Topología
La topología es una rama de las matemáticas de una belleza innegable y de una potencia aún mayor. Siempre que trabajas con funciones, haces derivadas, estudias límites, integras, lo haces en un contexto topológico y gracias a propiedades topológicas de los espacios donde se muevan tus objetos matemáticos. Pero eso tal vez no sea muy informativo.
La topología tiene una obsesión, encontrar que propiedades de los espacios (conjuntos) permanecen invariantes bajo transformaciones continuas.
Es decir, si yo tengo un espacio y lo deformo continuamente, sin producir cortes, ¿qué propiedades se preservan?
Ya conocen el chiste, para alguien que trabaja en topología un donut y una taza son exactamente lo mismo.
Lo mismo se puede decir de un cubo Rubik y una pelota. ¿Por qué?
Un puede hacer una deformación continua para ir de un donut a una taza y viceversa. Pero hay algo que no cambia en esa transformación, ambas cosas tienen un agujero. Ese es el invariante topológico que hemos encontrado.
Esa es una particularidad de estos espacios que no puede ser cambiada a menos que hagamos un corte y eso, amigas y amigos, deja de ser continuo cosa muy fea en topología.
Evidentemente, la topología encuentra más invariantes, pero estos de los agujeros de los espacios de trabajo son los que nos van a servir par entender el Nobel en física concedido en 2016.
Por cierto, los agujeros se llaman genus en mates, cosas de los matemáticos.
Transiciones de fase
Desde el colegio nos hablan de las transiciones de fase. Son cambios en el estado de agregación de la materia. Usualmente, al aumentar la temperatura pasamos de sólido a líquido y de líquido a gas. El que más y el que menos se las ha visto con estas cosas en cole o instituto.
Eso es debido a que al aumentar la temperatura de un sistema le estamos dando energía, sus constituyentes se mueven más rápido y llega un punto en que las fuerzas que los unen no son lo suficientemente intensas como para tenerlos en una estructura fija.
De ahí que pasemos de sólido a líquido y de líquido a gas, porque en cada una de esas fases los constituyentes están “más libres” que en la anterior.
Si aumentamos mucho más la temperatura, le damos más energía al sistema, podemos llegar a “romper” los átomos y permitir una fase, llamada plasma, en los que los electrones y los núcleos conviven sin estar ligados. Es una masa neutra constituida por partículas cargadas “libres”, que no forman unidades ligadas.
¿Qué pasa si drenamos la energía de un sistema hasta el límite? ¿Qué pasa cuando bajamos su temperatura?
El caso es que en esa situación los constituyentes del sistema que estudiemos estarán más y más “quietos”. Sus pequeños movimientos permitidos dependerán del movimiento de todos los demás constituyentes del sistema.
Su comportamiento se correlaciona.
Ahí domina la cuántica y la cosa se vuelve espectacular.
Para empezar, si tomamos una capa delgada de material y bajamos la temperatura cerca del cero absoluto muchos sistemas se comportan como si perdieran una dimensión, es decir, a todos los efectos son bidimensionales. Esto se entiende del siguiente modo.
Los átomos que conforman el material tienen una propiedad denominada espín. Esta es una propiedad cuántica que permite a los constituyentes elementales de un sistema sentir campos magnéticos.
Podemos representarla como una flecha asociada a cada átomo que le dota de un polo norte y un polo sur magnéticos. Hay situaciones en las que todas estas flechas o espines se confina en un plano en un comportamiento colectivo:
Aquí vemos un hecho absolutamente novedoso y sorprendente cuando fue propuesto por Thouless y Kosterlitz (y un físico ruso Berenziskii, desgraciadamente ya fallecido) en el sistema se generan defectos, agujeros o vórtices en la red de espín.
Transición de fase topológica
Este hecho comentado al final de la sección anterior es sorprendente porque se pensaba que en sistemas bidimensionales no se podía tener ningún elemento que nos permitiera definir fases. Para hablar de transiciones de fases hemos de poder hablar de qué y cómo cambia de una fase a otra en el estado de un sistema. Pero Thouless y Kosterlitz nos regalaron los vórtices.
No solo eso, por cuestiones topológicas y energéticas para muy baja temperatura (siempre estamos hablando cerca del cero absoluto) la configuración más estable de vórtices es aquella en las que tenemos dos “unidos” y de giros opuestos.
Estos vórtices ligados se comportan como un única entidad.
¿Qué pasa si subimos la temperatura (siempre cerca del cero absoluto)?
Pues que se demuestra que los vórtices se separan, es decir, se encuentra una nueva forma de organización en el material. Una nueva fase.
Esa es la transición de fases de BKT por las iniciales de los tres investigadores que la definieron.
Otra más
Un hecho importante viene de la mano del efecto Hall.
El efecto Hall es simple:
1.- Se toma una placa conductora de la electricidad.
2.- Se hace pasar una corriente por ella.
3.- Se aplica un campo magnético perpendicular a la placa.
¡Y ahora resulta que en la placa aparece una corriente perpendicular a la primera!
El resultado es que la corriente, o la resistencia (usando la ley de Ohm) de Hall de un material varía de forma lineal con la intensidad de flujo magnético.
Los tramos extremos se alejan de la linealidad por efecto de saturación. Pero el rango intermedio es claramente una línea recta.
Para empeorar las cosas vamos a hacer lo siguiente:
1.- Hacemos el experimento cerca del cero absoluto.
2.- Usamos campos magnéticos brutales.
Y entonces la resistencia Hall es:
¡La línea roja! Ahora resulta que en vez de un comportamiento lineal la resistencia Hall da saltos. Es más, es un múltiplo entero de una determinada fracción e²/h, la carga del electrón en valor absoluto al cuadrado dividida por la constante de Planck.
Este es el fenómeno conocido como efecto Hall cuántico entero.
¿Cómo explicamos esto? La solución, entre otros, vino de la mano de Thouless que se dio cuenta de que lo que estaba ocurriendo ahí tenía que ver con la topología de nuevo. En el efecto Hall cuántico entero los electrones de la placa se deslocalizan, es decir, ya no son partículas sino que se han de pensar como lazos, es como si estuvieran circulando en círculos por ahí. Estos lazos permiten definir un invariante topológico que viene a ser las vueltas que da el lazo alrededor de un “agujero” en el espacio, Esos “agujeros” físicamente corresponden a defectos en el material, a particularidades de la función cuántica que define el estado del material, etc.
Ese número es un entero y depende del sentido de giro.
Ese número físicamente está relacionado con la conducción de la corriente Hall en el material.
¿No está claro? A ver si esto ayuda:
Ahí están los números de vueltas dados por el lazo alrededor de un “agujero” marcado por el punto negro.
La cuestión es que si aumentamos o disminuimos el campo magnético ligeramente y de forma continua, el lazo electrón se agranda o se achica, pero el número de vueltas que da alrededor de un “agujero” no se entera, es un invariante topológico. Si forzamos la máquina, aumentamos mucho el campo magnético por ejemplo, lo que pasa es que cambia el número de vueltas que da el electrón-lazo alrededor de los “agujeros”. Como el número de vueltas está relacionado con la corriente o la resistencia Hall es posible entender que eso produzca saltos enteros de una magnitud, al cambiar el valor del invariante (porque hemos hecho algo no continuo si no no se podría hacer) cambia el valor de la resistencia en un valor entero de una determinada proporción.
Ahora tenemos un rango de valores del campo magnético que al variarse de forma continua no producirán un salto en el valor de la resistencia Hall.
Este es un bonito ejemplo de transición de fase topológica.
Nota: Para ser precisos he mentido un poco, porque el invariante topológico que gobierna esto no es simplemente el número de vueltas sino algo conocido como número de Chern. Están relacionados pero no son lo mismo. Sin embargo creo que así la idea es mucho más fácil de asimilar y no es nada incorrecta solo incompleta. Además, no me veía con ganas de explicar los números de Chern.
Y el sueño de Haldane se hizo realidad
Haldane, que había estado involucrado con los otros ganadores del Nobel en todo esto de la topología y las fases, propuso una confirmación alternativa de las cosas topológicas estas. No voy a explicarlo porque es técnico y tedioso. Pero si diré que la propuesta se hizo en 1988 en un artículo teórico publicado en Physical Review Letters:
En ese artículo el propio Haldane comenta que le parece casi imposible que esto se pueda llevar a cabo en un laboratorio.
En 2014:
¿Es o no es bonito todo esto de la ciencia?
Y todo esto… ¿para qué sirve?
Superconductores, medidas ultra precisas, nuevos materiales con nuevas propiedades, computación cuántica, superfluidos, y para entender un poco más como funciona esto de nuestro universo… Busca y encontrarás.
Nos seguimos leyendo…
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