Tras una lectura sosegada de la demostración de Otelbaev (101 páginas en ruso;primeras 9 páginas en inglés), creo que estoy en condiciones de contar un resumen breve de la idea y de la técnica de demostración utilizada.
Yo no he encontrado ningún error, pero hay varios argumentos que no me convencen.
Otelbaev proclama haber demostrado la existencia y unicidad de soluciones clásicas de las ecuaciones de Navier-Stokes en condiciones de contorno periódicas.
Lo primero y lo más importante, aunque en la web se han publicado algunas dudas al respecto, debes saber que el enunciado, tal cual, es suficiente para considerar resuelto el sexto problema del milenio del Instituto Clay con toda generalidad.
Además, Otelbaev ya ha publicado el artículo en una revista con revisión por pares (aunque laxa), luego si en dos años no se encuentra ningún error, debería recibir un millón de dólares.
Ya expresé mi opinión tras una ojeada rápida: no creo que Otelbaev haya resuelto el problema de Navier-Stokes.
Quizás era una opinión un poco precipitada, pues tras mi nueva lectura he comprobado que mis argumentos en contra no son tan firmes como yo pensaba, sin embargo, hay cosas que no me convencen.
Trataré de contártelas.
¿Qué es lo que más echo en falta en la demostración de Otelbaev?
Una idea genial, una idea feliz, una sorpresa.
El camino que sigue es estándar y las técnicas que usa son estándares, no hay nada que haya hecho que no pudiera haber hecho Leray en 1933, Hopf en 1951, Ladyzhenskaya en 1954, o muchos otros desde entonces.
En la solución de un problema tan importante uno espera aprender nuevas herramientas matemáticas que ayuden a resolver otros problemas.
Usar las mismas herramientas que todo el mundo lleva usando desde hace un siglo y lograr un éxito me parece imposible.
Pero nunca digas nunca jamás.
¿Por qué me he estudiado la demostración de Otelbaev?
Yo trabajo en ecuaciones en derivadas parciales no lineales que comparten con las ecuaciones de Navier-Stokes algunas patologías que impiden demostrar la existencia y unicidad de las soluciones clásicas, como la aparición de singularidades en las simulaciones numéricas para ciertas condiciones iniciales.
La publicación de nuevas herramientas matemáticas capaces de resolver el problema de Navier-Stokes podría ser el punto de partida de varios años de investigación muy fructífera en mi área.
Por desgracia, no he aprendido nada nuevo con el artículo de Otelbaev.
¿Por qué el problema de Navier-Stokes es tan difícil?
La razón es la supercriticidad (definición matemática sencilla) de todas las cantidades de origen físico asociadas al problema, como nos contó de forma exquisita el genial Terry Tao en “Why global regularity for Navier-Stokes is hard,” What’s New, 18 Mar 2007; también recomiendo leer a O. A. Ladyzhenskaya, “Sixth problem of the millennium: Navier-Stokes equations, existence and smoothness,” Russian Mathematical Surveys 58: 251-286, 2003.
Las ecuaciones de Navier-Stokes se cree que describen la transición de flujo laminar a flujo turbulento (hay indicios numéricos, pero el problema del milenio exige una demostración matemática).
Si la demostración de Otelbaev es correcta, la turbulencia no está descrita por las ecuaciones de Navier-Stokes.
Esto no afecta en nada a sus aplicaciones en física e ingeniería.
Incluso podría ocurrir que la turbulencia tuviera su origen en las paredes u obstáculos en el fluido, pero cuya inclusión no forma parte del problema del milenio.
En el flujo turbulento la energía se distribuye a todas las escalas espaciales (o frecuencias en el espectro de Fourier), pasando desde las escalas gruesas a las escalas finas (o de las frecuencias bajas a las frecuencias altas).
Las ecuaciones de Navier-Stokes (EE. NS) son parabólicas e incluyen disipación de la energía (término viscoso), pero aunque la energía decrece globalmente puede crecer localmente (en ciertos puntos, decreciendo más rápido en otros lugares), debido a efectos no lineales (para soluciones grandes en norma), hasta producir una singularidad (blow-up, o explosión de la solución en tiempo finito).
Sólo en este último caso las EE. NS describen la turbulencia que se observa en los experimentos físicos.
La física ofrece dos estimaciones matemáticas de las soluciones de las EE. NS en 3D: la energía cinética máxima y la cantidad acumulada de energía disipada (en problemas en 2D existe una tercera estimación que permitió a Leray resolver el problema de existencia y unicidad en 1933).
Estas dos magnitudes son supercríticas respecto al escalado de las soluciones , es decir, conforme la escala es más pequeña acotan peor la solución, con lo que no permiten un control suficiente de las escalas pequeñas como para garantizar que se pueda demostrar que no se produce una singularidad. Leray (1933) demostró que estas magnitudes permiten demostrar la existencia de soluciones débiles, pero fue incapaz de demostrar su unicidad (problema aún abierto), ni si estas soluciones son clásicas (problema del milenio).
Por supuesto, cuando la condición inicial es pequeña, la solución permanece pequeña, no se producen singularidades y como demostró Leray (1934) existe la solución y es única.
El problema del milenio exige extender este resultado a soluciones grandes.
Terry Tao nos propone tres estrategias para resolver el sexto problema del milenio.
Estrategia 1: obtener una solución exacta.
Estrategia 2: descubrir estimaciones de las soluciones que sean subcríticas, o al menos críticas, respecto al escalado.
Estrategia 3: una idea genial, un nuevo método nunca antes explorado.
Para Tao, la estrategia 2 es la más prometedora (p.ej. permitió a Perelman el resolver el problema del milenio de Poincaré).
Sin embargo, mi lectura de la demostración de Otelbaev me indica que ha pretendido seguir (en mi opinión sin éxito) la estrategia 3; según Tao, no se puede concebir una demostración de este tipo que no incluya la estrategia 2.
Otelbaev presenta una estimación que parece subcrítica, la condición B1 descrita por la ecuación (3.1), pero tengo dudas sobre su demostración.
Tras ojear la demostración mi primera impresión fue que la condición no era una estimación subcrítica para γ>0.
Ello me hizo pensar que la demostración podía ser incorrecta.
Sin embargo, tras una lectura en más detalle parece que puede serlo para γ>3/8, pero no estoy seguro de que no sea necesaria su validez en todo el intervalo 1/2>γ>0 que aparece en la definición de la condición B1.
Según Tao, hay seis posibles caminos posibles en la estrategia 3. Estrategia 3.1: usar un nuevo concepto de solución débil en un espacio de funciones cuya topología permita demostrar que en cierto límite son soluciones clásicas.
Estrategia 3.2: usar métodos iterativos, de perturbaciones, o de renormalización para un parámetro pequeño que se puedan sumar a todos los órdenes.
Estrategia 3.3: demostrar la existencia de singularidades usando métodos de perturbaciones.
Estrategia 3.4: usar técnicas de reescalado y cirugía de las singularidades (p.ej. como usó Perelman en el flujo de Ricci).
Estrategia 3.5: por reducción al absurdo, asumir que existe una solución singular y demostrar que minimiza cierta cantidad conservada.
Estrategia 3.6: abstraer el problema y atacar el problema desde un foco más general que logre ocultar y esquivar de alguna forma la supercriticidad de las estimaciones conocidas para las ecuaciones de Navier-Stokes.
Este es el camino que sigue Otelbaev en su demostración.
Según Tao, en el campo de las ecuaciones en derivadas parciales esta estrategia no suele funcionar, porque el problema más general suele ser un monstruo más patológico que el problema particular.
Normalmente se dominan los problemas particulares y luego se generaliza la técnica (como en el método de los semigrupos de Kato).
Al grano.
¿Qué contiene el artículo de Otelbaev?
La sección 1 introduce el problema y reclama el millón de dólares.
La sección 2 enuncia el resultado principal del artículo, el teorema 1 (que aparece en la figura que abre esta entrada).
Para demostrar este teorema 1, se demuestra un teorema 2 relativo a un problema abstracto que se presenta en la sección 3 (ecuación de Navier-Stokes generalizada).
El teorema 2 requiere que los operadores del problema abstracto, un operador lineal A y un operador bilineal B, cumplan ciertas condiciones (A y B1-B4) que se describen en la sección 3.
En la sección 4 se demuestra el teorema 1 a partir del teorema 2, es decir, se demuestra que la ecuación de Navier-Stokes es un caso particular del problema abstracto y cumple las condiciones A y B1-B4.
En la sección 5 se presenta de forma no rigurosa la idea de la demostración del teorema 2.
En la sección 6, páginas 27 a 73, se presenta la demostración del teorema 2; esta es la parte más importante del artículo.
En la sección 7 se presentan resultados técnicos conocidos por los expertos (que aparecen en libros como el de Ladyzhenskaya) que han sido utilizados por Otelbaev. Y en la sección 8 (casi un apéndice) se demuestran propiedades “triviales” del operador F.
Empecemos por el resultado clave del artículo, el teorema 2, la existencia y unicidad de soluciones del siguiente problema abstracto.
Otelbaev se abstrae de las EE. NS y las formula de forma general (3.4) en un espacio de Hilbert adecuado.
De esta forma se olvida de la presión y de la incomprensibilidad del flujo.
Los pasos que da son los siguientes. Primero se quita la presión.
gracias a las propiedades del operador F; en su definición aparece la inversa del operador laplaciano (delta mayúscula coronado con virgulilla) que se interpreta en el sentido de los operados pseudodiferenciales, es decir, en el espacio de Fourier,
Las siguientes propiedades del operador F se demuestran en la sección 8,
Luego usa dichas propiedades para demostrar el lema 4.4 y el corolario 4.4,
Que le permiten olvidarse de un plumazo de la condición de incomprensibilidad del fluido, obteniendo el problema equivalente
Este problema lo escribe de la forma (3.4) tomando
donde A es un operador autoadjunto con dominio D(A) y B es un operador bilineal.
El artículo de Otelbaev tiene como objetivo demostrar que el problema abstracto (3.4) tiene solución única en el espacio de Hilbert H (Teorema 2); en artículos anteriores demostró la existencia de soluciones, pero el nuevo artículo no requiere conocerlos.
La demostración del teorema 2 requiere que los operadores A y B cumplan ciertas condiciones técnicas que se enuncian en la sección 3.
En la sección 4 se demuestra que las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes las cumplen.
Sólo tengo dudas en relación a la condición más importante, la clave de toda la demostración, la condición B1.
No veo ningún error, pero no me acaba de convencer como contaré más adelante. Empezaré exponiendo las cinco condiciones A y B1-B4.
La condición A es estándar, afirmando que el operador lineal autoadjunto A tiene un espectro (de autovalores) con una cota mínima (un autovalor mínimo).
La condición B1 es la condición esencial que debe cumplir el operador B para garantizar la existencia de una única solución clásica; un trabajo previo de Otelbaev que no utilizó esta condición (M. Otelbaev, “Examples of Equations of Navier–Stokes Type Not Strongly Solvable in the Large,” Mathematical Notes 89: 726–733, 2011) sólo pudo demostrar la existencia de solución del problema (3.4), pero no la unicidad.
Toda la demostración del teorema 2 se sustenta en esta condición, aunque las demás también son necesarias.
La demostración de que la solución de las EE. NS cumple con la condicón B1 aparece en las páginas 17 a 19.
Se basa en que F tiene norma 1 y procede usando las EE. NS estacionarias, sin usar nunca las EE. NS no estacionarias de forma explícita, por lo que sospecho que podría no ser correcta si se produce una singularidad en la solución.
Esto podría ser un círculo vicioso, que se demuestre que no hay singularidad imponiendo esta condición cuya demostración asume que no las hay.
Quizás la desigualdad que aparece al final de la página 18 sea conocida de estudios previos sobre Navier-Stokes.
... pero en las páginas 17 a 19 podría haber un error.
Por otro lado, en la página 19 parece que se indica que la condición B1 se cumple en las ecuaciones de Navier-Stokes para 3/8 < γ < 1/2, cuando en el enunciado de la condición B1 se explicita 0 < γ < 1/2. Si en la sección 6 se necesita usar los valores 0 < γ < 3/8, podría haber un conflicto.
Pero no estoy seguro si son necesarios. Confieso que tras una ojeada rápida al artículo de Otelbaev, mi primera impresión fue que la condición (3.1) no era una estimación subcrítica para γ>0, sin embargo, tomando γ > 3/8 parece que lo es.
Los argumentos en contra de la demostración que ofrecí en una entrada previa podría ser incorrectos; lo primero que me pareció que estaba mal podría estar bien.
De ahí el esfuerzo que le estoy dedicando a estudiarla.
Las condiciones B2 y B3 son necesarias, pero la condición B4 es técnica (se puede obtener a partir de B1-B3), siendo su utilidad simplificar la demostración (hay trabajos previos de Otelbaev sobre cómo lidiar con estas condiciones).
El teorema 2 de existencia y unicidad afirma que bajo las condiciones A y B1-B4, el problema abstracto (3.4) tiene una única solución.
La sección 6 presenta su demostración.
Como nos contó Terry Tao “la abstracción [puede] ocultar las dificultades con alguna notación o con algún concepto sutil que elimine “mágicamente” las dificultades.
Un enfoque que ignore la naturaleza de la dificultad del problema debe considerarse sospechoso.” En cierto sentido, una formulación abstracta permite ocultar bajo la alfombra la suciedad, pero no la elimina.
Para demostrar el teorema 2, Otelbaev recurre a un nuevo paso de abstracción; si el problema abstracto (3.4) recuerda de lejos a las EE. NS, su nuevo problema abstracto trata de ocultar toda posible analogía.
El nuevo problema abstracto que se usa en la sección 6 se anticipa en la sección 5. Dicha sección tiene por objeto presentar la idea de la demostración de forma no rigurosa, pero deja con mal sabor de boca.
Por lo que cuenta Otelbaev, trata de reformular el problema para aprovechar una idea inspirada en trabajos clásicos de Ladyzhenskaya; en mi opinión, es muy sospechoso que trate de desviar la atención hacia un problema clásico en lugar de coger al toro por los cuernos.
El nuevo problema abstracto es el siguiente
problema que resulta equivalente (tras varias manipulaciones no triviales) al siguiente (que recuerda a trabajos de Ladyzhenskaya)
donde los coeficientes de esta nueva ecuación abstracta se calculan usando los primeros ocho lemas de la sección 6 (del 6.1 al 6.8).
Por cierto, el enunciado del lema 6.2 presenta una errata trivial.
Para demostrar estos lemas utiliza las siguientes cuatro condiciones técnicas (sólo las tres primeras se deducen de las condiciones A y B1-B4, siendo la cuarta prescindible (pág. 71-73), aunque aparece aquí porque facilita las demostraciones, según el propio Otelbaev).
Con estas 4 condiciones, en la sección 6, Otelbaev demuestra el teorema 6.1, cuyo enunciado es el siguiente,
para lo que utiliza un argumento por reducción al absurdo (pág. 62 a 68) basado en los lemas de 6.1 a 6.11 (páginas 30 a 62).
En mi simple opinión, las demostraciones de estos once lemas son correctas (asumiendo las cuatro condiciones anteriores).
Sin embargo, me surgen dudas sobre la demostración del teorema 6.1 (pág. 68-71).
La idea de la demostración del teorema 6.1 es utilizar un método de Galerkin en dimensión finita y llevarlo al límite para obtener un resultado en dimensión infinita.
En este método se desarrolla la solución en una serie finita de N términos (utilizando unos operadores de proyección en los autoespacios asociados a los autovalores del operador A) y luego se lleva esta solución al límite N→∞ (pág. 70).
¿Qué garantiza que el límite exista y sea único?
Según el artículo técnico está garantizado por construcción de los operadores de proyección.
En mi opinión, este paso es muy sospechoso y podría contener un error gravísimo en la demostración.
El paso al límite es muy peligroso en las EE. NS y mucho más en una generalización abstracta de las mismas.
Tomar límites en el marco de un espacio de Hilbert está bien garantizado; tomar límites en la solución de un problema que se ha demostrado que pertenece a un espacio de Hilbert está garantizado; pero tomar límites para demostrar que la solución de un problema está en un espacio de Hilbert ni está garantizado ni puede estarlo.
En mi opinión, hay un círculo vicioso en la demostración del teorema 6.1 que invalida por completo su demostración.
Bajo la alfombra la suciedad nunca se destruye de forma mágica.
Mis dudas sobre la demostración del teorema 6.1, clave para demostrar el teorema 2, a partir del cual se deriva el teorema 1, resultado fundamental del artículo, han de ser confirmadas por los expertos.
Me gustaría que la demostración de Otelbaev fuera correcta, pero tengo dudas muy serias al respecto.
