jueves, 19 de junio de 2014

Física Cuántica... Problemas.

PROBLEMA:

 Determínese la energía de un átomo de hidrógeno que se encuentra en su estado fundamental.
 Utilícense unidades en el sistema MKS-SI para la resolución de este problema.

Escribiendo la fórmula para el nivel energético del átomo de hidrógeno en su estado fundamental de la siguiente manera:

entonces, utilizando las constantes físicas en el sistema MKS-SI:
me = 9.109× 10-31 kilogramo

e= 1.602× 10-19 coulomb

ε0 = 8.854× 10-12 coulomb²/Newton·metro²

h = 6.626× 10-34 joule·segundo

tenemos el siguiente resultado:

Puesto que 1 electrón-voltio equivale a 1.602× 10-19 joule, la energía del átomo de hidrógeno (considerada aquí como la energía del electrón en el estado fundamental) será igual a -13.6 eV.

PROBLEMA

(1) Calcúlese la frecuencia de la rotación de un electrón en el estado n = 10. (2) Calcúlese la frecuencia de la luz emitida cuando un electrón desciende del estado n = 10 al estado n = 9. Utilícense unidades en el sistema cgs-Gaussiano para la resolución de este problema.

(1) La energía de un electrón situado en el nivel n = 10, calculada en el sistema de unidades cgs-Gaussiano, será la siguiente:

Suponiendo que toda esta energía es energía cinética de rotación del electrón alrededor del núcleo, entonces podemos calcular con esto su velocidad tangencial orbital:

A continuación, calculamos el radio de la órbita cuando el electrón está en el estado n = 10:

Teniendo la velocidad tangencial orbital y el radio de la órbita, podemos calcular la frecuencia de la rotación del electrón alrededor del núcleo partiendo del hecho de que la velocidad angular ω es igual a la velocidad tangencial entre el radio y la velocidad angular es también igual a 2π veces la frecuencia de rotación:

Por otro lado, la energía del fotón luminoso emitido cuando desciende del nivel n = 10 al nivel n = 9 será:

en donde el signo negativo indica que esta es una energía liberada por el átomo en lugar de ser una energía que se le tenga que suministrar. La frecuencia del fotón luminoso (que en este problema identificaremos con la letra ν para no confundirla con la frecuencia de rotación que acabamos de calcular arriba) se obtiene entonces con la fórmula básica que relaciona a la energía de un fotón con su frecuencia:

Si comparamos la frecuencia de la rotación de un electrón en el estado n = 10 con la frecuencia de la luz emitida cuando un electrón desciende del estado n = 10 al estado contiguo n = 9, podremos ver que ambas cantidades tienen el mismo orden de magnitud, y de hecho ambos resultados numéricos no están tan alejados el uno del otro. Esto, desde luego, es el principio de correspondencia de Bohr en acción. Este sencillo problema nos demuestra que en realidad no es necesario que los números cuánticos sean tan grandes para que se establezca la correspondencia. Naturalmente que para números cuánticos realmente grandes, la correspondencia se convierte en una igualdad. Y aunque la comparación se establece suponiendo que el electrón cae de un estado de energía n+1 a un estado de energía contiguo n, podemos comprobar echando números que para números cuánticos grandes la correspondencia se sostendrá con un grado razonable de aproximación aún cuando los estados energéticos no sean contiguos.

PROBLEMA:

 Encuéntrese la diferencia entre las longitudes de onda de la línea del hidrógeno correspondiente a la transición n1 = 3 → n2 = 2 y la línea del helio simplemente ionizado correspondiente a la transición n1 = 6 → n2 = 4. Tómense como valores para las constantes de Rydberg los siguientes:
RH = 1.09678×10-3

RHe = 1.09722×10-3

De la relación fundamental para un elemento con número atómico Z:

tenemos lo siguiente para el átomo de hidrógeno con una transición n1= 3 → n2 = 2:

y tenemos lo siguiente para el átomo de helio con una transición n1 = 6 → n2 = 4:

Tomando diferenciales en la primera relación e introduciendo los últimos resultados que vienen siendo lo mismo:

En esto último podemos hacer una buena aproximación reemplazando los infinitesimales por incrementos finitos escribiendo así lo siguiente:

Regresando a la relación previa, vemos que:

Entonces:

Metiendo números:

Haciendo Z = 1 para el caso del hidrógeno y comparando lo que obtenemos con la fórmula Balmer-Ritz, tendremos lo siguiente para la frecuencia de Rydberg:

Puesto que cada capa representa un nivel energético distinto (y al decir esto nos estamos refiriendo al nivel energético de un electrón que esté situado en una capa cualquiera), se acostumbra representar las transiciones de una capa a otra mediante lo que se conoce comodiagramas de niveles de energía como el siguiente:

La capa para la cual n = 1 es conocida como el estado fundamental oestado basal.

Sin importar el estado que esté ocupando un electrón en un átomo, ya sea que se encuentre en el estado fundamental o que se encuentre en un estado excitado, si proporcionamos suficiente energía al átomo (por ejemplo mediante descargas eléctricas) podemos arrancarle dicho electrón al átomo, de modo tal que si el átomo anteriormente estaba en un estado eléctricamente neutro (con la misma cantidad de cargas positivas que negativas) ahora se encontrará en un estado ionizado, manifestando una carga eléctrica neta positiva:



Lo que hemos visto arriba reproduce en esencia la misma línea de pensamiento utilizada por Bohr al estar desarrollando sus ideas. 

Sin embargo, entre las fórmulas se escondía algo de mucha mayor trascendencia todavía, algo que al ser descubierto sería adoptado por el mismo Bohr como postulado para su modelo atómico.

PROBLEMA

Demostrar que el desarrollo original utilizado por Bohr para la obtención de sus fórmulas implica necesariamente la cuantización del momento angular orbital.

Clásicamente, el momento angular orbital L de una partícula de masa m girando con una velocidad v en torno a otro cuerpo que actúa como núcleo proporcionando la fuerza atractiva que la mantiene en órbita:



está dado por la relación vectorial del producto cruz:

siendo p = mv el momentum lineal de la partícula.

Para el modelo atómico planetario de Bohr, el momento angular de un electrón moviéndose en una órbita circular de radio rn es:
L = mvrn

Usando el resultado previo r= n²rtenemos entonces:
L = mv(n²r0) = n²mvr0

Usando otro de los resultados previos tenemos:

Por otro lado, tenemos también de otro resultado previo lo siguiente:

Por lo tanto:

Pero mvrn = L. Entonces:

Esto último lo podemos compactar aún más usando una notación simplificada propuesta por Paul Adrien Maurice Dirac, conocida comohbarrada ó h barra que sirve para representar a la constante reducida de Planck h/2π con un solo símbolo, ħ, permitiéndonos escribir la anterior relación como:

Ya desde los tiempos en los que Max Planck había resuelto el problema de la radiación del cuerpo negro descubriendo la famosa constante que lleva su nombre, era obvio que dicha constante tenía las unidades de momento angular. Pero en ese entonces el modelo atómico planetario de Bohr aún no había sido descubierto, y no era muy clara la relación que pudiera tener el momento angular como tal con la cuantización de la energía.

 Ahora, por vez primera, se tenía un resultado en el cual aparecía la constante de Planck ligada a un número entero positivo n, siendo este resultado la relación más sencilla de todas las relaciones posibles.

 Esto era la señal más clara de que, a un nivel fundamental, la cuantización del momento angular era algo inclusive más básico que la cuantización de la energía o la cuantización de los radios de las órbitas del electrón en torno al núcleo. La cuantización del momento angular podía utilizarse como punto esencial de partida para la construcción de una nueva ciencia. 

Bohr no tardó en darse cuenta del hecho, y fue así como en su papel en el cual Bohr anunció su descubrimiento al mundo asentó toda su teoría sobre los siguientes dos postulados:
(1) Los electrones se mueven en órbitas circulares estables, consistentes con la ley clásica de la atracción eléctrica entre dos cargas eléctricas opuestas y las leyes clásicas del movimiento de Newton, estando especificadas dichas órbitas por una cuantización del momento angular:

L = nħ

(2) Cuando un electrón salta de una órbita de energía E1 a una órbita de energía E2, se emite un fotón cuya frecuencia de radiación será:

ν = (E1 - E2)/h