alquimiayciencias: El núcleo atómico y sus modelos

Hace unos días pasaba junto a una fuente de agua, tan necesaria para refrescar el ambiente en esta época, y me quedé pensando en su contenido. La materia que veía estaba formada por moléculas y éstas formadas por átomos que, a su vez, estaban formados por protones, neutrones y electrones.

Y los dos primeros formados, a su vez, por quarks.

Los electrones son partículas elementales por lo que no pueden dividirse en constituyentes.

Al menos, de momento.

Agua

Molécula de Agua

En principio, podemos considerar que nuestro mundo está formado por protones, neutrones, electrones, fotones y neutrinos. Otras partículas más exóticas se van creando y aniquilando continuamente. Porque una de las propiedades más sorprendentes, al menos, para mí, de las partículas elementales es su tendencia a desintegrarse.

Hasta los años 30, cuando Chadwick descubrió el neutrón, los físicos pensaban que el universo estaba constituido por dos partículas: el protón y el electrón. Añadir una tercera suponía un retroceso en simplicidad. Y eso es algo que no gusta a los científicos. Pero el descubrimiento del neutrón era solo el principio. Posteriormente se descubrieron muchas más partículas.

La siguiente se encontró en los rayos cósmicos, aunque ya había sido predicha por Maurice Dirac. Y fue el positrón. Pero esto es otra historia.

Para saber más sobre partículas elementales consultar el minicurso Partículas Elementales de Cuentos Cuánticos. Y ahora volvamos a los átomos de materia.

Resulta que, prácticamente, la totalidad de la masa de un átomo está en su núcleo. Tratemos sobre él.

A la vista de esta imagen podría no parecerlo pero el núcleo atómico es un sistema muy complejo. De hecho, un sistema cuántico complejo. Está formado por protones y neutrones. O, lo que es lo mismo, nucleones. Los protones tienen carga eléctrica positiva y los neutrones son neutros. Los nucleones tienen todos la misma masa y ésta es, aproximadamente, igual a 1840 veces la masa del electrón. Permanecen juntos en el núcleo gracias a una fuerza de corto alcance que no depende de la carga: la fuerza nuclear.

La fuerza nuclear es fuerte. Tan fuerte que gana en intensidad a la fuerza eléctrica. A pesar de la repulsión culombiana que existe entre los protones al tener todos carga eléctrica positiva, los núcleos pueden ser estables. Como hemos dicho antes, la fuerza nuclear no depende de la carga, pero sí de una propiedad intrínseca de las partículas llamada espín. Es de corto alcance, no se aprecia fuera del núcleo. Y se satura, lo que tiene como consecuencia que la densidad nuclear sea casi constante en todos los elementos de la tabla periódica.

Cada nucleón solo puede interaccionar con un número máximo de nucleones, independientemente del núcleo que sea y del tamaño que tenga. Y aunque estemos acostumbrados a ver imágenes de núcleos esféricos, la fuerza nuclear no es una fuerza central. Es cierto que la desviación de la esfericidad en la forma del núcleo no es muy grande.

El caso más extremo es el de los núcleos lantánidos que tienen forma de esferoide prolato. Con otras palabras, forma de balón de rugby. Además, la fuerza nuclear puede ser atractiva o repulsiva. A distancias del orden de 1 fm es atractiva, pero a distancias del orden de 0,5 fm es repulsiva.

El núcleo puede encontrarse en distintos estados con distintas energías. Todos los estados nucleares, tienen un momento angular $J$ .

Es un vector cuantizado, cuyo módulo es $J=\sqrt{J(J+1)}\hbar$ donde $J$ es el espín del núcleo. Este es un número cuántico que se conserva en todos los procesos nucleares. Por otra parte, existe una propiedad llamada paridad. Se representa por $P$ .

Las partículas y núcleos tienen paridad intrínseca. Por convenio, se toma la paridad del protón y del nucleón como +1. En un núcleo puede tomar los valores +1 ó -1. El valor viene dado por la expresión $(-1)^l$ donde l es el número cuántico del momento angular orbital.

Todo esto lo contamos porque los núcleos tienen una propiedad que se llama espín-paridad, $J^P$ , bien definida. Después veremos un ejemplo de cómo calcularla.

Por ahora, no es posible estudiar la estructura nuclear exactamente. El motivo es muy simple, no conocemos la expresión del potencial.

Si consideramos el núcleo como un sistema cuántico de A nucleones que interaccionan entre sí a través de un potencial nucleón-nucleón, tendríamos que resolver una ecuación como ésta:

$\hat{H}\Psi = E\Psi$

donde $\hat{H}$ es el hamiltoniano del sistema, que tendríamos que construir a partir de la suma de las energías cinéticas de los A nucleones y de sus potenciales de interacción. Pero, como hemos dicho, no conocemos la forma de dichos potenciales. Esto suena a “tenemos un problema”.

Teniendo en cuenta las características que hemos mencionado, podríamos dibujar una gráfica para el potencial parecida a la siguiente:

Potencial fenomenológico

Esta gráfica la hemos tomado de Nuclear Force de Ruprecht Machleidt (2014), Scholarpedia, 9(1):30710.

Pero hemos dicho que la fuerza nuclear no es central, así que necesitamos, además, términos tensoriales. Y términos que nos den la dependencia con el espín y con un cierto número cuántico llamado isospin, del que también se sabe que depende la interacción. En total, nos sale un potencial con 12 ó más términos. Y las ecuaciones no pueden resolverse exactamente, sólo numéricamente, y para átomos de hasta un cierto número de nucleones.

Una expresión para el potencial fenomenológico sería:

$\begin{array}{lcll} V & = & V_C + \vec{\tau}_1 \cdot \vec{\tau}_2 \, W_C & \mathbf{central} \\ & + & \left[ V_S + \vec{\tau}_1 \cdot \vec{\tau}_2 W_S \right] \vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\sigma}_2 & \mathbf{spin-spin} \\ & + & \left[ V_{LS} + \vec{\tau}_1 \cdot \vec{\tau}_2 W_{LS} \right] \vec{L} \cdot \vec{S} & \mathbf{spin-orbit} \\ & + & \left[ V_T +\vec{\tau}_1 \cdot \vec{\tau}_2 W_T \right] S_{12}(\hat{r}) & \mathbf{tensor} \\ & + & \left[ V_{\sigma L} + \vec{\tau}_1 \cdot \vec{\tau}_2 W_{\sigma L} \right] Q_{12} & \mathbf{\sigma -L} \\ & + & \left[ V_{\sigma p} + \vec{\tau}_1 \cdot \vec{\tau}_2 W_{\sigma p} \right] \vec{\sigma}_1 \cdot \vec{p} \, \vec{\sigma}_2 \cdot \vec{p} & \mathbf{\sigma -p} \end{array}$

donde

$S_{12}(\hat{r}) = 3\vec{\sigma}_1 \cdot \hat{r} \vec{\sigma}_2 \cdot \hat{r} - \vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\sigma}_2$

$Q_{12} = \frac{1}{2} \left[\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{L} \, \vec{\sigma}_2 \cdot \vec{L} + \vec{\sigma}_2 \cdot \vec{L} \, \vec{\sigma}_1 \cdot \vec{L} \right]$

siendo $\vec{r}=\vec{r}_1-\vec{r}_2$ el vector de posición relativo, $\hat{r}$ un vector unitario en la dirección de $\vec{r}$ , $\vec{p}=\frac{1}{2}\left(\vec{p}_1-\vec{p}_2\right)$ la cantidad de movimiento relativa, $\vec{L}=\vec{L}_1+\vec{L}_2$ el momento angular orbital total y $\vec{S}= \frac{1}{2} \left(\vec{\sigma}_1+\vec{\sigma}_2\right)$ el espín total.

Como un núcleo real es una estructura tan compleja, necesitamos idealizaciones (modelos) que hagan el problema más accesible matemáticamente hablando, pero que nos proporcione resultados con significado físico y que se aproximen a los resultados experimentales.

Si no cumple estas condiciones, nuestra idealización no sirve como modelo.

Veamos algunos modelos simples utilizados.

MODELO DE LA GOTA LÍQUIDA

Fue elaborado por primera vez en detalle por Niels Bohr en 1936. Es el modelo más simple y describe el núcleo como una colección fuertemente empaquetada de partículas muy parecidas a una gota de líquido, donde las partículas apenas tienen espacio entre ellas y donde la densidad es virtualmente igual en todas partes y existe una aguda superficie fronteriza. Es decir, el modelo supone que el núcleo tiene un comportamiento similar al de una gota de líquido incompresible. Los nucleones en el núcleo jugarían el mismo papel que las moléculas de la gota. Funciona con propiedades como el tamaño nuclear y predice la estabilidad de los núcleos.

Existen otros modelos como el modelo del gas de Fermi, el modelo vibracional, el modelo rotacional o el modelo unificado. Pero otro modelo bastante utilizado del núcleo es el modelo de capas. Tratemos sobre él.

MODELO DE CAPAS

Es un caso particular de otro modelo, el llamado modelo de partícula independiente, cuya hipótesis básica es que todos los nucleones, excepto uno, están apareados y las propiedades nucleares vienen determinadas por el nucleón desapareado. Es decir, describe a los nucleones en interior del núcleo, al igual que los electrones que lo rodean, ocupando capas y subcapas, cada una de ellas afectando a las demás sólo levemente.

Por analogía con la situación en las capas electrónicas del átomo se supone que los núcleos con capas exteriores nucleónicas llenas deberían ser más estables que los que no tienen ocupadas las capas exteriores. La teoría más sencilla se indicaba que los núcleos con 2, 8, 20, 40, 70 o 112 protones o neutrones serían estables. Sin embargo, ello no encajaba con la observación. La física Maria Goeppert Mayer tuvo en cuenta el espín de protones y neutrones y encontró que los núcleos con 2, 8, 20, 28, 50, 82 o 126 protones o neutrones serían particularmente estables. Los núcleos con 28 o 40 protones serían aún mucho más estables. Esto sí concordaba con las observaciones experimentales. Los átomos con una diferencia en el número de nucleones de tan solo uno, ya no son tan estables. De ahí que a estos números se les llame mágicos.

Los núcleos como el helio 4, el oxígeno 16 y el calcio 40 son doblemente mágicos. Todos especialmente estables y más abundantes en el universo que otros núcleos de tamaño similar.

En el modelo de capas se describen las propiedades nucleares a partir de la interacción de un nucleón con un potencial efectivo. Es decir, no consideramos las interacciones nucleón-nucleón, sino la interacción de un solo nucleón con un potencial generado por el resto de nucleones.

Con un modelo tan simple, ¿se puede aproximar el núcleo atómico?

La respuesta es sí. Para casi todos los núcleos con A impar en estado fundamental (estado de energía más bajo) el modelo proporciona resultados que concuerdan con los valores experimentales para propiedades como, por ejemplo, el espín, y resultados aproximados para otras propiedades como el momento dipolar magnético y el momento cuadrupolar eléctrico. Además, se puede emplear para calcular la probabilidad de transición entre distintos estados del núcleo.

Hemos dicho que se considera la interacción de un sólo nucleón con un potencial medio que representa la ligadura nuclear. O sea, que tenemos que resolver:

$\hat{H}\Psi = E\Psi$

con $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2\mu}+V$

donde $V$ es un potencial que no sabemos que expresión tiene. Entonces ¿qué hacemos? Pues vamos a probar con potenciales que tengan solución conocida de la ecuación de Schrödinger y comparar los resultados con lo que sale experimentalmente.

El más simple con solución conocida es el pozo esférico infinito:

$V(r) = \left\{ \begin{array}{ll} -V_{0} & 0\leq r\leq R \\ \infty & r \geq R \end{array}\right.$

Pero con este potencial se reproducen los resultados experimentales de tan sólo los átomos con números mágicos 2, 8 y 20. Para el resto no hay concordancia entre valores teóricos y experimentales.

Podríamos intentarlo con el oscilador armónico:

$V(r) = \frac{1}{2}\mu\omega^2$

Con este potencial se reproducen resultados para los átomos con los mismos números mágicos que en el caso anterior. Sería un potencial más acorde a la realidad, ya que no presenta la subida brusca del pozo infinito, pero sigue teniendo alguno de sus inconvenientes. Por ejemplo, con ambos potenciales la energía de separación del protón o del neutrón es infinita. Es decir, no sería posible romper un núcleo. Y sabemos que sí lo es.

Por otra parte, al hamiltoniano del sistema hay que añadirle un término de interacción espín-órbita. ¿Y esto qué es? Pues es un término que depende de los valores del espín y, a la vez, de los valores del momento angular de las partículas. Y hay que incluirlo porque, como hemos dicho, la fuerza nuclear y, por tanto, la interacción nucleón-nucleón depende del espín. Y si depende tiene que aparecer en la fórmula.

Hay un potencial, llamado de Saxon- Woods, al que le podemos añadir el término de interacción espín-órbita, con el que obtenemos una solución para la ecuación de Schrödinger con unos niveles de energía que cuadran con todos los números mágicos. El potencial de Saxon-Woods puede escribirse como:

$V(r)=- \frac{V_0}{1+e^{(r-R)/t}}$

donde $V_0$ y $t$ son parámetros y $R=R_0A^{1/3}$ es el radio nuclear, con $A$ el número másico.

El esquema de niveles de energía que se obtiene es el siguiente:

En cada capa caben 2j+1 nucleones. Y se puede observar cómo en la distribución de niveles aparecen distanciadas las capas completas que reproducen los números mágicos. Bueno, la verdad es que en algunos casos hay que imaginar un poquito.

Y con esto, se pueden predecir los valores del espín-paridad del estado fundamental de los núcleos con A impar. El espín del núcleo $J$ será el de la capa en que se encuentra el nucleón aislado. Y la paridad $P$ quedará definida por el momento orbital de dicha capa.

Veamos un ejemplo.

Supongamos que tenemos un átomo de $^{41}_{20}Ca$ . Como el número de protones es par, no hay ningún protón desapareado. Pero A es igual a 41, luego el número de neutrones es 21 y tenemos un neutrón desapareado. El desapareado será el último neutrón, el 21. Vamos rellenando capas usando la gráfica anterior. Vemos que el último neutrón queda en el nivel $1f_{\frac{7}{2}}$ . Y que la paridad $(-1)^l$ es, por tanto, -1. Por tanto, $J^P=\frac{7}{2}^-$