Un millón de dólares le espera a quien resuelva el problema del “salto de masa” en las ecuaciones de Yang-Mills (YM) puras en 4D (3+1).
La teoría de la interacción fuerte entre quarks y gluones, la cromodinámica cuántica (QCD) es una YM en 4D basada en el grupo SU(3), pero no es pura, porque tiene fermiones (los quarks); una teoría QCD pura solo tendría gluones.
Para merecer el millón de dólares habrá que construir con rigor matemático una versión cuántica de una teoría de YM en 4D según la teoría cuántica constructiva de campos (por ejemplo, en la axiomática de Wightman).
Una vez logrado habrá que estudiar si dicha teoría presenta un salto de masa, es decir, si todas las partículas de esta teoría (los gluones) tienen masa (como muchos físicos creen) o no la tienen (como ocurre en la versión clásica de dicha teoría).
Los gluones no tienen masa en una teoría YM con fermiones, pero hay indicios númericos (lattice QCD) de que sí la tienen en una YM pura.
El salto de masa es un fenómeno cuántico no perturbativo, lo que significa que no se puede calcular utilizando los diagramas de Feynman (la herramienta perturbativa por excelencia) que usan los físicos para calcular las predicciones de la QCD en las colisiones de partículas del LHC en el CERN.
Muchos físico-matemáticos creemos que entender el salto de masa tendrá aplicaciones prácticas para los físicos, pero nadie lo sabe con seguridad.
Mi experiencia es que muchos no entienden lo que es el problema del salto de masa (y la mayoría de los matemáticos tampoco).
Unos y otros disfrutarán con la charla de Edward Witten sobre este problema que abre esta entrada, “What One Can Hope To Prove About Three-Dimensional Gauge Theory,” Simons Center Workshop “Mathematical Foundations of Quantum Field Theory,” Jan. 17, 2012 [Slides pdf; video mp4].
Puedes consultar el enunciado oficial del Problema del Milenio de Arthur Jaffe y Edward Witten, así como un informe breve de Michael Douglas sobre el estado en abril de 2004 de este problema.
No son presentaciones muy técnicas y no se ha avanzado mucho desde 2004. Yo no soy experto en estos asuntos, pero hace unos 10 años (cuando era más joven e intrépido) leí bastante sobre este tema. Mi guía básica era el libro de James Glimm yArthur Jaffe, “Quantum Physics. A Functional Integral Point of View,” 2nd ed., Springer, 1987 (referencia obligada para quien se inicie en la axiomática de Arthur S. Wightman, que fue director de la tesis doctoral de Arthur M. Jaffe en 1966). Al final llegué a la conclusión de que era un problema demasiado difícil para mí.
Una teoría QCD en 4D con fermiones sin masa no tiene salto de masa, como demostró (aunque no de forma rigurosa) el Premio Nobel Gerardus ‘t Hooft utilizando un argumento basado en anomalías triangulares en “Which topological features of a gauge theory can be responsible for permament confinement?,” Lecture II, Recent developments in gauge theories, Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on recent developments in gauge theories, Cargèse, Corsica, August 26 – September 8, 1979, (1980), pp. 117-133. Otra demostración similar aparece en Cumrun Vafa, Edward Witten, “Eigenvalue inequalities for fermions in gauge theories,” Comm. Math. Phys. 95: 257-276 (1984).
Hay varias confusiones muy extendidas entre los físicos al respecto del problema del “salto de masa” que conviene comentar.
La primera confusión proviene del uso del mismo término para dos cosas diferentes. El problema matemático del “salto de masa” se refiere a que el espectro cuántico del operador hamiltoniano H de la teoría aplicado al vacío H |Ω> tiene un ínfimo mayor de cero; en la teoría clásica el espectro tiene un ínfimo nulo y no hay salto de masa (demostrarlo es casi trivial), por lo que el origen del salto de masa es cuántico; además la versión cuántica perturbativa de la teoría tampoco tiene salto de masa, por lo que su origen además de cuántico es no perturbativo.
Para muchos físicos, sin embargo, el “salto de masa” se refiere a la posibilidad de que haya agregados de gluones, neutros a la carga de color, que tengan una masa finita no nula, llamados glubolas (glueballs); según ellos bastaría probar que la menor masa posible para una glubola es mayor que cero para resolver el problema del milenio, lo que no es verdad y ha llevado a algunos físicos a afirmar que han resuelto el problema del milenio, cuando en realidad han resuelto un problema completamente distinto. No sé muy bien de donde parte la confusión, pero hay un famoso artículo de Richard P. Feynman que incurre en ella, “The qualitative behavior of yang-mills theory in 2 + 1 dimensions,” Nuclear Physics B 188: 479-512 (1981).
La segunda confusión entre los físicos también ha llevado a que se hayan publicado varias demostraciones incorrectas.
En concreto, me refiero al problema del límite infrarrojo para el propagador del gluón en QCD. La masa efectiva del gluón es cero en el límite ultravioleta (energías grandes o distancias cortas), pero puede ser finita en el límite infrarrojo (energías pequeñas o distancias grandes).
Para este problema, Marco Frasca ha publicado una solución matemática cerrada en “Infrared Gluon and Ghost Propagators,” Phys. Lett. B 670: 73-77, 2008 [arXiv:0709.2042], y en “Mapping a Massless Scalar Field Theory on a Yang-Mills Theory: Classical Case,” Mod. Phys. Lett. A 24: 2425-2432, 2009 [arXiv:0903.2357]; una demostración parecida de que el límite infrarrojo da una masa mayor que cero ha sido publicada por Alexander Dynin, “Energy-mass spectrum of Yang-Mills bosons is infinite and discrete,” arXiv:0903.4727, Subm. 27 Mar 2009.
La técnica utilizada por estos autores , construir una solución exacta (trivial) de las ecuaciones de Yang-Mills basada en una solución para un campo escalar phi-4 (teoría cuya versión cuántica presenta “salto de masa” como se demuestra en el libro de Glimm y Jaffe), permite determinar el límite infarrojo para el propagador del gluón, pero no resuelve el problema del milenio.
El problema que han resuelto es un problema diferente (lo que no quita que sea un resultado físico interesante y haya merecido su publicación en revistas internacionales).
Aunque Frasca reclama su millón de dólares, nunca lo recibirá (por estos resultados, claro).
La tercera confusión común entre los físicos es la equivalencia entre el problema del “salto de masa” y el del confinamiento de quarks y gluones (el hecho de que en la Naturaleza solo observan estados neutros para la carga de color, por lo que estas partículas con carga de color no se pueden observar de forma libre, como se puede observar un electrón o un fotón).
Estos dos problemas abiertos en la QCD no tienen nada que ver el uno con el otro, por lo que resolver uno de ellos no ofrecerá (a priori) información sobre el otro. Los primeros indicios numéricos (lattice QCD) de la existencia del salto de masa provienen de estudios del problema del confinamiento, por lo que muchos físicos ven una asociación íntima entre estos dos problemas, pero hoy en día la opinión de los expertos es que no hay relación entre ambos.
Y la cuarta confusión entre muchos físicos es creer que el salto de masa ha sido “demostrado” de forma numérica (utilizando L-QCD por “lattice QCD”) y está fuera de toda duda. En una YM 4D la constante de acoplamiento es adimensional y no hay ningún parámetro con unidades de masa, por lo que la versión cuántica debe sufrir una “transmutación dimensional” (un proceso dinámico por el que un parámetro adimensional se vuelve dimensional y adquiere dimensiones de masa).
Sin embargo, en L-QCD hay un parámetro dimensional natural, el espaciado de la red Δx que discretiza el espaciotiempo (también llamado a en la literatura física). Esta parámetro de longitud corresponde a un parámetro de masa (sería la longitud de onda de Compton de un gluón con cierta masa), por tanto, toda teoría L-QCD presenta un salto de masa de manera natural.
El problema del milenio equivale a demostrar que el límite cuando Δx→0 de este salto de masa es finito (en lugar de nulo).
Obviamente, nadie lo ha podido demostrar y la evidencia numérica actual es “pobre” (usar Δx muy pequeños es muy costoso e incluso con supercomputadores se han de usar valores demasiado grandes), aunque mucha gente “observa” en las gráficas que parece que hay un “salto de masa.”
¿Realmente está demostrado que hay un “salto de masa” o podría ocurrir que no existiera? La evidencia en L-QCD es realmente concluyente solo en las teorías YM 2D (1+1), donde por cierto la constante de acoplamiento tiene unidades de masa y no es necesaria la transmutación dimensional para que la teoría cuántica tenga un parámetro de masa.
En teorías YM 2D, aunque no hay demostración rigurosa para los matemáticos, el problema se puede considerar resuelto.
Sin embargo, en las teorías YM 3D (2+1), donde la constante de acomplamiento al cuadrado tiene unidades de masa y tampoco es necesaria la transmutación dimensional, las pruebas en L-QCD no son concluyentes.
Pero, aunque mis palabras puedan sorprender a algunos físicos no muy puestos en este tema, para el problema realmente importante, las teorías YM 4D (3+1), que requiere transmutación dimensional, no hay indicios L-QCD sobre la existencia del “salto de masa” pues los valores del espaciado de la red estudiados son muy limitados y extrapolar su comportamiento para Δx→0 está más allá de todo lo razonable.
