Sea n ς N, a un punto ordenado de “n” números reales se le llama punto n-dimensional vector de “n” componentes, y aquí los denotaremos por “¬”: ¬x, ¬ y, ¬z. Así pues, ¬x se definiría como: x1, x2, x3,…,xn, y a xk se le denominaría k-ésima componente de ¬x. Al conjunto de todos los puntos n-dimensionales de le llama R^n o Espacio Euclídeo n-dimensional.
Como recordaréis, en este blog he recurrido al Espacio Euclídeo para tratar la Relatividad y la Teoría de Cuerdas.
Si este espacio posee una dimensión decimos que es una recta, si posee dos será un plano, si posee tres será el espacio que se suele tratar en geometría tridimensional, si posee cuatro será el espacio-tiempo (más o menos), si posee cinco podría ser una generación universal, etc (ver “Teoría de los Multiversos”).
Los vectores n-dimensionales de un Espacio Euclídeo cumplen las siguientes propiedades:
- Igualdad: si ¬x = ¬y → x1 = y1; x2 = y2…
- Suma: ¬x + ¬y = (x1 + y1, x2 + y2, …)
- Multiplicación por escalares: a ¬x = (ax1, ax2, …)
- Diferencia: ¬x – ¬y = ¬x + (-1) ¬y.
- Vector nulo u origen: ¬0 = 0, 0, …
- Producto interior o producto escalar: ¬x ¬y = x1 y1 + x2 y2 + …
- Norma o Longitud Euclídea del vector: |¬x| = [¬x ¬x]^½ = [∑(¬x ¬x) desde “i = 1″ hasta “n”]^½
- La distancia entre ¬x e ¬y se define como: |¬x – ¬y|.
El vector coordenado unitario uk ς R^n es el vector cuya componente k-ésima vale 1 y el resto vale 0, y se cumple que:
- ui uj = 0 si i ≠ j.
, pero:
- ui uj = 1 si i = j.
Sean “x” e “y” ς R^n, y sea a ς R:
- |a ¬x| = |a| |¬x|
- |¬x – ¬y| = |¬y – ¬x|
- |¬x ¬y| = |¬x| |¬y|
- |¬x + ¬y| ≤ |¬x| + |¬y|. Ésta última es la Desigualdad de Minkowski.
Espacio de Banach:
Es un espacio vectorial “M” sobre un cuerpo “K” que está dotado de una función de “M” en “K”, y que satisface las siguientes propiedades, siendo “x” e “y” ς M:
- |¬x| > 0 y |¬x| = 0 ↔¬x = ¬0.
- |a ¬x| = |a| |¬x|, si a ς K.
- |¬x + ¬y| ≤ |¬x| + |¬y|.
Espacio Métrico:
Un conjunto M ≠ 0 de objetos dotado de una función d (M, M), denominada métrica del espacio, que satisface:
- Si x ≠ y →, ó d(x, y) > 0, ó d(x, y) = 0.
- d(x, y) = d(y, x).
- d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z).
Sea ¬a ς R y sea r ς R // r > 0, se define Bola Abierta de centro ¬a y radio “r” al conjunto de puntos // d(r, a) < r: B (¬a, r). En una dimensión:
- B (¬a, r) = (a – r, a + r) = x ς R // a – r < x < a + r.
, y en dos dimensiones:
- B (¬a, r) = x1, x2 ς R // (x1 – a1)^2 + (x2 – a2)^2 < r.
Sea S ς R^n y sea ¬a ς S → ¬a se denomina Punto Interiorde “S” si existe una Bola Abierta centrada en ¬a y contenida en “S”.
Sea S ς R^n, el Interior de “S” es el conjunto de todos los Puntos Interiores:
- Sº = S.
Sea S ς R^n, “S” es un Conjunto Abierto si:
- S = Sº.
Un espacio topológico “X” es un conjunto de objetos junto con una colección de subconjuntos de “X” que vamos a denotar por “Y” = Xα, satisfaciones que:
- El vacío pertenece a Y
- X ς Y
- La unión de una subcolección arbitraria de “Y” pertenece a “Y”.
- La intersección de una colección infinita de elementos de “Y” pertenece a “Y”.
- A los elementos de “Y” se les llama Conjuntos Abiertos.
R^n es un Espacio Topológico → La unión de una colección arbitraria de Abiertos de R^n es un Abierto, y la intersección de los mismos es finita.
Un conjunto S ς R es Cerrado si su complementario es Abierto.
La unión de una colección finita de conjuntos cerrados es cerrada, al igual que la intersección de una colección arbitraria de conjuntos cerrados.
Sea S ς R^n y sea ¬x ς R^n, se dice que ¬x es Adherente a “S” si toda Bola Cerrada en ¬x contiene al menos un punto de “S”.
- AdhS = S¯.
Al conjunto de todos los puntos Adherentes se le llama Adherencia.
Sea S ς R^n sea ¬x ς R^n, se dice que ¬x es un Punto de Acumulación de “S” si cada Bola B(x) contiene por lo menos un punto de “S” distinto de ¬x.
Al conjunto de todos los Puntos de Acumulación se le llama Conjunto Derivado.
Sea ¬x un conjunto de acumulación de S ς R^n → cada Bola B (x) tiene infinitos puntos de “S”.
Si un conjunto tiene un Punto de Acumulación, es conjunto es infinito.
Sea “S” un conjunto de R^n → “S” es cerrado si S¯ ς S.
Teorema de Encaje de Cantor:
Sean Q1, Q2… una colección de R^n numerable de conjuntos no vacíos tales que Qk+1 ς Qk, y que cada uno de los Qk es cerrado y Q1 acotado → Una colección “F” de conjuntos se denomina Recubrimiento de un conjunto S ς R^n si S ς unión de los conjuntos.
Teorema del Recubrimiento de Linde Löf:
Sea S ς R^n y “F” un Recubrimiento Abierto de “S” →Existe una subcolección numerable que también recubre a “S”.
Teorema de Heine-Borel:
Sea S ς R^n cerrado y acotado, y sea “F” un Recubrimiento Abierto de “S” → Existe una subcolección numerable que también recubre a “S”.
Sea S ς R^n, se dice que “S” es conjunto si todo Recubrimiento Abierto de “S” contine un Recubrimiento finito.
Sea S ς R^n, “S” es Compacto → “S” es Cerrado y acotado.
Sea S ς R^n, y ¬x ς R^n →¬x es un Punto frontera de “S” si cada Bola centrada en el punto ¬x contiene al menos un punto de “S” y un punto de R^n – S:
- FronS = S¯ – Sº.
