jueves, 18 de febrero de 2016

La paradoja del interferómetro de ondas gravitacionales...

Dibujo20160217 Michelson interferometer gravitational wave detector beam splitter BS end mirrors EMx and EMy photodiode PD Hammond et al J Modern Optics

Una onda gravitacional estira y acorta los brazos del interferómetro LIGO, pero al mismo tiempo estira y acorta la longitud de onda de la luz del láser. Exactamente en la misma proporción. ¿Cómo es posible entonces medir con un interferómetro la longitud de los brazos? La respuesta es sencilla: el interferómetro no mide distancias como una regla. Actúa como un reloj midiendo intervalos de tiempo. Como la velocidad de la luz en el vacío es constante, esta medida de tiempos permite determinar cómo se estiran y acortan los brazos de LIGO al paso de la onda gravitacional.
La regla de oro cuando se habla de gravitación con campo débil es que la curvatura del espaciotiempo es siempre curvatura del tiempo (el espacio prácticamente no se curva). Una onda gravitacional es un campo débil y, por tanto, para detectarla debemos usar un reloj. 
Por ello, el interferómetro doble en forma de letra L que usa LIGO se comporta como un reloj. Mide la diferencia de fase entre haces luminosos.
Lo ha contado mucha gente en muchos foros, pero creo necesario recordarlo ahora. Recomiendo leer a Peter R. Saulson, “If light waves are stretched by gravitational waves, how can we use light as a ruler to detect gravitational waves?,” Am. J. Phys. 65: 501 (1997), doi: 10.1119/1.18578; Valerio Faraoni, “A common misconception about LIGO detectors of gravitational waves,” Gen. Rel. Grav. 39: 677-684 (2007), doi:10.1007/s10714-007-0415-5arXiv:gr-qc/0702079; David Garfinkle, “Gauge invariance and the detection of gravitational radiation,” Am. J. Phys. 74: 196-199 (2006), doi:10.1119/1.2165250arXiv:gr-qc/0511083.
Sobre el presente y futuro de los interferómetros recomiendo G. Hammond, S. Hild, M. Pitkin, “Advanced technologies for future ground-based, laser-interferometric gravitational wave detectors,” Journal of Modern Optics 61 (2014), doi:10.1080/09500340.2014.920934arXiv:1402.4616 [astro-ph.IM].
Dibujo20160217 ligo lsc michelson interferometer with fabry-perot arm cavities ligo lsc
La clave del funcionamiento de un interferómetro como detector de ondas gravitacionales es que la velocidad de la luz en el vacío es constante. En el interferómetro se compara la fase de las ondas que se reflejan en los espejos de ambos brazos (EMx y EMy), cuya fuente común es un láser cuya luz se divide en dos haces gracias a un divisor de haz (BS).
 La fase depende de los instantes de llegada de los fotones. Aunque su longitud de onda cambie durante su viaje por los brazos al mismo ritmo que cambia la longitud de cada brazo, el tiempo que tardan en retornar es proporcional a la longitud de dichos brazos.
Simplificando el tratamiento matemático, la métrica del espacio tiempo para una onda gravitacional es g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}, donde \eta_{\mu\nu} es el espaciotiempo plano de Minkowski y h_{\mu\nu} es la amplitud de la onda gravitacional (se supone h_{\mu\nu}\ll{1}). Eligiendo un sistema de coordenadas local para el interferómetro con los dos brazos en los ejes x e y, se puede escribir ds^2=-c^2dt^2+(1+h(t))dx^2+(1-h(t))dy^2+dz^2, donde h_{11}=h=-h_{22}.
Para un rayo de luz ds^2=0, luego dt=\sqrt{1+h(t)}dx/c.
 Podemos aproximar \sqrt{1+h(t)}\approx(1+h(t)/2), y también h(t)\approx\bar{h}, ya que la longitud de onda del láser es mucho más pequeña que la longitud de onda gravitacional (que en LIGO tiene una frecuencia entre decenas y cientos de hercios).
 El haz de luz recorre cada brazo de longitud L, se refleja en el espejo y retorna al detector tras haber recorrido una longitud total de 2L(1+\bar{h}) en el eje x y 2L(1-\bar{h}) en el eje y.
Con las aproximaciones anteriores, el resultado de integrar ambos miembros en la igualdad dt=\sqrt{1+h(t)}dx/c resulta en \Delta{t_x}=\bar{h}L/c y, de forma similar, \Delta{t_y}=-\bar{h}L/c. El cambio en los instantes de llegada al detector es de \Delta{t}=\Delta{t_x}-\Delta{t_y}=2\bar{h}L/c. Por tanto, el cambio de la fase en la interferencia de los haces es \Delta\phi=2\bar{h}L{2\pi}/\bar{\lambda}, donde \bar{\lambda} es la longitud de onda promedio de los fotones que llegan al detector por ambos brazos.
Por supuesto, el cálculo anterior se puede repetir para una onda plana h(t)=\exp(-i(\omega{t}+k_\omega{z})), lo que permite estimar la forma de la onda observada en el detector. Omito los detalles porque no aportan nada a la resolución de la paradoja del interferómetro.
Dibujo20160217 Evolution of interferometer layouts from a simple Michelson to advanced gravitational wave detectors j modern optics
Varias personas me han preguntado qué diferencia hay entre un interferómetro de Michelson y el interferómetro de Michelson modificado con cavidades de Fabry-Pérot que usa LIGO. Simplificando mucho, la idea es tratar de incrementar la longitud óptica de los haces de luz haciendo que reboten varias veces en espejos antes de alcanzar el detector. En un interferómetro de Michelson hay que usar múltiples espejos diferentes (la luz rebota en un espejo se dirige a otro espejo donde vuelve a rebotar y así sucesivamente). En LIGO hay que evitar el uso de diferentes espejos, por lo que se usan sólo dos espejos en cada brazo, EMx e IMx, y EMy e IMy; estos espejos son más parecidos a un tambor que a un espejo de casa. La luz rebota múltiples veces (hasta 400 veces) en el interior de dichos espejos, que actúan como una cavidad óptica de tipo Fabry-Pérot. Parte de la luz se pierde, pero se usa un sistema de reciclaje de potencia para minimizar estas pérdidas.
Dibujo20160217 ligo livingston facility louisiana credit ligo collaboration nsf
Otras personas me han preguntado ¿cuál es el efecto de una onda gravitacional sobre una persona? Obviamente, el efecto en la Tierra es ridículo (la onda GW150914 ha producido un cambio de pocos attómetros en los 4 km de longitud de los brazos de LIGO). ¿Pero qué pasa cuando estás muy cerca de la fuente? Por ejemplo, si estás a una unidad astronómica de la fuente (la distancia entre el Sol y la Tierra). El cálculo es sencillo (la amplitud de las ondas gravitacionales decae con el inverso de la distancia) y para una persona de dos metros de altura se produciría un cambio oscilatorio en su altura de unos 0,17 μm (un cambio comparable a las oscilaciones diarias debidas a la compresión y estiramiento de las vértebras de la espalda). Una unidad astronómica todos sobreviviríamos sin problemas a la fuente de GW150914 (aunque la energía de dichas ondas sea equivalente a tres masas solares). Nos lo cuenta Amber Stuver (LIGO) en Jennifer Ouellette, “Your Questions About Gravitational Waves, Answered,” Gizmodo, 12 Feb 2016.
Dibujo20160217 marco drago ligo-virgo computer-screen
Finalmente, una pregunta que también me han hecho varias veces, no sé, estas cosas parece que interesan, es ¿quién fue la primera persona que observó la señal GW150914? Fue el italiano Marco Drago, de 32 años, miembro de la Colaboración LIGO, quien el 14 de septiembre de 2015, a las 10:50 de la mañana, desde el Instituto Albert Einstein, Hannover, Alemania, observó la señal en la pantalla de su ordenador. Estaba revisando los resultados de LIGO durante la fase previa al inicio oficial de la toma de datos. Observó una coincidencia entre las señales de los dos detectores de LIGO. 
Se lo contó a un colega y preguntó por correo electrónico a todos los miembros de la colaboración si era una señal inyectada de forma artificial antes de tiempo; se esperaba alguna inyección a partir del 18 de septiembre, cuando se iniciara la toma oficial de datos, pero nunca antes de esa fecha. Nos lo han contado Nicola Twilley, “Gravitational Waves Exist: The Inside Story of How Scientists Finally Found Them,” New Yorker, 11 Feb 2016; y Luboš Motl, “LIGO discovers a black hole merger 1.3 billion light years away,” The Reference Frame, 11 Feb 2016.
Lo sé, lo sé, ya estarás cansado de tanta información sobre las ondas gravitacionales. 
http://francis.naukas.com/

No hay comentarios: