La Subsuma

Pensemos en los números naturales y la relación existente entre la operación producto y la operación suma. 

El producto de dos números 

 es igual a la suma de X, Y veces, o la suma de Y, X veces. 

Es decir, por ejemplo 

 .

Escrito de forma general, si X e Y son dos números naturales, podemos decir que

  .

A pesar de esta relación, el producto es una operación independiente por razones matemáticas que no vienen al caso (por ejemplo, el conjunto de los números naturales con la operación suma es un conjunto decidible, no en cambio el conjunto de los naturales con la suma y el producto).

Pues bien, con esta relación en mente, vamos a investigar otro tipo de operación, si es que podemos llamarla así (esta es una de las cosas que tendremos que averiguar), la cual llamaremos "subsuma"; se va a tratar de buscar una operación más básica que la suma, cuyo símbolo será un &, tal que como definición inicial diremos que sumar dos números naturales  , es igual a subsumar X, Y veces, o subsumar Y, X veces.

Es decir, por ejemplo 

Escrito de forma general 

 .

Otro ejemplo: 

Vean que la relación entre la suma y la subsuma sería equivalente a la de la multiplicación con la suma, pero a partir de ahora hay cosas que tendremos que averiguar en nuestro pasatiempo.

Lo que tenemos que hacer en nuestro pasatiempo es ver con qué regla podemos solucionar cualquier subsuma, es decir ¿a qué es igual X & Y?

Fijémonos que con la definición que hemos dado hasta ahora, sabemos cuál es la subsuma de un número por sí mismo, es decir,  de la misma forma,  ; por ejemplo,  , y  . Pero ¿cuánto es, por ejemplo,  ?

Esto es lo que tendremos que averiguar tirando del hilo de lo que sabemos.

Obviamente, se preguntarán si es lícito utilizar otra operación, es decir, si será válido, para encontrar la función “&” de dos números naturales (de X e Y), o una formula para X & Y,  usar otras operaciones como la suma, o el producto; por supuesto no estamos aquí para ser matemáticos rigurosos si no para divertirnos investigando, podemos usar lo que queramos siempre y cuando descubramos algo nuevo en el camino y no caigamos en circularidad.

En la solución que adjunto, yo he evitado usarlas y he tirado de la función Sucesor, la cual es aquella tal que  para un conjunto ordenado, nos ofrece el siguiente de cada elemento, por ejemplo para el número 1 dentro de los números naturales,  , ya que 2 es el siguiente en este conjunto. 

Usando la suma: 

Es importante investigar si esta operación podría tener la propiedad conmutativa , asociativa    o distributiva respecto a la suma  . 

Así como investigar qué relación tendría con el cero, ya que según lo que propongamos o descubramos, podremos llegar a distintas conclusiones.

Un plus sería ver si la operación tiene elemento neutro, elemento simétrico,

 u operación inversa.

Pues nada, a divertirse con las neuronas, que es gratis.

SOLUCIÓN

Una de las cosas que mola de esta “operación”, y tal vez os hayáis dado cuenta, 

es que en sí misma, puede ser la propia función sucesor, aunque con algunos rasgos curiosos.

Como ya he comentado podrían plantearse varias soluciones dependiendo de cómo tratemos el número cero patatero, o si partimos de que es conmutativa o no, asociativa o no...etc. 

Aquí expongo la que a mí me ha parecido más razonable.

Sea "S" la función sucesor en los números naturales. 

Defino la función Subsuma   de dos números naturales X, Y (pueden ser perfectamente cero)   como:

Por lo tanto  ya que es el sucesor del número mayor de los subsumandos, el cual es 9 y .

Tiene propiedad conmutativa, pero no tiene propiedad asociativa, por ejemplo , en cambio  , y respecto a la suma sí es distributiva 

 .

No tiene elemento neutro  , y por lo tanto no tiene simétrico. Operación inversa podría tener, pero no es unívoca.

 ¿Cómo he llegado a esta conclusión?

Bien, según la definición inicial observamos que 1 & 1 = 3,  2 & 2 = 4, 3 & 3 = 5, 4 & 4 = 6...etc. 

Es decir  y por lo tanto  o sea, que tiene propiedad distributiva con la suma pues es lo mismo que si hubiera sumado uno a los dos lados de la ecuación 

 .

Partiendo pues de que tiene esta propiedad distributiva, me he preguntado a qué es igual 

1 + 1 sería igual a 1 subsumado una sola vez, ¿1+1=1? 

No, falta poner el cero, es decir 1 + 1 = 1 & 0=  2.

 No podemos obviar el cero, como con la operación suma, pues el cero NO es elemento neutro de la subsuma, y por lo tanto ha de estar presente en las ecuaciones, esto es muy interesante y poco intuitivo; es importante darse cuenta que en la operación suma (+) de toda la vida, nunca escribimos el cero, no ponemos X+0 en las ecuaciones, pues X+0=X. 

Podemos decir que el producto de dos números, por ejemplo 1*1, es igual a 1 sumado una sola vez, es decir 1*1= 1. 

Ahora bien, en el caso de la subsuma SÍ debemos poner el cero 1+1= 1&0, porque el cero NO es elemento neutro, y podríamos llegar a conclusiones paradójicas en la solución de ecuaciones, podríamos encontrarnos con que 1=2, cuando lo que realmente quiere decir es que  1 & 0 = 2.

Sigamos. 

Partiendo de que 1 & 0 = 2, si sumo 1 a cada lado de la ecuación, tengo que 2 & 1 = 3, y si vuelvo a sumar 1 a cada lado, 3 & 2 = 4…etc.

Si parto de que 2 & 0 = 3 entonces veo que 3 & 1 = 4, 4 & 2 = 5…etc.

En general como  , entonces 

 .

De forma trivial se llega pues a la definición hecha al principio.

Volvamos al detalle de que  ; para no usar la suma, mejor decimos que es decir, esta operación me da el siguiente de cada número de forma gratuita, sin sumas, 

¡¡es una operación sucesor!! ¿no es maravilloso?

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