Los números divisores armónicos o de Ore son aquellos enteros positivos tales que la media armónica de todos sus divisores es un número entero. Por ejemplo, 140 es un número de Ore, porque tiene 12 divisores
(1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 y 140)
y la media armónica de todos ellos es 5.
Los primeros números de Ore son: 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18600, 18620, 27846, 30240, 32760, 55860, 105664, 117800, 167400, 173600, 237510, 242060, 332640, 360360, 539400, 695520, 726180, 753480, 950976, 1089270, 1421280, 1539720, etc.
Puede verse una tabla con los 170 primeros números de Ore en este enlace.
Si n es un entero positivo y llamamos τ(n) al número de divisores –número en el sentido de cantidad– de n y σ(n) a la suma de todos sus divisores, observar que la media armónica de los divisores de n es precisamente nτ(n)/σ(n).
Øystein Ore conjeturó que 1 es el único número de Ore impar. Además, demostró [O. Ore, On the averages of the divisors of a number, Amer. Math. Monthly 55, 615-619, 1948] que todo número perfecto –un entero n esperfecto si igual a la suma de sus divisores propios positivos– es de Ore. El recíproco no es cierto, por ejemplo, 140 no es perfecto.
La prueba es sencilla:
Si n es perfecto, entonces por definición es
σ(n) = n + n = 2n.
Por lo tanto, la media armónica es
nτ(n)/σ(n) = nτ(n)/2n = τ(n)/2.
Para probar que n es de Ore, bastará con demostrar que τ(n) es par.
Si n es un número perfecto par –se conjetura que sólo hay números perfectos pares– es de la forma n=2αp, luego τ(n)=2(α+1) y habríamos terminado.
Si n es un número perfecto impar, se sabe que uno de los exponentes en la descomposición en factores primos es impar –τ(n) es impar si y sólo si n es un cuadrado perfecto–, con lo que τ(n) también es par en este caso. CQD
Ahora ya sabemos que todo número perfecto es de Ore; así, si se demostrara la conjetura de Ore arriba citada, quedaría también probado que no existen números perfectos impares…
