alquimiayciencias: ¿Cuántos neutrinos hay en una caja?

Los neutrinos son, después de los fotones, las partículas más abundantes del Universo. Se crean por ejemplo en reacciones nucleares en el centro de las estrellas como nuestro Sol (neutrinos solares), en reactores nucleares (neutrinos de reactor) y por colisiones de rayos cósmicos en la atmósfera (neutrinos atmosféricos).

Cuando escuchamos hablar de neutrinos hay un ejercicio al que todo físico siempre invita para intentar dimensionar su abundancia. Tomemos por ejemplo los neutrinos solares, el ejercicio es el siguiente: levanta tu pulgar, apúntalo hacia el Sol y cuenta hasta tres. En esos tres segundos cerca de doscientos mil millones de neutrinos solares atravesaron la uña de tu pulgar. Doscientos mil millones es un número enorme, es un 2 seguido de 11 ceros: 200.000.000.000, lo que en notación científica se escribe como $2\times10^{11}$ . Con este enorme número de neutrinos atravesando cada centímetro cuadrado de nuestro cuerpo (y nuestro planeta) uno podría preguntarse, si pudiéramos verlos ¿cuántos neutrinos habrían en una caja? Esta pregunta puede ser algo ridícula por dos motivos: primero, los neutrinos son partículas fundamentales por lo que no son visibles, y segundo, los neutrinos se mueven muy rápido, casi a la velocidad de la luz, por lo que no es posible atraparlos. Entonces supongamos que los neutrinos fueran visibles y les tomamos una foto, ¿cuántos neutrinos veríamos dentro de la caja? Para responder esta pregunta el presente post tendrá dos partes, la primera consiste en estimar cuántos neutrinos nos llegan desde el Sol y en la segunda veremos cómo calcular los neutrinos en la caja. Para conocer la respuesta se puede ir directo a la segunda parte, la primera es opcional y sólo para quienes deseen aprender cómo se crean neutrinos en el Sol y de dónde los físicos sacamos ese número tan grande mencionado al principio.

Parte 1: ¿Cuántos neutrinos solares llegan a la Tierra?

Advertencia: esta sección contendrá algo de física, álgebra y geometría, quiero mostrar cómo usando un razonamiento bastante simple es posible calcular el número de neutrinos que nos llegan desde el Sol. Esta sección es opcional, quien no esté interesado en estos detalles puede pasar a la Parte 2 sin problemas.

Hace mucho tiempo me cuestioné de dónde sacan los físicos ese ejercicio de contar hasta tres para señalar que casi $2\times10^{11}$ neutrinos solares atraviesan una uña. A continuación veremos cómo, pero primero es necesario entender cómo se crean neutrinos en el Sol. Como mencionaba antes, todo es gracias a las reacciones de fusión. Las altas temperaturas en las estrellas permiten que protones superen la repulsión eléctrica y se unan para formar núcleos más complejos. Este proceso llamado fusión nuclear (no confundir con fisión nuclear que es la división de núcleos pesados) libera energía ya que la masa del nuevo elemento es menor que la masa de sus progenitores. Esta diferencia de masas se convierte en energía dada por la famosa ecuación de Einstein: $\pmb{E=mc^2}$ . En el Sol ocurren muchas reacciones distintas, acá sólo veremos las más relevantes.

Las estrellas están compuestas principalmente de hidrógeno, el más simple de los elementos con un núcleo compuesto sólo por un protón. Debido a las altas temperaturas, en vez de un gas de átomos de hidrógeno (un electrón orbitando un protón), los electrones y núcleos no están ligados, es decir, los electrones no orbitan a los núcleos atómicos y sólo hay una sopa de electrones y núcleos, esto se llama un plasma. Estos núcleos de hidrógeno se denotan con el símbolo $^1_1\text{\bf H}$ , donde el número inferior indica el número de protones y el superior señala el número protones y neutrones. Cuando dos protones se fusionan: $^1_1\text{\bf H}+\,^1_1\text{\bf H}$ , uno de ellos se transforma en un neutrón, emitiendo un positrón $e^+$ (la versiónantimateria del electrón) y un neutrino $\nu_e$ :

$^1_1\text{\bf H}+^1_1\text{\bf H} \rightarrow\; ^2_1\text{\bf H} + \pmb{e^+}+\pmb{\nu}_e$ .

Este nuevo núcleo $^2_1\text{\bf H}$ , posee un protón y un neutrón, es lo que llamamos un isótopo del hidrógeno conocido como deuterio (recordar que la naturaleza de un elemento está determinada sólo por el número de protones). Luego, el deuterio se fusiona con otro protón formando helio-3 y un fotón $\pmb{\gamma}$ :

$^2_1\text{\bf H}+^1_1\text{\bf H} \rightarrow\; ^3_2\text{\bf He} + \pmb{\gamma}$ .

Si las reacciones anteriores ocurren dos veces, entonces dos núcleos de helio-3 pueden fusionarse para formar un par de protones y el estable helio-4, un isótopo del helio que también se llama partícula alfa ( $\alpha$ ):

$^3_2\text{\bf He}+^3_2\text{\bf H} \rightarrow\; ^4_2\text{\bf He} + 2\;^1_1\text{\bf H}$ .

Esta es la secuencia de reacciones más importante en el Sol y se llama cadena pp (porque comienza con la fusión protón-protón), donde podemos ver que se necesitan 6 protones, los que generan como producto final un núcleo de helio-4 (o partícula alfa), 2 positrones, 2 neutrinos, 2 fotones y 2 protones (los que pueden ser usados nuevamente).

Diagrama de la cadena pp de reacciones nucleares en el Sol que produce 2 neutrinos

Como curiosidad, hace un tiempo el sitio Abstruse Goose publicó un cómic titulado World View con la frase “así es como los científicos ven el mundo”. Espero que con esta breve descripción de la cadena pp las reacciones mostradas en el Sol (esquina superior izquierda del segundo panel de ese cómic) ya no sean misteriosas. Además de notar que en el comic la segunda reacción en el Sol está mal escrita: la fusión de deuterio y un protón ( $^2_1\text{\bf H}+\,^1_1\text{\bf H}$ ) no produce un neutrino sino que un fotón. Según las reglas de la interacción nuclear débilun neutrino no puede ser emitido sin la participación de otro neutrino o un electrón. Es decir, el error en el comic es que sobra un neutrino y falta un fotón.

Volviendo a nuestros neutrinos, cálculos detallados permiten estimar que la energía liberada en esta reacción es $4.3\times10^{-12}$ J. Este número es muy pequeño, sin embargo estas reacciones ocurren miles de millones de veces por segundo, lo que permite mantener al Sol brillando. Con todo esto podemos concluir que por cada $4.3\times10^{-12}$ J de energía el Sol emite también 2 neutrinos, lo que es equivalente a decir que el Sol genera $2.2\times10^{-12}$ J de energía por cada neutrino emitido.

Calculemos ahora cuántos neutrinos nos llegan desde el Sol. El número de neutrinos por unidad de área y tiempo (es decir, cúantos atraviesan cada centímetro cuadrado por segundo) se denomina flujo, el que denotaremos $\Phi_\nu$ . Dado que la energía emitida por el Sol está relacionada con el número de neutrinos podemos decir que el flujo de radiación es igual al flujo de neutrinos multiplicado por $2.2\times10^{-12}$ J:

$\Phi_\text{rad} = \Phi_\nu \times (2.2\times 10^{-12}\,\text{J})$ .

La radiación se emite en todas direcciones, por lo que el flujo de radiación disminuye al alejarnos del Sol. Este flujo puede escribirse en términos de la luminosidad solar $L_\odot$ como

$\Phi_\text{rad} = \dfrac{L_\odot}{4\pi d^2}$ ,

donde d es la distancia al Sol. Los astrónomos conocen muy bien la luminosidad del Sol, que corresponde a $L_\odot=3.8\times10^{26}$ W. Esto equivale a la potencia de seis cuatrillones ( $6\times10^{24}$ ) de lámparas de 60 watts que usamos a diario! Dado que conocemos la distancia Tierra-Sol (150 millones de kilómetros) podemos determinar el flujo de neutrinos en nuestro planeta

$\Phi_\nu = \dfrac{\Phi_\text{rad}}{2.2\times 10^{-12}\,\text{J}} = \dfrac{3.8\times 10^{26}\,\text{W}}{4\pi (1.5\times10^{11}\,\text{m})^2(2.2\times 10^{-12}\,\text{J})} = 6.1\times 10^{10}/\text{cm}^2/\text{s}$ .

Esto significa que 61.000.000.000 neutrinos cruzan cada centímetro cuadrado cada segundo. Si queremos determinar cuántos neutrinos atraviesan nuestra uña en 3 segundos sólo basta con multiplicar el flujo por el área de la uña y por el tiempo. Como la uña del pulgar tiene aproximadamente 1 cm por lado, su área es $\Delta A =(1 \text{ cm})\times (1 \text{ cm})=1 \text{cm}^2$ , de esta manera en $\Delta t= 3 \,s$ el número de neutrinos que atraviesa la uña es

$N_\nu = \Phi_\nu\times\Delta A\times\Delta t = (6.1\times 10^{10}/\text{cm}^2/\text{s})\times(1\text{ cm}^2)\times(3\text{ s}) = 1.83\times 10^{11}$ .

Esto corresponde a 183.000 millones de neutrinos, de aquí viene la famosa frase “cada tres segundos cerca de doscientos mil millones de neutrinos solares atraviesan la uña de tu pulgar” mencionada al principio.

Parte 2: ¿Cuántos neutrinos solares hay en una caja?

Ahora que sabemos que 61.000.000.000 neutrinos cruzan cada centímetro cuadrado de nuestro planeta cada segundo, podemos estimar cuántos neutrinos hay en una caja si conocemos sus dimensiones (alto, ancho y largo). Una vez más insisto en que los neutrinos se mueven muy rápido y por lo tanto estos no están atrapados en la caja, están siendo continuamente cambiados por otros que van pasando. Esto técnicamente se denomina un flujo estacionario de neutrinos y lo que determinaremos es el número de neutrinos que veríamos en la caja en un instante dado si pudiéramos tomarles una foto.

Usaremos como aproximación que los neutrinos se mueven a la velocidad de la luz $v_\nu=c=3\times10^{10}\,\text{cm/s}$ . Si cada centímetro cuadrado es bombardeado por $6.1\times 10^{10}$ neutrinos cada segundo, entonces podemos determinar cuántos neutrinos hay en un cubo de 1 cm por lado (es decir con un volumen de $V=(1 \text{ cm})\times (1 \text{ cm})\times (1 \text{ cm})=1 \text{ cm}^3$ ) simplemente dividiendo el flujo por la velocidad a la que se mueven, por lo tanto la densidad de neutrinos solares en la superficie de la Tierra es

$n_\nu = \dfrac{\Phi_\nu}{v_\nu} = \dfrac{6.1\times 10^{10}/\text{cm}^2/\text{s}}{3\times10^{10}\text{ cm/s}} = 2/\text{cm}^3$ .

Este resultado es bastante sorprendente: nos dice que en cada centímetro cúbico (es decir en un cubo de 1 cm por lado) acá en la Tierra hay en todo momento dos neutrinos provenientes del Sol!
Si ahora tenemos una caja cualquiera, sólo necesitamos calcular su volumen en centímetros cúbicos y multiplicar el resultado por 2 y obtendremos en número de neutrinos solares contenidos en nuestra caja:

$N_\nu = (\text{Volumen en cm}^3)\times2/\text{cm}^3$ .

El volumen de una caja es el producto de su altura $\times$ ancho $\times$ alto (todo medido en centímetros para obtener las unidades correctas).

Con este método podemos determinar, por ejemplo, el número de neutrinos solares en una caja de fósforos (o cerillas). Dado que el tamaño de una caja de fósforos depende del lugar de fabricación, pregunté en Twitter por las medidas en distintos países. Tomemos por ejemplo la caja de fósforos en Argentina, cuyas dimensiones son $5.3\text{ cm}\times 3.6\text{ cm}\times 0.9\text{ cm}$ , lo que nos entrega un volumen

$\text{Volumen} = 5.3\text{ cm}\times 3.6\text{ cm}\times 0.9\text{ cm} = 17.2\text{ cm}^3$ ,

por lo tanto esta caja contiene $N_\nu=(17.2\text{ cm}^3)\times 2/\text{cm}^3 =34$ neutrinos solares.

Neutrinos cósmicos

Es importante mencionar que existe otra gran cantidad de neutrinos que fueron creados cuando el Universo tenía sólo un segundo, es decir, estos neutrinos cósmicos fueron creados un segundo después del Big Bang. Los detalles de estos neutrinos son bastante más complejos que los neutrinos solares, sin embargo su densidad puede calcularse y es igual a $n_\nu=336/\text{cm}^3$ , es decir, en cada centímetro cúbico del Universo hay 336 neutrinos cósmicos. Por este motivo, el volumen de la caja debe multiplicarse por este número para obtener el número de neutrinos cósmicos en la caja. En el caso de la caja de cerillas argentinas, $17.2\times 336=5770$ neutrinos cósmicos.

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lunes, 25 de enero de 2016

¿Cuántos neutrinos hay en una caja?

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