El problema del café con leche (33880)

Problema:

 Mi microondas no siempre calienta el café a la misma temperatura, por lo que algunas veces está demasiado caliente.

 Como por las mañanas tengo prisa, quisiera saber qué tengo que hacer y por qué para enfriarlo más rápidamente: ¿echo un poco de leche fría nada más sacarlo de microondas y espero 5 minutos para tomármelo o espero 5 minutos y luego echo la leche fría? 

Respuesta:

Se trata seguramente del problema de Física del que más se ha escrito en Internet desde sus inicios, y sin embargo, sigue sin estar resuelto satisfactoriamente. 

Y esto por dos razones: la primera, que muchos de los que han intentado aportar una solución se han limitado a los aspectos teóricos de la cuestión;

 la segunda, que si se trata de resolver experimentalmente el problema, son tantos los factores que afectan al resultado final que es imposible obtener un resultado de validez universal.

El cálculo teórico ya de por sí es muy complejo, porque hay que tener en cuenta las tres formas de transferencia de calor entre el café y el ambiente: la conducción (transferencia de calor por contacto directo entre el café y el ambiente), la convección (transferencia de calor por el movimiento del aire sobre el café) y la radiación (energía electromagnética emitida por el café). 

Para pequeñas diferencias de temperatura, una aproximación aceptable es la ley de enfriamiento de Newton, que afirma que la velocidad de enfriamiento es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el ambiente. Por consiguiente, esa diferencia de temperatura decrece exponencialmente con el tiempo:

donde T(t) es la temperatura del café en función del tiempo, T_a es la temperatura del ambiente, que se supone constante, T₀ es la temperatura inicial del café, r es un parámetro que depende entre otras cosas de la superficie de contacto entre el café y el ambiente, de la masa del café y de su calor específico, t es el tiempo, y e es... el número e, base de los logaritmos neperianos.

Por otra parte, en la mezcla del café con la leche se igualan sus temperaturas de manera que se cumpla la Primera Ley de la Termodinámica, la ley de conservación de la energía. 

O sea, que el café transfiere energía a la leche hasta que ambos están a la misma temperatura. La temperatura final de la mezcla es:

donde m_c y m_l son las masas de café y leche respectivamente, c_c y c_l sus calores específicos y T_c y T_l sus temperaturas iniciales. 

El calor específico del café es aproximadamente igual al del agua (sobre todo, si es café americano), o sea, 1 caloría por gramo y por grado, mientras que el de la leche entera es aproximadamente 0,93 calorías por gramo y por grado. 

El de la leche desnatada debe de ser también cercano al del agua, y el de la semidesnatada tendrá un valor intermedio.

 Como se trata de un café con leche, y no de un cortado, vamos a suponer que mezclamos el café con la leche a partes iguales, así que m_c = m_l; por otra parte, nunca está de más cuidar la línea, así que vamos a utilizar leche desnatada, con lo que c_c = c_l. 

Entonces, la fórmula de la temperatura final de la mezcla se simplifica mucho:

Veamos entonces lo que ocurre en los dos casos propuestos. 

Si echamos primero la leche fría, la temperatura final después de dejar enfriar la mezcla será:

Por el contrario, si dejamos que el café se enfríe, y después añadimos la leche:

Nótese que en este segundo caso el parámetro de enfriamiento, r', 

es distinto: aunque la taza sea cilíndrica y la superficie de contacto con el aire sea la misma en ambos casos, la masa del líquido es la mitad que en el primer caso. 

Suponiendo que no haya otros factores que afecten al valor de r' (que seguro que los hay), una masa doble necesita perder el doble de calor para enfriarse, así que podemos aproximar r' = 2r (o sea, que el café solo, al ser menos cantidad, se enfría el doble de rápido que el café con leche); finalmente:

Ahora damos unos valores razonables a las temperaturas iniciales en ambas ecuaciones y comparamos los resultados. Si suponemos que el café sale del microondas a 80ºC, la leche de la nevera a 5ºC, y la temperatura ambiente es 20ºC:

Podemos representar gráficamente ambas fórmulas en función de rt:

La gráfica nos muestra que las dos temperaturas, lógicamente, coinciden en el instante inicial (es lo mismo echar la leche y esperar 0 segundos que esperar 0 segundos y echar la leche).

Después, en todo momento, T₁ es mayor que T₂, así que concluimos que la manera más rápida de enfriar el café es echarle la leche al final. Es lógico. 

De hecho, si esperamos mucho tiempo, como la leche está más fría que el ambiente, podemos enfriar el café por debajo de esa temperatura. 

Es lo que muestra la gráfica: T₁ nunca baja de 20ºC, la temperatura ambiente, mientras que T₂ puede descender hasta 12,5ºC si esperamos hasta que el café se haya enfriado completamente antes de mezclarlo con la leche.

Pero para llegar a este resultado hemos hecho muchas aproximaciones y suposiciones, algunas de las cuales ni siquiera han quedado explicitadas en el texto: no se ha tenido en cuenta el enfriamiento que se produce a través de las paredes de la taza, ni el efecto de que la temperatura no sea la misma en todos los puntos del café, ni en hecho de que el café solo, al ser más oscuro, emite más energía por radiación que el café con leche... y ni siquiera sé si al mezclar la leche con el café se produce alguna reacción química que genere o absorba energía. 

Así que, en conclusión, como físico, recomiendo echar la leche enseguida si se quiere que el café se mantenga caliente más tiempo, y esperar hasta el último momento si se quiere enfriar con rapidez. 

Pero, como persona sensata, recomiendo realizar el experimento en las condiciones particulares del café con leche de cada uno, y observar lo que ocurre.

Problema 2:

El mismo escenario pero con leche al tiempo.

Respuesta:

 ¿Cambiará el resultado si enfriamos el café con leche del tiempo? 

Si mantenemos los otros datos invariables (café a 80ºC y ambiente a 20ºC), las ecuaciones resultantes son:

Ahora, si dejamos pasar mucho tiempo, ambas temperaturas se igualan: 

El café se ha enfriado hasta la temperatura ambiente, y la mezcla con leche a esa misma temperatura no cambia el resultado.

 Pero antes de que eso suceda, se enfría más rápidamente el café si echamos la leche al final, igual que en el caso de la leche fría.

Y, ya puestos, vamos a ver qué pasa si se utiliza leche caliente, 

digamos a 60ºC:

Este caso es más complicado.

 En un primer momento, el café se enfría más deprisa si añadimos la leche al final, como en los otros casos, pero llega un momento en que la situación se invierte.

 Lógicamente, si añadimos leche caliente cuando el café ya se ha enfriado por debajo de esa temperatura, vamos a conseguir que la temperatura aumente. 

Así, la temperatura que se consigue echando la leche caliente al final nunca baja de 40ºC.


Solución final...

Si todo este cálculo se les complica hay otra solución...