Cuando estudiaba la carrera compartía espacio con estudiantes de Biología, lo que me dio además de muchos amigos biólogos, una pequeña animadversión hacia esa ciencia.
Pues ¿qué es la biología sino química aplicada?
Sin embargo, al terminar mis estudios y profundizar Y SER FÌSICO me he dado cuenta de que, ¡vaya!, la química no es más que física aplicada.
Realmente los límites no están nada claros y existen varias disciplinas que se cambian de una materia a otra sin entender de límites ni fronteras.
Como por ejemplo la química-física o la bioquímica.
Pero lo que no se puede discutir es que, por encima de todas ellas, están las matemáticas. Todas las ciencias se basan en la seguridad que da el lenguaje matemático.
Entonces, ¿qué sucedería si las matemáticas no fuesen fiables?
Ted Chiang en su magnífica obra "La historia de tu vida" tiene un cuento llamado "Dividido por cero" en el que expone algo que a mi me resultó, cuanto menos, inquietante.
1. Dividir un número entre cero no da como resultado un número infinitamente grande. La razón es que la división se define como una multiplicación a la inversa: si se divide entre cero, y luego se multiplica por cero, debería recuperarse el número con el que se comenzó. Sin embargo, multiplicar infinito por cero da como resultado cero, y ningún otro número. No hay nada que pueda ser multiplicado por cero para dar un resultado que no sea cero; por tanto, el resultado de una división entre cero está literalmente «indefinido». [...]
2. Existe una «prueba» muy conocida que demuestra que uno es igual a dos. Comienza con varias definiciones: «Si a = 1; si b = 1». Termina con la conclusión «a = 2a», es decir, uno es igual a dos. Escondida de forma poco notable en el medio hay una división entre cero, y en ese punto la prueba se ha extralimitado, vaciando y anulando todas las reglas.
Dar por buena una división entre cero permite no sólo probar que uno y dos son iguales, sino que dos números cualesquiera –reales o imaginarios, racionales o irracionales– son iguales. [...]
a = x [true for some a's and x's]a+a = a+x [add a to both sides]x-2x [subtract 2x from bot2a = a+x [a+a = 2a] 2a-2x = a +h sides] 2(a-x) = a+x-2x [2a-2x = 2(a-x)][divide both sides by a-x]2(a-x) = a-x [x-2x = -x] 2 = 1
3. En los Principia Mathematica, Bertrand Russell y Alfred Whitehead intentaron aportar unos cimientos rigurosos a las matemáticas usando como base la lógica formal. Empezaron con lo que consideraban como axiomas, y usaron éstos para derivar teorías de complejidad creciente. Hacia la página 362, habían establecido evidencia suficiente para demostrar que «1 + 1 = 2». [...]
4. A comienzos del siglo XIX, los matemáticos comenzaron a explorar geometrías que se diferenciaban de la geometría euclidiana; estas geometrías alternativas producían resultados que parecían completamente absurdos, pero no producían contradicciones lógicas. Más adelante se demostró que estas geometrías no euclidianas eran consistentes respecto a la geometría euclidiana: eran lógicamente consistentes siempre y cuando se asumiese que la geometría euclidiana era consistente. La prueba de la consistencia de la geometría euclidiana escapaba a los matemáticos. Hacia el final del siglo XIX, lo mejor que se había conseguido era una prueba de que la geometría euclidiana era consistente siempre y cuando la aritmética fuera consistente. [...]
5. En el Segundo Congreso Internacional de Matemáticas de 1900, David Hilbert propuso una lista de los que consideraba los veintitrés problemas matemáticos sin resolver más importantes. El segundo punto de la lista era la petición de una prueba de la consistencia de la aritmética. Esa prueba aseguraría la consistencia de buena parte de las matemáticas de grado superior. Lo que esta prueba debía garantizar, en esencia, era que no se pudiera nunca probar que uno es igual a dos. Pocos matemáticos consideraron esto como un asunto de importancia. [...]
6. En 1931, Kurt Gödel demostró dos teoremas. El primero muestra, de hecho, que las matemáticas contienen afirmaciones que pueden ser ciertas, pero son intrínsecamente imposibles de probar. Incluso un sistema formal tan simple como la aritmética permite afirmaciones que son precisas, significativas y que parecen ciertas con toda seguridad, pero que sin embargo no pueden ser probadas por medios formales. Su segundo teorema muestra que la proclamación de la consistencia de la aritmética es una afirmación de ese tipo; no puede probarse por ningún medio usando los axiomas de la aritmética. Esto es, la aritmética como sistema formal no puede garantizar que no producirá resultados como «1 = 2»; estas contradicciones pueden no haber sido detectadas nunca, pero es imposible probar que nunca lo serán. [...]
7. En 1936, Gerhard Gentzen aportó una prueba de la consistencia de la aritmética, pero para hacerlo tuvo que usar una técnica polémica conocida como inducción transfinita. Esta técnica no se encuentra en los métodos habituales de las demostraciones, y difícilmente parecía apropiada para garantizar la consistencia de la aritmética. Lo que Gentzen había hecho era demostrar lo obvio suponiendo la certeza de algo que era dudoso.
8. Hilbert dijo: «Si el pensamiento matemático es defectuoso, ¿dónde encontraremos verdad y certidumbre?». [...]
9. Albert Einstein dijo: «En la medida en que las proposiciones de las matemáticas dan cuenta de la realidad, no son seguras; y en la medida en que son seguras, no describen la realidad». [...]
Lo que me lleva a este otro cómic de xkcd:
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Los dos personajes de la historia de Ted Chiang son la catedrática de matemáticas Renee y su marido el biólogo Carl. Lo real frente a lo imaginario.
En la historia que cuenta de manera paralela a las lecciones de matemáticas antes mencionadas, Renee descubre un formalismo que permite igualar dos números distintos.
Ha encontrado una contradicción, y concluye que la aritmética como sistema formal es inconsistente.
Le explica a Carl que cualesquiera dos números que él seleccione puede demostrar que son iguales.
- ¿No lo ves? - preguntó Renee-. Acabo de refutar la mayor parte de las matemáticas; ahora ya no tienen sentido.[...]
- ¿Cómo puedes decir eso? Las matemáticas siguen funcionando.
El mundo científico y económico no van a venirse abajo de repente porque te hayas dado cuenta de esto.
- Eso es porque las matemáticas que usan son puro truco.
Es una técnica mnemónica, como contar con los nudillos para saber qué meses tienen treinta y un días.
[...] Ya no podía concentrarse, y la noche anterior había tenido una pesadilla en la que descubría un formalismo que le permitía traducir conceptos arbitrarios a expresiones matemáticas: luego había demostrado que la vida y la muerte eran equivalentes.
¿Hasta qué punto estamos describiendo la realidad tal y como es usando el lenguaje matemático?
