El condensado de Bose-Einstein — V

En esta entrada encontraremos el primer paso en el camino que se siguió hasta proponer la existencia del condensado.  

Hemos de tener en cuenta que muchos de los conceptos que hemos introducido en nuestra discusión del tema aún no se conocían en la época en la que fue predicho el fenómeno en cuestión, dichos conceptos estaban siendo desarrollados en paralelo. 

 Este hecho no hace más que aumentar el mito de algunos científicos que se aventuraron por caminos desconocidos que les presentaban fenómeno y hechos teóricos que se enfrentaban frontalmente con todo lo que creían y todo lo que creían saber.

Al principio fue el cuerpo negro

Cualquier aficionado o estudiante de la cuántica tiene interiorizado que el nacimiento de dicha teoría está indisolublemente ligado al estudio del cuerpo negro y principalmente al trabajo que hizo sobre él Max Planck.

Como sabemos la luz blanca se puede descomponer en distintas componentes a distintos colores.  La luz blanca no es más que luces de todos los colores (diferentes longitudes de onda de las ondas electromagnéticas asociadas).

Así cuando iluminamos un objeto y lo vemos de un determinado color, pongamos por ejemplo color rojo, lo que ocurre es que dicho objeto está absorbiendo todas las longitudes de onda que no son rojo y reflejando la longitud de onda correspondiente al rojo. 

Así de simple.

¿Cuándo decimos que un cuerpo es negro?  Pues siguiendo la lógica anterior cuando absorba todas las longitudes de onda y no refleje ninguna.

Pero el cuerpo negro es algo más que eso, es un sistema ideal en física que se aproxima por cuerpos incandescentes, estrellas y el propio universo (la radiación cósmica de fondo).  Decimos que tenemos un cuerpo negro cuando dicho cuerpo absorbe toda la radiación incidente y emite radiación en cualquier longitud de onda en función de su temperatura.

Es decir:

• Todo cuerpo por estar a una temperatura emite radiación electromagnética.  
• Dicha radiación tiene unas características, como la densidad de energía en función de la frecuencia y la temperatura o la densidad de energía total radiada, que dependen de la temperatura del cuerpo.
• Si el cuerpo negro absorbe toda la radiación que le llega pero también emite en función de la temperatura si hacemos una caja con paredes que son cuerpos negros en el interior tendremos un equilibrio entre todo lo que emite y todo lo que absorbe cada una de las paredes.  Todo lo que se emite se absorbe en cualquier longitud de onda.  Por lo tanto en el interior tendremos una densidad de energía.  Eso es lo que queremos determinar.

La maldita joroba

Cuando se hicieron experimentos sobre el cuerpo negro y su energía contenida se llegó a la siguiente curva:

Es decir, en el interior del cuerpo negro que hemos construido no todas las longitudes de onda se producen (absorben-emiten) igualmente.  Hay una longitud de onda cuya contribución a la densidad de energía es máxima.  Es el pico de la joroba que se ve en la imagen. Luego conforme vamos a longitudes de onda más bajas o más altas que las correspondientes contribuciones a la densidad de energía disminuyen.

Pues ya está, estamos a finales del siglo XIX y tenemos a nuestra disposición grandiosas teorías como el electromagnetismo de Maxwell y la termodinámica. Apliquemos estas teorías y deduciremos la forma de la densidad de energía de un cuerpo negro en función de la longitud de onda de la radiación contenida en el mismo.  Eso fue lo que pensaron los científicos de la época. Entre ellos, un tal Wien se puso manos a la obra y llegó a una expresión matemática para dicha densidad en función de la longitud de onda. Desgraciadamente el resultado de Wien basado en las teorías clásicas solo ajustaba bien al resultado experimental para longitudes de onda larga (baja frecuencia). 

 Por su parte, Rayleigh y Jeans encontraron una forma de justificar, basándose en argumentos clásicos también, la curva para bajas longitudes de onda.  

El problema con el planteamiento de Rayleigh-Jeans es que se predice que para longitudes de onda cortas la emisión de energía por parte de un cuerpo negro se dispara hasta infinito, es lo que se conoce como catástrofe ultravioleta.

Conclusión, la física clásica no puede explicar la forma de la densidad de energía del cuerpo negro en función de la longitud de onda o de la frecuencia.  

(Recordemos que en una onda electromagnética la relación entre la longitud de onda  y la frecuencia  es tal que su producto nos da la velocidad de la luz en el vacío ).

Planck y su acto desesperado

Fue Planck el que dio con la fórmula correcta para describir el cuerpo negro.  La fórmula que da lugar a dicha curva en términos de la frecuencia de la radiación es:

La descripción de los términos más importantes de esta fórmula viene en la siguiente figura:

Aquí aparece una constante, h, que no depende del material ni de la configuración del sistema.  Es una constante universal.  A esa constante la conocemos actualmente como constante de Planck.

Para llegar a esta fórmula Planck tuvo que sacrificar algunos de sus perjuicios científicos más arraigados.  A saber:

1. Planck era un experto en termodinámica y especialmente en el concepto de entropía.  Planck renegaba fuertemente contra la interpretación de Boltzmann de la entropía que establecía que no era más que el número (su logaritmo) de las posibles configuraciones de los constituyentes microscópicos de un sistema para dar lugar a un aspecto macroscópico dado.  Por ejemplo, si tenemos un gas a una determinada temperatura, presión y volumen, sus partículas constituyentes se podrán organizar de diferentes formas para dar dichos valores macroscópicos, dicho número es la entropía del sistema en ese estado.
2. Planck creía que el cuerpo negro se podría explicar con la termodinámica y las leyes de Maxwell.  Estas dos teorías habían sido probadas y comprobadas y siempre habían explicado todos los hechos experimentales hasta la fecha de aparición del problema del cuerpo negro.

Pues bien, en 1900, Planck logró dar con la fórmula que hemos presentado modificando la fórmula de Wien.  Esta modificación se la sacó literalmente de la chistera y, dicho sea de paso, acertó de lleno.  Hay una serie de tres artículos donde Planck explicó su trabajo a este respecto:

On the Theory of the Energy Distribution Law of the Normal Spectrum

On an Improvement of Wien’s Equation for the Spectrum

On the Law of the Energy Distribution in the Normal Spectrum

En los dos primeros expone su idea pero sin entrar en detalles.  En el tercero se muestra todo el camino recorrido por Planck para llegar a la fórmula correcta.

¿Qué hizo Planck?

Planck tuvo la genial idea de relacionar la entropía de la radiación en el interior del cuerpo negro con la energía de los constituyentes de las paredes del mismo.  Para Planck las paredes del cuerpo negro estarían formadas por constituyentes elementales que se comportarían como osciladores (esto procede de la teoría clásica de la interacción entre radiación y materia donde los átomos se podrían considerar en algunas circunstancias como dipolos con una carga eléctrica positiva en una zona y la misma carga negativa en otra zona, aún siendo neutros eso haría que pudieran oscilar cuando se encuentran con un campo electromagnético como el que se da en las ondas electromagnéticas).  

Así una pared estaría descrita por N osciladores.  Suponiendo que todos se comportan igual la energía de dicho sistema sería la suma de la energía de cada oscilador :

La energía  debería de ser deducida por la transferencia de la energía de una onda electromagnética del interior del cuerpo negro interactuándo con un constituyente de la pared.  Según la teoría clásica esta energía podría tener cualquier valor. Esto no funcionaba y daba lugar a las fórmulas incorrectas anteriormente descritas.

Así que aquí Planck tuvo que hacer dos cosas que no tuvieron que resultarle nada fácil:

a)  Por un lado tuvo que asumir que la energía de los osciladores no podría ser cualquiera sino que  tendría que poderse expresar como un número por un paquete mínimo de energía del oscilador, un cuanto, que representaremos por .   Así,   donde P es el número de veces que se presenta la energía de un oscilador en la pared del cuerpo negro.  Esta idea de discretizar la energía de los osciladores no tenía ningún fundamento en ese momento.

b)  Por otro lado, y quizás esto fue lo más doloroso para Planck, tuvo que admitir que la entropía se debería de calcular como había dicho Boltzmann, contando las posibles configuraciones de constituyentes microscópicos en el sistema en un estado macroscópico dado.

Para un número N de osciladores y un número P de unidades de energía discreta o cuantos del oscilador, el número de configuraciones, W, sería:

Usando la entropía resultante, , se llega a que la densidad de energía es justamente la que da lugar a la fórmula de Planck para el cuerpo negro.

Pero quizás tendremos que explicar un poco mejor como se calcula W y resaltar algunas cuestiones importantes para nuestro tema.

Supongamos que todo nuestro sistema está compuesto por tres osciladores independientes:

Para simplificar dibujaremos estos osciladores como cajas en las figuras que siguen.

Cada uno de ello tendrá una energía que será , , ,…,.  Lo único que tenemos que tener en cuenta es que la energía total  está fijada y no puede superar .

  Así que supongamos que la energía total es  para simplificar.

Veamos un ejemplo:

¿Cuáles son todas las posibles configuraciones del sistema?

Ahora apliquemos la fórmula para el cálculo de W:

Con nuestros datos N=3 y P=2, y recordando que el factorial de un número n! no es más que el producto descendente desde n hasta 1 en los naturales:

Como vemos esta fórmula da lugar al número de configuraciones que habíamos deducido.  Por supuesto en casos con muchos constituyentes y muchos estados de energía hacerlo por conteo directo no sería muy útil, afortunadamente la combinatoria nos suele echar una mano en estos menesteres.

Resulta que para que esta imagen sea consistente y de el resultado requerido para el cuerpo negro la energía mínima de un oscilador  ha de ser una constante, h, por la frecuencia de la radiación electromagnética considerada,, es decir, .  Así un oscilador solo puede tener múltiplos enteros de esta energía cuando interactúa con la radiación electromagnética.

Detalles ocultos

En todo esto hay dos detalles ocultos que serán esenciales en toda el desarrollo posterior de la cuántica y especialmente para los condensados de Bose-Einstein.

La discretización de la energía

Planck tuvo que introducir que la energía con la que la materia y la radiación (en su suposición de que los constituyentes elementales de las paredes del cuerpo negro actúan como osciladores armónicos independientes) se da en paquetes de energía .

En ningún momento Planck pensó que la propia radiación estaría constituida por paquetes discretos de energía con propiedades que no eran directamente explicables con la teoría electromagnética clásica.  Es decir, esta discretización de la energía solo la aplicó a la transferencia energética entre radiación y materia.

Hoy sabemos que las ondas electromagnéticas, desde el punto de vista cuántico, están formadas por fotones con energía  pero para llegar ahí tenemos que esperar un poco.

Indistinguibilidad

En el cálculo de W que hemos efectuado hay implícita una cuestión muy importante.  Las excitaciones  de un oscilador son indistinguibles entre sí.  ¿Y eso qué quiere decir?

Supongamos que tenemos dos oscilaciones  que por algún motivo las podemos distinguir (tan solo vamos a imaginarlo).  Entonces sería posible tener en el ejemplo anterior para el cálculo de W la siguiente situación:

Si las excitaciones de energía de los osciladores pudieran distinguirse esas dos configuraciones serían distintas y las tendríamos que contar por separado. Eso cambiaría nuestro cálculo de W.

Es fácil hacer una tabla con las posibles configuraciones teniendo dos excitaciones de energía distinguibles, el número W saldrá mayor que 6.  Volveremos a esto más adelante.

En lo que sigue iremos profundizando en la historia que condujo a la propuesta de existencia del condensado de Bose-Einstein y sus realizaciones experimentales.

Nos seguimos leyendo…