Cuando se dice que Leibniz y Newton inventaron el cálculo infinitesimal no se pretende decir que ellos fuesen los primeros que trabajasen en este tipo de problemas.
Dos mil años antes los griegos, con Eudoxo y Arquímedes a la cabeza, usaron para calculartangentes y superficies métodos parecidos a los actuales.
De hecho, algunos opinan que si los griegos no descubrieron el cálculo se debe a dos razones: su horror al infinito y no disponer del lenguaje apropiado: el álgebra.
Sea como fuere, la cuestión es que no lo hicieron, y tuvimos que esperar al siglo XVII de nuestra era para que un alemán y un inglés resolviesen el problema. ¿Y qué es lo que resolvieron?
Básicamente dos cosas: por un lado desarrollaron un método general para obtener la derivada de cualquiera de las funciones usuales. Por otro, le dieron toda la importancia debida a la relación existente entre la derivada y la integral, relación que hoy se conoce, de modo nada exagerado, como teorema fundamental del cálculo.
Este teorema dice, tecnicismos aparte, que derivar (es decir, calcular tangentes) e integrar (es decir, calcular superficies) son operaciones inversas la una de la otra.
La historia de cómo se dio cuenta Newton de esto arranca un poco antes de la invención oficial del cálculo. Uno de mis abogados favoritos, Pierre de Fermat, dedicado a su pasatiempo favorito, las matemáticas, consiguió uno de los logros más importantes en la larga carrera por resolver el problema de la superficie. Su hallazgo consistió en cuadrar (así le decían antes a esto de hallar superficies bajo curvas) toda una familia uniparamétrica de curvas, es decir, toda una colección infinita de ellas, de una vez y con una sola fórmula.
En concreto, lo que vio es que al área bajo las curvas de la forma
desde x = 0 hasta x = a viene dada por la expresión 
Han pasado unos años. Newton está embarcado en sus investigaciones acerca de cómo es el universo. Para él, el mundo es algo dinámico, algo en permanente cambio: su pensamiento especula con variables que cambiaban con el tiempo. De hecho, a las variables las llama fluentes y a sus velocidades de cambio,fluxiones. Lo que Newton quiere es conocer a qué ritmo cambian las variables físicas a medida que el tiempo fluye...
Esta forma de percibir el mundo le llevó a abordar los problemas desde dos perspectivas distintas: cuando se ponía el traje de matemático veía las curvas como relaciones entre las variables de una ecuación.
Pero luego, o simultáneamente, o antes, vaya usted a saber, se ponía el de físico y entonces veía las curvas como expresiones de movimientos. A través de esta doble visión llegaría el descubrimiento de que el problema de la tangente y el problema de le velocidad eran en realidad uno y el mismo...
Pero Newton no solo abordó el problema de cómo calcular fluxiones de fluentes, es decir, la velocidad de cambio de una variable respecto de otra (lo que hoy llamamos derivar), sino que también se planteó el problema inverso, a saber, calcular fluentes de flusiones, o lo que es lo mismo, averiguar el comportamiento de una variable conocida su velocidad de cambio (antiderivar o, como decimos hoy, obtener una primitiva).
Un buen día, Newton, consiguió antiderivar la familia de funciones
. Averiguó que las primitivas correspondientes son las funciones de la forma .
Estas fórmulas... ¿te suenan a algo, lector? A Newton sí le sonaron: al obtenerlas le recordaron de inmediato las que dedujera Fermat matemáticas no hay coincidencias. Por muy extrañas que pudiesen parecer entre sí las operaciones que realizaran Fermat y él mismo, aquella "casualidad" en realidad implicaba una conexión.
A partir de aquel primer caso tiro del hilo y, aunque nunca llegó a dar una demostración formal del asunto, llegó a convencerse de que calcular primitivas y calcular superficies eran en realidad operaciones idénticas.
O, lo que es lo mismo, y dado que calcular una primitiva es lo inverso de obtener una función derivada, que el cálculo de tangentes y superficies son problemas inversos.
La importancia de esto es enorme: dado que el mismo Newton había desarrollado métodos para derivar casi cualquier cosa, el que el problema de la superficie se pudiese resolver mediante cálculos de primitivas permitía de pronto cuadrar no una curva o una familia uniparamétrica de curvas, sino una inimaginable colección de ellas.
Pero aún más importante, es una opinión, es que se estableció una nueva conexión, un nuevo puente entre conceptos hasta entonces separados.
La tangente y la superficie... quién lo diría.
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