miércoles, 26 de octubre de 2016

Los polinomios de Rudin-Shapiro


Consideremos un polinomio P(z)=\varepsilon_0 + \varepsilon_1z+ \cdots + \varepsilon_nz^n con coeficientes \varepsilon_j \in \{-1,1\}.

El módulo máximo de P(z) en la circunferencia unidad viene dado por
\|P\|_\infty = \max \{ |P(e^{i \theta}) | \colon \theta \in \mathbb R\}
Una cota inferior para \|P\|_\infty es la norma hilbertiana
\|P\|_2 = \left ( \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}|P(e^{i \theta}) |^2\,d\theta \right )^{1/2}.
Se sigue de la identidad de Parseval que \|P\|_2 = (n+1)^{1/2} y por lo tanto
\|P\|_\infty \geq (n+1)^{1/2}.
Se plantea el problema de hallar polinomios P_n de grado n tales que \|P_n\|_\infty \leq c (n+1)^{1/2}donde c>1 es una constante. 
Una solución muy ingeniosa viene dada por medio de un procedimiento inductivo descubierto independientemente por W. Rudin y H.S. Shapiro. Sean R_0=S_0=1 y sean
R_{k+1}(z)= R_k(z)+z^{2^k}S_k(z),
S_{k+1}(z)= R_k(z)-z^{2^k}S_k(z),
Está claro que R_k.S_k son polinomios de grado 2^k-1 con coeficientes \pm 1. 
Además se tiene
|R_{k+1}(z)|^2 + |S_{k+1}(z)|^2 = 2 \left (|R_{k}(z)|^2 + |S_{k}(z)|^2 \right ),
de donde se deduce que |R_k(z)|^2 + |S_k(z)|^2 = 2^{k+1} de modo que si P_k=R_k o P_k=S_kentonces \|P_k\|_\infty \leq \sqrt{2} (n+1)^{1/2} donde n=2^k-1.
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