Cuando tenía cinco años de edad que solía ser una especie de atracción a los familiares. Uno de los hermanos de mi madre es un ingeniero, y que estaba sorprendido por mi capacidad de hacer cálculos complejos de memoria. Pero para mí sólo era divertido observar su asombro por lo que consideraba una tontería.
En una ocasión - Lo recuerdo como si fuera ayer - mi tío me levantó y mientras él me mantuvo con sus brazos, me preguntó "Ok, vamos a ver esto. Tommaso, ¿cuál es la raíz cuadrada de 5968? ". Eso sí, yo no recuerdo el número exacto; Yo sólo recuerdo que fue entre 5000 y 7000. Miré hacia arriba en el vacío durante dos segundos, y yo respondí "77.3". Tío Ciccio bajarme y corrió para la calculadora de bolsillo - que tenía una, aunque eran una verdadera novedad esos años.
Volvió, asomó en la máquina, y se lee el resultado en la pantalla: "77.253 ¿Cómo diablos lo hizo! lo haces? " Todo el mundo en la sala me miró como si acabara de aterrizar de Marte. Tiene que ser un genio! Sí, ¿cómo diablos puede un niño de cinco años de edad, calcular la raíz cuadrada de un número de cuatro dígitos? Tan viejo Groucho solía decir: "Un niño de cinco años podría entender esto. Va búsqueda de un niño de cinco años!"
Realmente, no hay nada mágico sobre el aprendizaje de cómo extraer estimaciones razonables de la raíz cuadrada de números grandes. Por el momento estamos cinco que hemos aprendido tareas mucho más complejas, de hecho. Sin embargo, dado el analfabetismo matemático generalizado del mundo que nos rodea, un niño 5yo saber cómo llevar a cabo un cálculo más allá de los poderes de la mayoría de los adultos parece un prodigio. Pero en realidad no lo es.
Lo que necesitas, con el fin de aprender a hacer lo mismo a ti mismo, es simplemente la voluntad de observar algunos hechos básicos acerca de los números enteros. ¿Sabe usted cuánto es 5 por 5? Y 6 por 6? Usted sabe esto, ¿verdad? Entonces usted también saber cuál es la raíz cuadrada de 30 - que tiene que ser algo entre 5 y 6, ya que 30 es casi exactamente a medio camino entre el 25 y el 36 Sí, su conjetura -. 5,5 - está justo en el dinero, o casi.
Hagamos que sea más difícil. ¿Cuál es la raíz cuadrada de 28? Si usted no sabía nada más que el hecho de que 5x5 = 25 y 6x6 = 36, usted podría tener la tentación de interpolar entre esos dos números. . 28 es 3 por encima de 25, y hay 11 entre 25 y 36 Así que, desde el 3 es un poco más de la cuarta parte de 11, se podía adivinar que la respuesta debe ser 5 0,28: 0,25 es cuarto, 0,33 es un tercero, y dijimos 3 es más de un cuarto de 11, pero menos de un tercio de la misma. Así que su conjetura es 5,28; la verdadera respuesta es, en cambio 5.29. Muy cerca, ¿no? Lo suficiente como para sorprender a tus amigos.
En la raíz del cálculo anterior es el hecho de que dentro de los dominios restringidos, la función cuadrática que describe cómo crece el cuadrado de los números está muy bien aproximada por una función lineal. Una función lineal es lo que hemos supuesto implícitamente en nuestro cálculo, ya que se rompió la diferencia entre 25 y 36 dentro de un intervalo, 11, y nos llevó un poco más de un cuarto de la misma para calcular la raíz cuadrada de 28, sabiendo que el 28 por -25 fue un poco más de la cuarta parte de 11.
Una vez que se comprende el concepto simple de cómo interpolar entre dos números, un mundo nuevo se abre. ¿Cuál es la raíz cuadrada de 5968, entonces? Pues bien, es necesario recordar que el cuadrado de 7 es 49, que el cuadrado de 8 es 64, y que cada vez que se agrega un cero al número que obtiene al cuadrado, se agregan dos al producto - de ahí 70x70 es 4900, duh . Pero ahora las cosas se ponen un poco más complicadas.
Si lo único que sabía era que es 70x70 y 80x80 4900 es 6400, para conseguir una buena estimación de la raíz cuadrada de 5968 no sería demasiado sencillo. Usted tendría que razonar de la siguiente manera: ". Hay 1.500 entre 4900 y 6400, y hay 432 entre 5968 y 6400 432 es un poco más de la cuarta parte de 1500, así que diría que echamos de menos 2.9 (cuarto de 80-70 = 10 es 2.5) a partir de 80 - la respuesta es de aproximadamente 77.1 ". La respuesta es bastante buena (como se señaló anteriormente, el resultado correcto es 77.253), destacando que el método de interpolación lineal funciona incluso si sus bases para la extrapolación están muy lejos del punto en el que desea evaluar. Sin embargo, el cálculo puede estar por encima de la cabeza de muchos laicos. ¿Cómo puede un niño de cinco años de hacer eso?
Un niño de cinco años puede tener menos neuronas que tú, pero no tiene el tiempo y la memoria en exceso. Para un niño motivado, aprendiendo de memoria los poderes de todos los números del 1 al 100 es un juego de niños, por cierto. 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169 ... No es demasiado duro. Pero incluso sabiendo que sólo 75x75 es 5625 es una gran ayuda en el cálculo anterior, ya que estamos mucho más cerca de la meta de 5968 ...
Y luego está el truco final, que, lo admito, me había hecho comprendido en 5 años de edad, pero no todo el mundo sabe lo contrario. La diferencia entre dos potencias consecutivas, digamos x y x 1, es x + x +1. Es decir: si la segunda potencia de 75 es 5625, entonces la potencia de 76 es 75 76 5625, o 5776 que, por supuesto, proviene de la fórmula de la plaza de (x 1) ^ 2 = x ^. 2 +2 * x 1, pero un niño no necesita saber la fórmula para observarlo, si se les da una sucesión de cuadros.
Si sabe que ir de x ^ 2 (x +1) ^ 2 sólo tiene añadir 2x 1, todo se vuelve mucho, mucho más fácil. ¿Qué es el cuadrado de 141? Bueno, es el cuadrado de 140 más 281. Desde el primero es (14x14) x100, o 19600, la respuesta es 19.881. Doh!
Jugando con el corazón con números cuadrados y raíces cuadradas le hará una calculadora más rápida. En algún momento usted no tiene que restringirse a raíces cuadradas y plazas: se puede aumentar fácilmente por una sola planta y empezar a tratar con otras potencias. Se hace más difícil, pero se puede hacer. Y más a menudo que no, se puede conectar una pregunta difícil de lo que ya conoce.
Una vez fui desafiado por un compañero, como hemos comentado cálculo de memoria, para hacer la séptima plaza de 11. estúpidamente dije "ah, bueno, eso es demasiado duro ", sin pensar en ello por un segundo, pero debería haber sabido mejor: era muy fácil de conseguir una buena estimación. De hecho, sólo hay que observar que la respuesta no puede ser grande. Si usted toma 2, usted sabe que 2 ^ 7 es 128, por lo que está muy por debajo de eso; y por supuesto, por encima de 1 ^ 7 = 1 también. Entonces uno puede notar que 2 ^ 3 es de 8 y 2 ^ 4 es 16, por lo que 2 ^ 3.5 Debe haber cerca de 11 -. Y 3,5 es la mitad de 7 Ya que todos sabemos que la raíz cuadrada de 2 es de 1.41, de la geometría que tomó en la escuela media, entonces, sólo se debe golpear usted: 1.4x1.4 es 2, 2 ^ 3 es 8, 8x1.4 es de unos 11 ... así que la séptima plaza de 11 está muy cerca de 1.4.
Supongo que la línea de fondo es la siguiente: si no aborreces desde el principio la idea de tocar el violín con los números de memoria, intente hacer el ejercicio de adivinar las raíces cuadradas de un gran número - puede ser muy bueno en eso, en la cuestión de la tarde!
En una ocasión - Lo recuerdo como si fuera ayer - mi tío me levantó y mientras él me mantuvo con sus brazos, me preguntó "Ok, vamos a ver esto. Tommaso, ¿cuál es la raíz cuadrada de 5968? ". Eso sí, yo no recuerdo el número exacto; Yo sólo recuerdo que fue entre 5000 y 7000. Miré hacia arriba en el vacío durante dos segundos, y yo respondí "77.3". Tío Ciccio bajarme y corrió para la calculadora de bolsillo - que tenía una, aunque eran una verdadera novedad esos años.
Volvió, asomó en la máquina, y se lee el resultado en la pantalla: "77.253 ¿Cómo diablos lo hizo! lo haces? " Todo el mundo en la sala me miró como si acabara de aterrizar de Marte. Tiene que ser un genio! Sí, ¿cómo diablos puede un niño de cinco años de edad, calcular la raíz cuadrada de un número de cuatro dígitos? Tan viejo Groucho solía decir: "Un niño de cinco años podría entender esto. Va búsqueda de un niño de cinco años!"
Realmente, no hay nada mágico sobre el aprendizaje de cómo extraer estimaciones razonables de la raíz cuadrada de números grandes. Por el momento estamos cinco que hemos aprendido tareas mucho más complejas, de hecho. Sin embargo, dado el analfabetismo matemático generalizado del mundo que nos rodea, un niño 5yo saber cómo llevar a cabo un cálculo más allá de los poderes de la mayoría de los adultos parece un prodigio. Pero en realidad no lo es.
Lo que necesitas, con el fin de aprender a hacer lo mismo a ti mismo, es simplemente la voluntad de observar algunos hechos básicos acerca de los números enteros. ¿Sabe usted cuánto es 5 por 5? Y 6 por 6? Usted sabe esto, ¿verdad? Entonces usted también saber cuál es la raíz cuadrada de 30 - que tiene que ser algo entre 5 y 6, ya que 30 es casi exactamente a medio camino entre el 25 y el 36 Sí, su conjetura -. 5,5 - está justo en el dinero, o casi.
Hagamos que sea más difícil. ¿Cuál es la raíz cuadrada de 28? Si usted no sabía nada más que el hecho de que 5x5 = 25 y 6x6 = 36, usted podría tener la tentación de interpolar entre esos dos números. . 28 es 3 por encima de 25, y hay 11 entre 25 y 36 Así que, desde el 3 es un poco más de la cuarta parte de 11, se podía adivinar que la respuesta debe ser 5 0,28: 0,25 es cuarto, 0,33 es un tercero, y dijimos 3 es más de un cuarto de 11, pero menos de un tercio de la misma. Así que su conjetura es 5,28; la verdadera respuesta es, en cambio 5.29. Muy cerca, ¿no? Lo suficiente como para sorprender a tus amigos.
En la raíz del cálculo anterior es el hecho de que dentro de los dominios restringidos, la función cuadrática que describe cómo crece el cuadrado de los números está muy bien aproximada por una función lineal. Una función lineal es lo que hemos supuesto implícitamente en nuestro cálculo, ya que se rompió la diferencia entre 25 y 36 dentro de un intervalo, 11, y nos llevó un poco más de un cuarto de la misma para calcular la raíz cuadrada de 28, sabiendo que el 28 por -25 fue un poco más de la cuarta parte de 11.
Una vez que se comprende el concepto simple de cómo interpolar entre dos números, un mundo nuevo se abre. ¿Cuál es la raíz cuadrada de 5968, entonces? Pues bien, es necesario recordar que el cuadrado de 7 es 49, que el cuadrado de 8 es 64, y que cada vez que se agrega un cero al número que obtiene al cuadrado, se agregan dos al producto - de ahí 70x70 es 4900, duh . Pero ahora las cosas se ponen un poco más complicadas.
Si lo único que sabía era que es 70x70 y 80x80 4900 es 6400, para conseguir una buena estimación de la raíz cuadrada de 5968 no sería demasiado sencillo. Usted tendría que razonar de la siguiente manera: ". Hay 1.500 entre 4900 y 6400, y hay 432 entre 5968 y 6400 432 es un poco más de la cuarta parte de 1500, así que diría que echamos de menos 2.9 (cuarto de 80-70 = 10 es 2.5) a partir de 80 - la respuesta es de aproximadamente 77.1 ". La respuesta es bastante buena (como se señaló anteriormente, el resultado correcto es 77.253), destacando que el método de interpolación lineal funciona incluso si sus bases para la extrapolación están muy lejos del punto en el que desea evaluar. Sin embargo, el cálculo puede estar por encima de la cabeza de muchos laicos. ¿Cómo puede un niño de cinco años de hacer eso?
Un niño de cinco años puede tener menos neuronas que tú, pero no tiene el tiempo y la memoria en exceso. Para un niño motivado, aprendiendo de memoria los poderes de todos los números del 1 al 100 es un juego de niños, por cierto. 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169 ... No es demasiado duro. Pero incluso sabiendo que sólo 75x75 es 5625 es una gran ayuda en el cálculo anterior, ya que estamos mucho más cerca de la meta de 5968 ...
Y luego está el truco final, que, lo admito, me había hecho comprendido en 5 años de edad, pero no todo el mundo sabe lo contrario. La diferencia entre dos potencias consecutivas, digamos x y x 1, es x + x +1. Es decir: si la segunda potencia de 75 es 5625, entonces la potencia de 76 es 75 76 5625, o 5776 que, por supuesto, proviene de la fórmula de la plaza de (x 1) ^ 2 = x ^. 2 +2 * x 1, pero un niño no necesita saber la fórmula para observarlo, si se les da una sucesión de cuadros.
Si sabe que ir de x ^ 2 (x +1) ^ 2 sólo tiene añadir 2x 1, todo se vuelve mucho, mucho más fácil. ¿Qué es el cuadrado de 141? Bueno, es el cuadrado de 140 más 281. Desde el primero es (14x14) x100, o 19600, la respuesta es 19.881. Doh!
Jugando con el corazón con números cuadrados y raíces cuadradas le hará una calculadora más rápida. En algún momento usted no tiene que restringirse a raíces cuadradas y plazas: se puede aumentar fácilmente por una sola planta y empezar a tratar con otras potencias. Se hace más difícil, pero se puede hacer. Y más a menudo que no, se puede conectar una pregunta difícil de lo que ya conoce.
Una vez fui desafiado por un compañero, como hemos comentado cálculo de memoria, para hacer la séptima plaza de 11. estúpidamente dije "ah, bueno, eso es demasiado duro ", sin pensar en ello por un segundo, pero debería haber sabido mejor: era muy fácil de conseguir una buena estimación. De hecho, sólo hay que observar que la respuesta no puede ser grande. Si usted toma 2, usted sabe que 2 ^ 7 es 128, por lo que está muy por debajo de eso; y por supuesto, por encima de 1 ^ 7 = 1 también. Entonces uno puede notar que 2 ^ 3 es de 8 y 2 ^ 4 es 16, por lo que 2 ^ 3.5 Debe haber cerca de 11 -. Y 3,5 es la mitad de 7 Ya que todos sabemos que la raíz cuadrada de 2 es de 1.41, de la geometría que tomó en la escuela media, entonces, sólo se debe golpear usted: 1.4x1.4 es 2, 2 ^ 3 es 8, 8x1.4 es de unos 11 ... así que la séptima plaza de 11 está muy cerca de 1.4.
Supongo que la línea de fondo es la siguiente: si no aborreces desde el principio la idea de tocar el violín con los números de memoria, intente hacer el ejercicio de adivinar las raíces cuadradas de un gran número - puede ser muy bueno en eso, en la cuestión de la tarde!
