domingo, 22 de marzo de 2015

Café matemático... Un conjunto medible que no es boreliano


1º. La escalera de Cantor
Sea C \subseteq [0,1] el conjunto de Cantor.
 La escalera de Cantor es una función f \colon [0,1] \to {\mathbb R} 
que tiene las siguientes propiedades:

  1. f es continua,
  2. f es no decreciente,
  3. f es constante sobre cada intervalo de [0,1] \backslash C,
  4. f ( C ) = [0,1].
cantor
Una forma de construir la escalera de Cantor es considerando una sucesión de funciones (f_n) definidas en el intervalo [0,1] mediante la relación de recurrencia f_0(x)=x,
\displaystyle{ f_{n+1}(x) = \left \{ \begin{array}{rl} f_n(3x)/2, & \text{si } 0 \leq x \leq 1/3, \\ 1/2, & \text{si } 1/3 \leq x \leq 2/3,\\ (1+ f_n(3x-2))/2, & \text{si } 2/3 \leq x \leq 1. \end{array} \right . }
Cantor_function_sequence
Se puede comprobar que la sucesión (f_n) converge uniformemente hacia una función f con las propiedades deseadas.
2º. Existencia de conjuntos no medibles

Se define una relación de equivalencia en {\mathbb R} mediante x \sim y si x-y\in {\mathbb Q}. 

A continuación se elige un representante de cada clase de equivalencia en el intervalo [0,1]. El conjunto V que resulta de esta elección es un conjunto no medible que se llama conjunto de Vitali. Este postcontiene una discusión acerca del conjunto de Vitali. 
Es fácil comprobar que si E \subseteq V es medible entonces m(E)=0.

Se puede suponer sin pérdida de generalidad que A \subseteq [0,1). 
En efecto, como m^\ast(A)>0,existe algún n \in {\mathbb N} tal que m^\ast(A \cap [n,n+1))>0. 
Consideremos el conjunto B=-n+ (A \cap [n,n+1)). 
Tenemos B \subseteq [0,1), y como la medida exterior es invariante por traslaciones, tenemos m^\ast(B) >0. Si E \subseteq B no es medible entonces el trasladado n+E \subseteq A tampoco es medible. 
Sea ahora (r_n) una numeración de {\mathbb Q} \cap [0,1]. 
Sea V_n= r_n + V y sea E_n= V_n \cap A. 
Afirmamos que E_n no es medible para algún n \in {\mathbb N}. 
En efecto, en caso contrario, como E_n es medible, -r_n + E_n es medible, y como -r_n +E_n \subseteq V,se sigue que m(E_n)=m(-r_n+E_n)=0. 
Ahora tenemos
\displaystyle{A = A \cap [0,1) \subseteq A \cap \left ( \bigcup_{n=1}^\infty V_n\right )= \bigcup_{n=1}^\infty A \cap V_n =\bigcup_{n=1}^\infty E_n,}
de donde se deduce que
\displaystyle{m^\ast(A) \leq m^\ast \left ( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right ) \leq \sum_{n=1}^\infty m^\ast(E_n)=0,}
y hemos llegado a una contradicción.
3º. Un conjunto medible que no es boreliano
A continuación probamos la existencia de conjuntos medibles que no son borelianos. Sea f \colon [0,1] \to [0,1] la escalera de Cantor y sea g(x)=f(x)+x.
Proposición.
 g \colon [0,1] \to [0,2] es un homeomorfismo, es decir, g es una biyección continua y su inversa es continua.
Demostración.
 g es inyectiva porque es estrictamente creciente.
 g es sobreyectiva porque g(0)=0, g(1)=2. 
Además, g es continua por ser la suma de dos funciones continuas. 
Sea h = g^{-1} y probemos que h es continua.
 Sea G \subseteq [0,1] abierto y veamos que h^{-1}(G)=g(G)es abierto. 
Tenemos que [0,1] \backslash G es cerrado y acotado, y por lo tanto es compacto. 
Como ges continua, [0,2] \backslash g(G)= g([0,1] \backslash G) es compacto y por lo tanto es cerrado. 
Así llegamos a la conclusión de que h^{-1}(G)=g(G) es abierto.
Proposición.
 m(g ( C ))=1.
Demostración. Como f es constante sobre cada intervalo abierto (a,b) \subseteq [0,1]\backslash C,
resulta que m(g(a),g(b))=g(b)-g(a)=f(b)+b-f(a)-a=b-a. Sea \{I_{n,k}\}_{k=1}^{2^{n-1}} 
la familia de intervalos abiertos que se suprimen en la n-ésima etapa de la construcción del conjunto de Cantor. 
Tenemos
\displaystyle{m([0,2] \backslash g(C))= m(g([0,1]\backslash C)) = m \left ( \bigcup_{n=1}^\infty \bigcup_{k=1}^{2^{n-1}} g(I_{n,k}) \right )}
\displaystyle{=\sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^{2^{n-1}} m(g(I_{n,k})= \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^{2^{n-1}} m(I_{n,k}=m([0,1] \backslash C)=1,}
de donde se deduce que m(g ( C ))=1.
Teorema. 
Existe un conjunto medible A \subseteq [0,1] que no es boreliano.
Demostración. Como m(g ( C ))>0, existe un conjunto no medible E \subseteq g ( C ). 
Sea ahora A = g^{-1}(E). Como A \subseteq C y como m( C )=0, se sigue de la completitud de la medida de Lebesgue que A es medible.
 Afirmamos que A no es boreliano, porque en caso contrario, como h=g^{-1} es continua, h es medible, luego E=h^{-1}(A) es medible, y hemos llegado a una contradicción.
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