Por un fallo técnico en su página web, la Unión Matemática Internacional (IMU) ha desvelado hoy de forma anticipada los ganadores de las Medallas Fields de 2014. La sorpresa para muchos es que ha sido galardonada, por primera vez en la historia, una mujer: Maryam Mirzakhani, nacida en Irán, profesora de la Universidad de Stanford, California. Recordarás que yo lo predije en “¿Ganará una mujer una Medalla Fields en el ICM 2014 en Seúl?,” LCMF, 18 Jul 2014.
Junto a Maryam también han sido galardonados Artur Ávila, brasileño-francés que trabaja en el Instituto de Matemáticas de Jussieu, París, Manjul Bhargava, canadiense-americano que trabaja en la Universidad de Princeton, Nueva Jersey, y Martin Hairer, austríaco afiliado a la Universidad de Warwick, Reino Unido. Los tres aparecen entre los cinco candidatos que destaqué en mi entrada (LCMF, 18 Jul 2014).
El Premio Nevanlinna ha sido otorgado a Subhash Khot, Universidad de Nueva York y el Premio Gauss a Stanley Osher, Universidad de California en Los Angeles.
Más información en Philip Ball, “Iranian is first woman to nab highest prize in maths,”Nature News, 12 Aug 2014; Erica Klarreich, “Maryam Mirzakhani: A Tenacious Explorer of Abstract Surfaces,” Quanta Magazine, 12 Aug 2014; Thomas Lin, Erica Klarreich, “Artur Avila: A Brazilian Wunderkind Who Calms Chaos,” QM, 12 Aug 2014; Erica Klarreich, “Manjul Bhargava: The Musical, Magical Number Theorist,” QM, 12 Aug 2014; Natalie Wolchover, “Martin Hairer: In Noisy Equations, One Who Heard Music,” QM, 12 Aug 2014; Thomas Lin, Erica Klarreich, “Subhash Khot: A Grand Vision for the Impossible,” QM, 12 Aug 2014.
Todos los galardonados con la Medalla Fields 2014 son matemáticos con obras corales, que algunos calificarían de monumentales, siendo difícil encontrar un resultado único que brille sobre todos los demás. Permíteme un breve repaso de la vida y obra de los galardonados, con énfasis en Maryam (ya que aparece en el titular) y en Ávila (por ser el primer sudamericano que obtiene este galardón).
Maryam Mirzakhani trabaja en superficies hiperbólicas, espacios de moduli y sistemas dinámicos, campos en los que muestra “una ambición audaz” según su director de tesis Curtis McMullen (Universidad de Harvard).
Entre sus trabajos recientes cabe destacar Alex Eskin, Maryam Mirzakhani, “Invariant and stationary measures for the SL(2,R) action on Moduli space,” arXiv:1302.3320[math.DS] (172 pp), donde junto a Alex Eskin, Universidad de Chicago, estudia los billares racionales mediante espacios de moduli. Un billar racional es un polígono no convexo cuyos ángulos son números racionales en el que estudia la dinámica de los rebotes de una bola puntual. Asociado al billar hay una superficie hiperbólica cuyos espacios de moduli caracterizan las posibles trayectorias.
En 2003, McMullen estudió los billares racionales cuya superficie asociada es de género dos (que tienen dos agujeros como dos dónuts unidos). Entre 2012 y 2013, Mirzakhani y Eskin, junto a Amir Mohammadi, Universidad de Texas en Austin, han logrado generalizar el resultado de McMullen a todas las superficies de con más de dos agujeros.
Mirzakhani creció en Teherán (Irán) y le tocó vivir la guerra entre Irán e Irak. En 1994, con 17 años, fue miembro del equipo iraní que participó en las Olimpiada Internacional de Matemáticas ganando una Medalla de Oro (junto con otros 29 estudiantes); su puntuación fue de 41 puntos, cuando hubo 22 estudiantes con la puntuación máxima de 42 puntos. En 1995, repitió su logro obteniendo la puntuación máxima de 42 puntos (junto con otros 14 estudiantes).
Se licenció en matemáticas en la Universidad de Sharif, Teherán, en 1999, y realizó sus estudios de doctorado en la Universidad de Harvard, donde conoció a su director de tesis doctoral, experto en geometría hiperbólica. El número de curvas geodésicas cerradas en una superficie hiperbólica crece de forma exponencial en función de su longitud. Se llaman geodésicas simples a las que no se cortan a sí mismas. En 2004 la tesis doctoral de Mirzakhani presentó una fórmula para estimar cómo crece el número de geodésicas simples en una superficie hiperbólica en función de su longitud (Maryam Mirzakhani, “Growth of the number of simple closed geodesics on hyperbolic surfaces,” Annals of Mathematics, 168: 97-125, 2008).
En su tesis doctoral también obtuvo una nueva demostración de una conjetura del físico Edward Witten, Instituto de Estudio Avanzado de Princeton, Nueva Jersey, sobre el espacio de moduli (cuya primera demostración fue obtenida por Maxim Kontsevich, Institut des Hautes Études Scientifiques, París, quien fue galardonado con la Medalla Fields en 1998, en parte, por dicho trabajo).
Mirzakhani se describe a sí misma como lenta, pero constante. Necesita masticar los resultados durante años. Ella piensa las matemáticas con imágenes y enfoca los problemas difíciles garabateando en grandes hojas de papel. “Cuando una piensa en un problema matemático difícil y no quiere anotar todos los detalles dibujar garabatos ayuda a mantenerse conectado al problema,” dice Mirzakhani.
Artur Ávila nació en Río de Janeiro, Brasil, siendo el primer brasileño que recibe la Medalla Fields, aunque tiene doble nacionalidad (también es francés). Como director de investigación en el CNRS francés (equivalente al CSIC en España), pasa la mitad del año en París y la otra mitad en el IMPA (Instituto de Matemáticas Puras y Aplicadas) de Río de Janeiro. Su obra coral (60 artículos en arXiv) presenta gran número de resultados profundos en diferentes temas relacionados con sistemas dinámicos y teoría del caos (campo de gran tradición en el IMPA). Al contrario que Mirzakhani, Ávila es un matemático rápido y acostumbrado al trabajo colaborativo.
El comportamiento caótico se suele ilustrar con la ecuación logística xn+1=r xn (1-xn), para 0≤x0≤1 y 0≤r≤4, que tras múltiples bifurcaciones de periodo dos presenta caos para r ≈ 3,56995; además, presenta regiones sin caos (islas de estabilidad) con periodo impar, lo que llevó al famoso teorema “periodo tres implica caos” (Tien-Yien Li, James A. Yorke, “Period Three Implies Chaos,” The American Mathematical Monthly 82: 985-992, 1975). Este tipo de ecuaciones se llaman aplicaciones unimodales (aunque a veces se usa el anglicismo mapas unimodales).
Ávila, junto a su director de tesis Welington de Melo y el famoso Mikhail Lyubich, Universidad de Stony Brook en Long Island, demostraron en 2003 de forma rigurosa que las islas de estabilidad aparecen en una clase muy amplia de aplicaciones unimodales (una famosa conjetura derivada del trabajo de Li y Yorke): A. Avila, M. Lyubich, W. de Melo, “Regular or stochastic dynamics in real analytic families of unimodal maps,” Inventiones Mathematicae 154: 451-550, 2003; PDF en IMPA.
La herramienta desarrollada por Ávila para estudiar las aplicaciones unimodales se llama renormalización y la ha aplicado a otros sistemas dinámicos. Destaca su estudio de los autovalores para operadores de Schrödinger cuasiperiódicos (un+1+un−1+v(n α)un=E un, donde E es el autovalor, v es una función potencial y α es una frecuencia), que son modelos muy simplificados (toy models) de cuasicristales. Ávila resolvió el problema de los diez martinis (Artur Avila, Svetlana Jitomirskaya, “The Ten Martini Problem,”arXiv:math/0503363 [math.DS]).
Brasil será la sede de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 2017 y del Congreso Internacional de Matemáticos de 2018, donde se anunciarán los próximos medallistas Fields. Sin lugar a dudas las matemáticas en Brasil recibirán un gran ímpetu en los próximos años gracias a Artur Ávila, toda una celebridad en su país. ¿Ganará algún otro brasileño la medalla Fields en 2018? Candidatos hay.
Manjul Bhargava, profesor en la Universidad de Princeton, tuvo como director de tesis doctoral a Andrew John Wiles (Univ. Princeton), famoso por demostrar el Último Teorema de Fermat usando la teoría de curvas elípticas. Defendió en 2001 su tesis sobre leyes de composición para formas cuadráticas (campo que inició Gauss). Según Bhargava se inspiró jugando con un cubo de Rubik de 2×2×2. Luego extendió estos resultados a formas cúbicas inspirado por el Dominó de Rubik de 2×3×3.
En la actualidad trabaja en curvas elípticas (que tienen importantes aplicaciones en criptografía) donde ha realizado importantes contribuciones. Con Arul Shankar, postdoc en la Univ. Harvard, Bhargava ha demostrado que más del 20% de las curvas elípticas tiene exactamente una solución racional. Con Christopher Skinner, Univ. Princeton, y Wei Zhang, Univ. Columbia, Bhargava ha demostrado que al menos el 20% de las curvas elípticas tienen un conjunto infinito de soluciones racionales de “rango 1″ y que más del 66% de las curvas elípticas cumple con la famosa conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (uno de los premios del milenio del Instituto Clay de Matemáticas dotado con un millón de dólares). El artículo técnico es Manjul Bhargava, Christopher Skinner, Wei Zhang, “A majority of elliptic curves over Q satisfy the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture,”arXiv:1407.1826 [math.NT].
Martin Hairer trabaja en análisis estocástico, donde ha logrado grandes resultados, como su reciente trabajo “A theory of regularity structures,” arXiv:1303.5113 [math.AP]. Las ecuaciones en derivadas parciales para procesos estocásticos (SPDEs) tienen importantes aplicaciones, como la turbulencia en las ecuaciones de Navier-Stokes o el crecimiento de colonias bacterianas en placas de Petri descrito por la ecuación KPZ (Kardar-Parisi-Zhang).
Hairer ha aplicado técnicas de ondículas (wavelets) para aplicar un análisis de multirresolución a las soluciones de SPDEs. Esta regularización multiescala le permite dominar las soluciones (que son infinitamente irregulares) y obtener una serie que aproxima la distribución probabilística de la solución. Su trabajo es muy técnico pero tiene conexiones con muchas otras ramas de la matemática, como las teorías superrenormalizables en teoría cuántica de campos o la teoría de funciones generalizadas de Colombeau.
Subhash Khot es famoso por proponer en 2002 una conjetura, la de los juegos únicos (Unique Game Conjecture), que ha revolucionado el campo de la complejidad computacional (como en 1971 lo hizo la conjetura P≠NP). Mucha gente pensaba que muchos problemas en los que es difícil obtener una solución exacta podrían tener una solución aproximada que fuera fácil de calcular. Pero la conjetura de Khot afirma todo lo contrario, la mayoría de los problemas difíciles de resolver de forma exacta, son también difíciles de aproximar.
Khot propuso su conjetura para un problema concreto NP-difícil (NP-hard) en grafos llamado VC (por Vertex Coloring), determinar si en un grafo concreto se pueden colorear todos sus vértices con tres colores sin que dos adyacentes tengan el mismo color. Como suele ocurrir en informática teórica, publicó su conjetura (citada más de 500 veces) en las actas de un congreso: Subhash Khot, “On the power of unique 2-prover 1-round games,” STOC ’02 Proceedings of the thiry-fourth annual ACM symposium on Theory of computing, pp. 767 – 775, 2002. Refutar su conjetura requiere inventar un algoritmo eficiente capaz de aproximar la solución de cualquier problema difícil, algo que revolucionará la teoría de la complejidad computacional; por cierto, si P=NP dicho algoritmo existe.
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