Las famosas desigualdades de John Bell mostraron que la mecánica cuántica es incompatible con la mecánica clásica y viola algunos principios conceptuales profundos (localidad, realismo, etc.).
Las desigualdades de Bell son violadas por la mecánica cuántica pero no por una teoría clásica de variables ocultas.
¿Para qué sirve una desigualdad de Bell que no sea violada por la mecánica cuántica?
Parece inútil pero puede permitir distinguir entre correlaciones cuánticas (compatibles con la relatividad especial) y correlaciones “supercuánticas” (que violan la relatividad especial).
La portuguesa Mafalda L. Almeida, miembro del grupo de investigación del español Antonio Acín (ICFO e ICREA, Barcelona, España), junto a varios colegas, ha publicado un interesante artículo en Physical Review Letters que presenta desigualdades de Bell ”inútiles” que la mecánica cuántica no puede violar, pero que permiten diferenciar la mecánica cuántica de otras teorías más exóticas que tratan de explicarla gracias a correlaciones “supercuánticas.”
Nos lo cuenta Andreas Winter, “Quantum mechanics: The usefulness of uselessness,” News and Views, Nature 466: 1053–1054, 26 August 2010, haciéndose eco del artículo técnico de Mafalda L. Almeida, Jean-Daniel Bancal, Nicolas Brunner, Antonio Acín, Nicolas Gisin, Stefano Pironio, “Guess Your Neighbor’s Input: A Multipartite Nonlocal Game with No Quantum Advantage,” Phys. Rev. Lett. 104: 230404, 9 June 2010.
Almeida y sus colegas introducen un nuevo juego cuántico no local. Estos juegos son muy utilizados para ilustrar las propiedades más sutiles de los sistemas cuánticos de muchas partículas. Cada jugador recibe una entrada x, y, …, de un árbitro y tiene que responder con una respuesta a, b, ….
Los jugadores responden sin consultar con los otros jugadores, pero pueden haber acordado previamente una estrategia común, que puede incluir un cierto grado de aleatoriedad, ciertos estados cuánticos entrelazados comunes e incluso cosas más exóticas. Gracias a esta estrategia, los resultados de los jugadores estarán correlacionados. Esta correlación se codifica en las probabilidades condicionadas P(ab…| xy…).
Los jugadores ganan o pierden en función de si sus respuestas (salidas) a las preguntas (entradas) cumplen cierta relación, W(ab…, xy…). El objetivo de los jugadores es maximizar la probabilidad de ganar, sea P(ganar).
Las estrategias de juego clásicas se basan en correlaciones realistas locales: los jugadores pueden compartir cierta información (independiente de x, y, …), pero sus reglas de juego deben respetar la localidad (a depende solo de x, b solo de y, etc.) .
Una desigualdad de Bell es una cota superior de P(ganar) para correlaciones realistas locales arbitrarias. Si los jugadores adoptan una estrategia basada en el uso del entrelazamiento cuántico pueden violar estas desigualdades de Bell utilizando solo observables locales.
La figura que abre esta entrada ilustra el juego cuántico de Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH).
Dos jugadores que cooperan entre sí reciben una entrada (xe y que pueden valer 0 o 1) de un árbitro, al que tienen que responder con una salida (a y b que también pueden valer 0 o 1).
La condición para ganar el juego es que la paridad de a+b sea igual a la del producto xy, es decir, a y b tienen que ser diferentes entre sí si x=y=1, e iguales entre sí en caso contrario.
Si los jugadores adoptan una estrategia clásica, sólo pueden satisfacer tres de las cuatro posibles entradas, (0,0), (0,1), (1,0 ) y (1,1), por lo que la probabilidad máxima de ganar es P(ganar)=0’75. Sin embargo, si adoptan una estrategia basada en correlaciones cuánticas, este valor puede aumentar a 0’851 (artículo CHSH) . El valor máximo posible P(ganar)=1 requiere el uso de correlaciones “supercuánticas” (Popescu y Rohrlich) and Daniel Rohrlich).
Almeida y sus colegas han introducido un nuevo juego cuántico similar al juego CHSH pero para tres o más jugadores en el que la mecánica cuántica no permite obtener ninguna ventaja, la probabilidad de ganar es la misma en el caso clásico que en el caso cuántico, pero que ofrece una ventaja a quienes usen correlaciones “supercuánticas.”
La verificación experimental de su juego permitiría verificar si este tipo de correlaciones “supercuánticas” existen o no (todo el mundo “sabe” que no existen, pero toda teoría física debe ser refutable).
Las correlaciones “supercuánticas” son las que violan la propiedad técnica llamadano-signalling que garantiza que mediante procesos cuánticos no se puedan enviar señales (información) a una velocidad más rápida que la velocidad de la luz, es decir, que permite que la mecánica cuántica no viole la relatividad de Einstein.
En mecánica cuántica la propiedad de no-signalling equivale a que las probabilidadesP(ab…|xy…) sean positivas y cumplan ciertas desigualdades de Bell, llamadas desigualdades de Bell triviales.
En el contexto de las correlaciones “supercuánticas” interesan las desigualdades de Bell no triviales.
¿Viola la mecánica cuántica todas las desigualdades de Bell no triviales?
La respueta de Almeida y sus colegas es que no. Su nuevo juego cuántico llamado “adivina la entrada de tu vecino” (“guess your neighbour’s input“), para más de dos jugadores, equivale a una desigualdad de Bell es que satisfecha por todas las correlaciones cuánticas.
Esta nueva desigualdad es no trivial porque su violación es consistente con la propiedad de no-signalling.
Más aún, su nueva desigualdad de Bell no es implicada por ninguna otra. En este sentido es una desigualdad de Bell inútil pero necesaria, ya que no permite discriminar entre la física clásica y la cuántica, pero sí permite distinguir éstas de otras correlaciones que violen la propiedad de no-signalling.
¿Por qué es interesante el trabajo de Almeida y sus colegas?
Porque la verificación experimental de su juego permitirá estudiar si la Naturaleza permite la existencia de correlaciones “supercuánticas.”
El problema es que lograrlo no parece fácil ya que un juego con tres jugadores. ¿Hay juegos para dos jugadores con desigualdades de Bell no triviales?
El juego de Almeida et al. para dos jugadores no las permite.
No hay ningún teorema que impida que existan.
Los físicos cuánticos tendrán que darle al coco a ver si descubren alguno.
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