sábado, 7 de septiembre de 2013

Explicación del teorema de los números primos (30382)

Muy interesante el vídeo Primes are like weeds con el que James Grime, de Numberphile, nos explica el teorema de los números primos. 

Este teorema dice lo siguiente:

Si \pi (x) es la cantidad de números primos menores o iguales que x, entonces:

\pi (x) \sim \cfrac{x}{ln(x)}

entendiendo el símbolo \sim como que el cociente de esas dos expresiones tiende a 1 cuando x tiende a \infty.
Esto es, la cantidad de primos menores o iguales a un número dado es, aproximadamente, el cociente de ese número entre su logaritmo neperiano. 
Aunque esta aproximación ha sido mejorada en varias ocasiones, ésa es la formulación habitual de este teorema.

En el vídeo se comentan algunos detalles interesantes sobre este teorema, como que el tanto por ciento de primos menores que un número entero positivo x es aproximadamente 1/{ln(x)} \cdot 100 %. 

Por ejemplo, como
ln(1000)=6.9 \ldots

entonces hay aproximadamente un 1/{ln(1000)} \cdot 100 \approx 14.4 % de primos entre los 1000 primeros. 
O que este 14.4 es la media de la distancia entre dos primos consecutivos entre estos 1000 primeros números n contados y ejemplificados. 
Vamos con él:


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