El condensado de Bose-Einstein — VII

La incomodidad de Bose

Bose se disponía a explicar la radiación del cuerpo negro ideal a sus estudiantes en la universidad de Dakha (India) pero detectó una incómoda situación.

Lo que molestaba a Bose era el punto que señalamos en la anterior entrada (VI) de esta serie sobre que el resultado para la energía de la radiación cuerpo negro asumía en algunos pasos ideas procedentes de la física clásica.  Sin embargo, el propio resultado mostraba que toda la historia era incompatible con  la física clásica.

Es decir, para llegar al resultado que servía para explicar el cuerpo negro se introducían argumentos, como el de la discretización de la energía, que no se podían explicar de forma clásica mezclados con ideas de la termodinámica y el electromagnetismo clásico.  Este choque de ideas perturbaba a Bose quien se propuso encontrar una derivación de la energía de la radiación de cuerpo negro sin recurrir a argumentos clásicos en ningún paso.

Lo que Bose quería hacer, y que nadie había hecho, era deducir esta fórmula basándose en las siguientes ideas:

1.-  Entender la energía de la radiación sin recurrir a la interacción entre materia y radiación como había hecho Planck.

2.-  Usar la idea de que la radiación se podía entender como paquetes de energía tal y como había demostrado Einstein.

3.-  No usar en ningún momento ni la fórmula de Wien ni la de Rayleigh-Jeans para ajustar parámetros en el modelo, ya que estas fórmulas eran clásicas en su derivación.

El trabajo en el que Bose hizo todo eso es:

Planck’s law and the hypothesis of light quanta

Idas y venidas de un artículo

El artículo fue escrito en inglés y enviado a la prestigiosa revista Philosophical Magazine.  El artículo fue rechazado. Pero Bose no se amilanó y envió el artículo a Einstein con una carta adjunta:

Respected Sir, I have ventured to send you the accompanying article for your perusal and opinion. I am anxious to know what you think of it. You will see that I have tried to deduce the coefficient 8π ν2/c3 in Planck’s Law independent of classical electrodynamics, only assuming that the ultimate elementary region in the phase-space has the contenth3. I do not know sufficient German to translate the paper. If you think the paper worth publication I shall be grateful if you arrange for its publication in Zeitschrift für Physik. Though a complete stranger to you, I do not feel any hesitation in making such a request. Because we are all your pupils though profiting only by your teachings through your writings. I do not know whether you still remember that somebody from Calcutta asked your permission to translate your papers on Relativity in English. You acceded to the request. The book has since been published. I was the one who translated your paper on Generalised Relativity.

Respetado Señor,  Me atrevo a enviarle el artículo adjunto para su atenta lectura y opinión. Estoy ansioso por saber lo que opina del mismo. Como observará he intentado reproducir el coeficiente8π ν2/c3 en la ley de Planck de forma independiente de la electrodinámica clásica tan solo asumiendo que la región más del espacio de fases tiene un volumen de h³.  Yo no domino el suficiente alemán para traducir el artículo. Si usted piensa que el trabajo merece ser publicado, estaría inmensamente agradecido si propiciara su publicación en Zeitschrift für Physik. Aunque soy un total desconocido para usted no tengo ningún problema en hacer esta petición.  Dado que todos somos sus pupilos aunque solo tengamos la oportunidad de obtener sus enseñanzas a través de sus escritos.  No sé si usted recuerda a quien desde Calcuta le pidió permiso para traducir sus trabajos sobre relatividad al inglés.  Usted aceptó esta petición. El libro fue editado.

Yo fui el que tradujo su trabajo acerca de la relatividad generalizada.

Einstein quedó encantado con el tratamiento y tradujo y mandó a publicar el trabajo en la prestigiosa publicación alemana mencionada.  Es más, añadió un comentario al artículo:

Comment of translator. Bose’s derivation of Planck’s formula appears to me to be an important step forward. The method used here gives also the quantum theory of an ideal gas, as I shall show elsewhere. [A. Einstein]

Comentario del traductor.  La derivación de Bose de la fórmula de Planck me parece un importante paso adelante.  El método usado aquí también da cuenta de la teoría cuántica de un gas ideal, como mostraré en otro trabajo.

¿Qué hizo Bose?

Como hemos comentado Bose fue capaz de deducir la fórmula de Planck sin más que aplicar ideas cuánticas (la radiación estaba compuesta por paquetes de energía de valor .  Haciendo uso de ideas estadísticas y combinatorias fue capaz de encontrar el factor que antes solo se podía obtener forzando el formalismo clásico de forma antinatural para dar cuenta de la energía de la radiación de un cuerpo negro.

En el trabajo señalado en el enlace puesto más arriba está toda la deducción de Bose.  Esta deducción, aunque es estándar aún hoy y es la que aprenden los estudiantes de física, es un poco abstracta.  Permitidme aquí hacer una interpretación más moderna de la misma (que también se estudia en física) y que es más fácil de seguir al menos cualitativamente.  No pretendo deducir la fórmula de Planck, es largo y árido, lo que pretendo es mostrar la idea de Bose y tendrán que confiar en mí si les digo que de ahí se saca la fórmula de Planck.  Pero claro, siempre nos quedarán las fuentes para seguir indagando.

Bose hizo la siguiente cadena de razonamientos:

1.-  Dentro del cuerpo negro tenemos una energía E total.

2.-  Dicha energía es la que pertenece a la radiación contenida en el cuerpo negro en equilibrio termodinámico.

3.-  Esa energía se repartirá en paquetes de energía de valores , , , …, etc.  Y tendremos  paquetes con energía , paquetes con energía , etc.

4.-  Consideró que el espacio de fases estaba discretizado en volúmenes de tamaño h³.  Este paso quizás requiera un poco más de detalle.

Espacio de fases

Cuando hablamos de espacio de fases nos referimos a un espacio que tiene la información de la posición de una partícula y su momento (el producto de su masa por su velocidad, o en el caso de partículas de radiación el inverso de su longitud de onda multiplicada por algunas constantes.  Esto último se demuestra con el fenómeno Compton).   Así que cuando queremos saber el estado dinámico de una partícula en un instante de tiempo tenemos que poner un punto en el espacio de fases.  Imaginemos que tenemos una partícula que se mueve en una línea recta, la llamaremos eje X, y por lo tanto tiene un momento p, el espacio de fases se vería:

Hoy sabemos que eso no se puede hacer en cuántica porque según el principio de indeterminación de Heisenberg no podemos conocer simultáneamente el valor de la posición en un eje y el momento en dicha dirección.  Es más, el producto de indeterminaciones en x y en p ha de ser mayor que una determinada cantidad que podemos decir en esta situación que viene dada por la constante de Planck h.

Evidentemente si estamos trabajando con X,Y,Z y sus respectivos momentos px, py, pz, cada producto de indeterminaciones en cada eje y en cada momento asociado nos da un factor h.  Así que el espacio de fases no se puede explorar en volúmenes más pequeños que h³. Lo maravilloso es que Bose determinó ese hecho muchos años antes de que Heisenberg demostrara su principio de indeterminación.

De hecho, el propio Bose dice en su artículo a este respecto:

Nothing definite can be said about the method of dividing the phase space in this manner.

Nada definitivo se puede decir acerca del método de división del espacio de fases de esta manera.

Una buena intuición.

Así el espacio de fases se divide en celdas para energías , , , etc.  Y Bose se pone a repartir cuantos de energía en dichas celdas.

Al repartir los cuantos de energía en dichas celdas Bose asume dos cosas sin mencionarlo en su artículo.  Por un lado que dos cuantos de la misma energía son indistinguibles, no se pueden diferenciar.  Y por otro lado que puede haber tantos cuantos como queramos en una celda.

Con eso puede calcular todas las posibles configuraciones de cuantos repartidos en las celdas de forma que la energía total, al suma de energía de todos los cuantos, sea la que tiene el cuerpo negro.  Y luego se buscan las configuraciones que hacen la entropía más alta, es decir, las más numerosas para una configuración de energía y temperatura dadas.

Con esas hipótesis Bose deriva la fórmula de Planck.  Bueno, en realidad la fórmula de Planck dividida por dos.  Para recuperar la fórmula de Planck Bose tuvo que introducir un nuevo elemento, algo como una característica interna de los cuantos de luz que podría tomar dos valores.  Bose no explicó qué era sea característica interna de los cuantos de luz y Einstein borró lo que Bose había escrito y dijo que el factor dos aparecía al tener en cuenta la polarización de la luz, que puede tener dos valores.  En realidad ambos llevaban razón, Bose anticipó el concepto de espín (helicidad) del fotón que toma valores +1 y -1 pero no supo explicarlo.  Einstein pensó que era mejor hablar de polarización de la luz que en ese momento era un concepto puramente clásico aunque ahora sabemos que tiene su raíz en el espín del fotón.  La historia es maravillosa.

Einstein entra de lleno

Tras este artículo Einstein publica dos trabajos aplicando la forma de trabajo de Bose no a la radiación sino a partículas que conforman gases.  Supone que las partículas pueden tener estados discretos de energía y que estas partículas solo pueden colisionar entre sí sin considerar otras formas de interacción.  Es la descripción de un gas ideal.  Los estados de las partículas de disponen en celdas del espacio de fases tal y como hizo Bose anteriormente.  Su trabajo es estupendo porque reproduce todas las magnitudes termodinámicas de un gas idea desde la idea de Bose pero además se dio cuenta de un detalle:

However, one can see immediately that the entropy must vanish at absolute zero. In fact, in that case all the molecules lie in the first cell; for this state there is only a single distribution of molecules according to our counting.

Sin embargo, uno puede ver inmediatamente que la entropía ha de anularse en el cero absoluto.  De hecho, en ese caso las moléculas caen (todas) en la primera celda (la de menor energía); para este estado solo hay una única distribución de moléculas según nuestro conteo.

Aquí Einstein detecta que cuando se baja la temperatura mucho la mayoría de las moléculas (el decía moléculas porque habla de un gas pero se puede cambiar por partículas en general que verifiquen que son bosones) caen al estado de menor energía.  Está anticipando el condensado de Bose-Einstein.  Este trabajo se publicó en 1924 poco después del de Bose:

Quantum Theory of a Monoatomic Ideal Gas

Parece un poco injusto que Einstein no invitara a Bose a trabajar con él sobre este problema.  De hecho, Bose dejó de producir trabajos de investigación a raíz de esta etapa que para él fue un poco estresante y dolorosa.

Por su parte Einstein quedó impresionado por la idea de lo que él denominó condensación  y siguió trabajando en ello.  Los resultados se pueden encontrar en el artículo:

Quantum Theory of the ideal monoatomic gas (Second treatise)

Ahí se puede leer:

My prediction is the emergence of something very similar to what occurs when vapor is isothermally compressed beyond the saturation volume. A separation will take place; one part will “condense”, the rest will remain as a “saturated ideal gas”

Mi predicción es la aparición de algo muy similar a lo que ocurre cuando el vapor es comprimido de forma isoterma más allá del volumen de saturación.  Una separación tendrá lugar; una parte “condensará”, y el resto permanecerá como un “gas ideal saturado”.

Y estos amigos míos es una predicción teórica hecha en 1925 que tuvo que esperar 75 años para confirmarse experimentalmente. Así funciona este juego en ocasiones. (Y luego la gente se queja de que la teoría de cuerdas o la loop quantum gravity lleven 30 años sin poderse comprobar ;) )

Nos seguimos leyendo…