Se ha encontrado un contraejemplo al teorema principal del artículo de Mukhtarbay Otelbaev.
Por tanto, su demostración es incorrecta.
Su trabajo ya está en el limbo de las ideas fallidas para atacar el sexto problema del milenio, sobre las ecuaciones de Navier-Stokes.
El contraejemplo al teorema 6.1 del artículo nació de una idea de un usuario anónimo de dxdy llamado sup (traducción al inglés).
Stephen Montgomery-Smith lo pulió gracias a la ayuda de Terry Tao y lo publicó en Mathematics Stack Exchange.
El propio Otelbaev ya ha reconocido que será imposible corregir su “demostración” para evitar este contraejemplo.
Lo siento por los lectores de este blog a los que les caía bien Otelbaev.
Hasta ahora nadie ha encontrado el error concreto de la demostración de Otelbaev.
La razón no es que no lo haya, sino que ya nadie lo está buscando.
No merece la pena perder el tiempo en algo que se sabe que es incorrecto. Debo aclarar a los lectores que no sean matemáticos que un contraejemplo a un teorema indica que es falso, fuera de toda duda, luego cualquier supuesta demostración contiene un error.
Encontrarlo es un ejercicio sin mayor interés, más allá de un ejercicio de clase para estudiantes de postgrado.
Por otro lado, Terry Tao ha publicado en arXiv un artículo que arremete contra la técnica de demostración utilizada por Otelbaev, es decir, abstraer las ecuaciones de Navier-Stokes en un problema más general (dedicaré una futura entrada a discutir en detalle el artículo).
Tao ha construido una versión promediada de las ecuaciones de Navier-Stokes que presenta singularidades (explosión de las soluciones o blow-up).
El teorema de Oltebaev es aplicable a estas ecuaciones y afirma que no existen singularidades, contradiciendo el resultado de Tao.
El artículo técnico es T. Tao, “Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation,” ha sido enviado a la revista J. Amer. Math. Soc. (arXiv: 1402.0290 [math.AP]). Conviene consultar T. Tao, “Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation,” What’s new, 04 Feb 2014.
El nuevo resultado de Tao afirma que no es posible establecer la regularidad global mediante un enfoque “abstracto” que sólo utilice la identidad de la energía y una cota superior a la norma de la solución como estimadores de la parte no lineal de la ecuación de Navier-Stokes.
La versión modificada de las ecuaciones de Navier-Stokes de Tao obedece ambas, pero presenta singularidades (blow-up en tiempo finito).
El trabajo de Tao tiene antecedentes (Montgomery-Smith, Gallagher-Paicu, Li-Sinai, Katz-Pavlovic,Cheskidov, Plechac y Sverak y Hou y Lei) y podría interpretarse como una nueva ruta hacia la demostración del bow-up en las ecuaciones de Navier-Stokes (aunque Tao no cree que vaya a ser un camino fácil).
Una buena exposición del contraejemplo encontrado para el teorema 6.1 de Otelbaev se encuentra en este PDF; para entenderlo, conviene recordar la formulación de dicho teorema en James Robinson, “3D Navier-Stokes equations: Otelbaev’s proof,” Warwick’s Math Inst, Feb 2014.
En resumen, habrá que estar al tanto de nuevos resultados sobre las ecuaciones de Navier-Stokes, pero todo indica que el problema sigue resistiendo todos los ataques.
http://francis.naukas.com/
