto artificial. Sin embargo, supóngase que en vez de ondas planas continuas (las cuales se extienden infinitamente a ambos lados del sentido de propagación) se utiliza un formalismo basado en paquetes de onda (por ejemplo, paquetes de onda Gaussianos) para describir el esparcimiento. Cuando un paquete de onda está lo suficientemente alejado del alcance del potencial, no importa que el potencial V sea igual a cero o que tenga un valor finito constante; y de hecho el potencial puede ser cero en el pasado remoto, en cuyo caso no se presenta dificultad alguna.

En el análisis que se acaba de llevar a cabo se ha considerado una función de Green de la forma G^R(t,.t_i.) en lugar de una función (unidimensional, para mayor simplicidad) de Green de la forma G^R(x_f.,.t_f.;.x_i.,.t_i.) que incorpore tanto las coordenadas de la posición como la variable del tiempo. ¿Cómo podemos lograrlo? Considérese la siguiente función de Green retardada:

Bajo la suposición de que el operador Hamiltoniano no varía con el tiempo, resulta fácil comprobar por diferenciación directa que esta función de Green expresada en términos de las eigenfunciones ψ_n(x) y los eigenvalores E_n del operador Hamiltoniano satisface la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo dada arriba (en recuadro azul) para t mayor que t_i.. Del mismo modo, suponiendo que las eigenfunciones de onda ψ_n(x) ya están ortonormalizadas, dando con ello justificación a la relación:

resulta fácil confirmar por substitución directa que se satisface la siguiente condición de frontera conforme los tiempos.t_f..y.t_i. se aproximan el uno al otro:

De la definición que se ha dado a la función de Green, se sigue que si la función de onda de la partícula es  ψ_i.(x) en un tiempo t_i. entonces la función de onda en un tiempo posterior t igual a.t_f. viene siendo (el factor i se encarga del factor imaginario que forma parte de la función de Green):

De este modo, la función de Green de un operador Hamiltoniano independiente del tiempo depende únicamente de la diferencia de tiempo entre.t_f. y t_i, lo cual es frecuentemente enfatizado escribiéndola únicamente como función de esa diferencia temporal, o sea como G^R(x_f.,.x_i.,.t), observándose que G^R.=.0 para un tiempo t menor que cero.

La transformada de Fourier de una función de Green frecuentemente resulta ser de utilidad. Así como utilizamos la transformada de Fourier para convertir una función de onda del espacio-posición (espacio-x) al espacio-momentum (espacio-k), también podemos usar la transformada de Fourier para convertir una función cualquiera F del espacio-t al espacio-E:

Al tratar de evaluar integrales de este tipo recurriendo a la fórmula de Euler para convertir el término exponencial en una suma de términos senoidal y cosenoidal, podemos ver que tales integrales no están bien definidas cuando E es un número real. Sin embargo, si E es un número complejo y su parte imaginaria es positiva, entonces la integral está bien definida. Simbolizando la parte real de E simplemente como E, y la parte imaginaria como ε, lo cual nos dá (obsérvese que la función de Green no está ya en función de la variable temporal t sino en función de la variable E):

Puesto que:

formalmente todo esto significa que la función retardada de Green puede ser vista como un operador con la estructura (obsérvese el cambio sutil en el símbolo de G^R hacia G^R):

lo cual en cierto modo nos regresa al formalismo Lippmann-Schwinger. Puesto que frecuentemente estamos interesados en conocer el límite de la función de Green en el límite en que ε se desvanece, podemos denotar esto de una manera como la siguiente:

De este modo, en su quintaesencia el operador de Green está íntimamente ligado al operador que sobresale en la ecuación Lippmann-Schwinger en el estudio del esparcimiento de partículas.

Habíamos visto ya con anterioridad una introducción al tema de las series de Born (el tema fue introducido previamente en la entrada “La aproximación de Born III”), enfatizándose el hecho de que la expresión que se usa como aproximación de Born es en realidad tan solo el primer término de una serie que incluye correcciones de orden mayor. A continuación veremos esto de nuevo, pero bajo el enfoque un poco más sofisticado que proporciona la metodología Lippmann-Schwinger.

Repitiendo las secuencias de pasos dados en la derivación de la aproximación de Born (las aproximaciones de índole geométrica), encontramos que (en tres dimensiones) para valores suficientemente grandes de la distancia radial:

Esto es esencialmente lo mismo que vimos desde la entrada “La aproximación de Born I”, de lo cual se puede definir la amplitud del esparcimiento como el factor f.(k’,k) destacado arriba en color magenta:

Armados con la metodología teórica desarrollada por Lippmann y Schwinger, veamos a continuación desde una perspectiva algo más sofisticada el asunto de las aproximaciones de Born de orden superior. Considérese un operador de transición T.definido de modo tal que actúe de la siguiente manera:

Pre-multiplicando la ecuación Lippmann-Schwinger por el potencial V, se obtiene lo siguiente:

En la última línea, tenemos una ecuación ket que contiene únicamente kets para φ. Suponemos que esta ecuación operacional es válida para estos kets, considerados como cualquier estado que corresponde a una onda plana. Sabemos de antemano que estos eigenkets considerados como eigenkets de momentum constituyen un conjunto completo. Podemos, por lo tanto, entresacar de la ecuación anterior la siguiente definición formal del operador de transición T.:

De este modo, usando los eigenkets de momentum que corresponden a φ, podemos tomar la definición dada arriba para la amplitud de esparcimiento f.(k’,k) escribiéndola como (se omiten unos cuantos pasos en esta derivación):

Esta expresión nos dice que para determinar la amplitud de esparcimiento f.(k’,k) nos basta con especificar una relación para el operador de transición T.. Esto nos permite obtener una solución iterativa para el operador de transición T' de la siguiente manera:

Recurriendo a una nueva notación (no se confunda con la notación de super-índice usualmente empleada para simbolizar derivadas múltiples de orden n), podemos llevar a cabo una expansión de la amplitud de esparcimiento del modo siguiente:

en donde n es el número de veces que el operador potencial V entra en acción:

y así sucesivamente. Aunque la notación sea algo diferente, la interpretación física para estas aproximaciones de Born de orden superior es la misma que la que se dió en la entrada “La aproximación de Born III”). En un proceso de dos etapas, la onda incidente con un número de onda entrante k, tras impactar por vez primera un núcleo esparcidor en la posición x’’ en el punto en donde el potencial es V(x’’), se propaga desde x’’ hacia x’ por la vía de la función de Green para la función de Helmholtz. Posteriormente, ocurre una segunda interacción en la posición x’ en el punto en donde el potencial es V(x’), para finalmente salir esparcida en la dirección k’. De este modo, el término f''⁽²⁾ corresponde a un esparcimento que se lleva a cabo en dos etapas,  el término f''⁽³⁾ corresponde a un esparcimento que se lleva a cabo en tres etapas, y así sucesivamente.

Existe una relación, la cual se demuestra en textos dedicados al tema de la Teoría de las Variables Complejas, con la cual se puede llegar a nuevos resultados y conclusiones a partir de la ecuación Lippmann-Schwinger. Esta relación es la siguiente:

en donde lo que se ha resaltado de color azul es conocido como el valor principal de Cauchy, el cual siempre tiene un valor real y el cual a veces aparece definido de la siguiente manera:

aunque una definición un poco más correcta y completa podría ser la siguiente:

Si en la relación que se ha dado se hace la siguiente substitución:

se tiene entonces la siguiente expresión:

Usando esta fórmula, y a partir de la definición dada arriba para la amplitud de esparcimiento f.(k’,k) elaborada sobre el operador de transición T.:

haciendo k’ = k en ella con lo cual se tiene para la amplitud del esparcimiento:

entonces trabajando sobre la parte imaginaria (Imag) se puede obtener la misma relación fundamental para el teorema óptico (véase la entrada “El teorema óptico”) que ya se había obtenido antes. No se hará esto aquí, en virtud de que ya se obtuvo dicha relación de una manera más directa sin haber tenido que recurrir a algo tan sofisticado como la ecuación Lippmann-Schwinger, y la prioridad en cualquier área del conocimiento es tratar de obtener resultados de la manera más sencilla posible y no de la manera más compleja posible. 

La búsqueda de la simplicidad es la misma base de la ciencia.