La idea se presenta desde una noción de nuclearidad para grupos abelianos topológicos expresable en función de propiedades de sumabilidad, de forma análoga a la caracterización de los espacios nucleares dada por los resultados de Grothendieck y Pietsch, y se compara con la definición existente de grupo nuclear, debida a Banaszczyk.
Se demuestra que todo grupo nuclear en el sentido de Banaszczyk es nuclear de acuerdo con esta nueva definición, y se prueba también la implicación contraria en una clase general de espacios vectoriales con estructura topológica compatible.
Además de esta cuestión, que constituye la principal vía,se estudian y se prueban resultados relacionados con distintas topologías en la suma directa de grupos abelianos topológicos, se enuncia una versión del Lema de Schur válida para grupos y se estudian propedades de dualidad y cuasiconvexidad local de distintas topologías de grupo definidas en espacios vectoriales sobre cuerpos valuados
GRUPOS ABELIANOS TOPOLÓGICOS Y SUMABILIDAD
Gran parte de los modelos matemáticos que describen las leyes de la naturaleza vienen formulados en términos de ecuaciones diferenciales.
En general, resulta muy difícil, a veces imposible, encontrar soluciones explícitas a una determinada ecuación diferencial, siendo más razonable preguntarse cuántas soluciones existen (suponiendo que exista alguna).
Pues bien, el teorema del índice de Atiyah y Singer
El teorema proporciona una fórmula que determina el número de soluciones en función exclusivamente de la topología o forma del espacio en el que el modelo tiene lugar.
Se trata de un resultado muy profundo, en el que se combinan ramas de las matemáticas tan diversas y fundamentales como el análisis, la topología y la geometría, contando con un sinnumero de importantes aplicaciones a todas estas disciplinas, y más recientemente a la física cuántica de partículas.
La topología y la geometría son dos disciplinas matemáticas que, como el análisis, son esenciales en el teorema del índice de Atiyah-Singer.
La topología de un espacio tiene que ver con la forma de ese espacio en un sentido mas básico y crudo que el de la geometría.
Dos espacios tienen la misma topología si uno puede deformarse en el otro -como si de figuras de plastilina se tratase- sin producir agujeros o rasgaduras.
Los aspectos topológicos más relevantes para el teorema del índice tienen más que ver con las propiedades globales de un espacio que con sus propiedades locales, confinadas éstas últimas a un entorno.
Un ejemplo de propiedad global lo proporcionan las superficies cerradas, esto es, superficies sin borde, que, como la esfera, pueden encontrarse en el espacio ordinario tridimensional.
Resulta que una superficie de este tipo se puede deformar siempre topológicamente a una esfera con un número determinado de asas.
El espacio en el que se define un modelo matemático puede ser más o menos complicado, dependiendo del fenómeno que se desea describir, pudiendo tener cualquier dimensión en general.
En los modelos físicos, por ejemplo, se puede considerar el espacio-tiempo usual o incluso un espacio-tiempo en el que en cada punto el observador está equipado de un espacio interno adicional que le permite medir determinadas propiedades físicas, como la masa, la carga, o el espín de una partícula.
Por ejemplo, en la teoría de Yang-Mills que describe la física de las partículas elementales, este espacio interno es un objeto algebraico denominado grupo de Lie.
Si el grupo considerado es la circunferencia, vista como el grupo de rotaciones de un plano, la teoría de Yang-Mills coincide con el modelo de Maxwell del electromagnetismo, que explica fenómenos naturales como los rayos de las tormentas o los imanes.
Otras fuerzas fundamentales de la naturaleza, relevantes en los fenómenos cuánticos a pequeña escala, son la interacción débil y la interacción fuerte. Estas fuerzas, que tienen lugar en los núcleos de los átomos, y que son responsables en gran medida de la estabilidad de la materia, vienen descritas considerando otros grupos de Lie.
Pues bien, después de estas ideas preliminares, podemos ya enunciar el teorema del índice, aunque sea de un modo aproximado.
Supongamos que tenemos un modelo matemático definido por una ecuación diferencial.
El índice es esencialmente el número de soluciones de la ecuación.
Más precisamente, éste se define como la diferencia entre el numero de parámetros necesarios para describir todas las soluciones y el número de relaciones impuestas por la ecuación diferencial.
Por supuesto, para que esta definición tenga sentido, ambos números deben ser finitos, propiedad que cumplen precisamente las ecuaciones a las que se aplica el teorema -ecuaciones diferenciales lineales elípticas-.
La fórmula de Atiyah-Singer expresa el índice en función de determinadas cantidades denominadas clases características, que sólo dependen de la topología del espacio sobre el que está definido el modelo.
Por ejemplo, en muchos problemas definidos sobre una superficie cerrada como las descritas anteriormente el índice viene dado en función del número de asas de la superficie (la única clase característica en este caso).
Éste es precisamente el contexto del teorema de Gauss-Bonnet que expresa la curvatura total de una superficie (una noción de naturaleza geométrica) en función del número de asas de la misma, o el teorema de Riemann-Roch que relaciona la teoría de funciones holomorfas sobre una superficie de Riemann (una teoría analítica) con el número de asas de la superficie.
Como es lógico imaginar, debido a su profundidad, el teorema del índice no es de fácil demostración. No obstante, a lo largo de los años se han dado varias demostraciones que, junto con las proporcionadas originalmente por Atiyah y Singer, han hecho cada vez más transparente el teorema.
Algunas demostraciones son topológicas, otras son de carácter analítico, como la basada en la ecuación de conducción del calor.
Más recientemente se ha dado una demostración basada en la física cuántica, más concretamente, en la noción de supersimetría.
Es bien sabido que los principios de simetría son fundamentales en física, por ejemplo las teorías de Yang-Mills, mencionadas anteriormente, gozan de una simetría muy importante: la invariancia gauge, que viene implementada precisamente por el grupo de Lie de la teoría.
Esta simetría, denominada supersimetría, intercambia bosones (partículas con espín entero, como los fotones) con fermiones (partículas con espín semientero, como los electrones).
Algunas de las recientes aplicaciones del teorema del índice vienen marcadas por esta importante conexión con la física.
Entre éstas cabe mencionar el estudio de las anomalías de una teoría cuántica (la violación de determinadas simetrías de la teoría clásica al pasar a la teoría cuántica), o el intento de caracterización topológica de espacios de dimensión cuatro (la dimensión del espacio-tiempo de la física) utilizando el espacio de soluciones (instantones) de la ecuación de Yang-Mills definidas sobre el espacio original.
En conclusión, el teorema del índice no sólo ha cambiado el panorama de las matemáticas de las últimas décadas sino que además ha contribuido de manera muy especial al establecimiento de importantes y profundas conexiones entre diversas ramas de las matemáticas -particularmente la geometría y la topología-, así como de la física cuántica. Atiyah y Singer son sin lugar a dudas dos de los máximos responsables de esta rica y fructífera interacción, no sólo por el teorema del índice, sino por el inmenso trabajo desarrollado por ambos posteriormente en este campo y la enorme influencia que han ejercido en la comunidad científica dedicada a estas disciplinas.
La opinión general es que era imposible construir una teoría cuántica de la gravedad perturbativa similar a una teoría cuántica de campos con partículas elementales puntuales como en el resto del Modelo Estándar.
Hoy la evidencia clama a gritos que la supergravedad
N=8 en 4D es esa teoría.
Por supuesto, es una teoría que no puede modelar el universo que observamos (como la fuerza electrodébil), es necesario introducir una ruptura de la simetría (todavía nadie sabe cómo hacerlo) que rompa las supersimetrías de la supergravedad, válidas sólo a alta energía, y produzca una teoría efectiva equivalente al Modelo Estándar y la Relatividad de Einstein.
Muchas investigadores trabajan en teoría de cuerdas, cientos en gravedad cuántica de bucles, y sólo decenas en supergravedad.
Sin embargo, todos conocen en detalle la supersimetría y pueden trabajar en supergravedad con facilidad.
La mejor visión como teoría cuántica de la gravedad era la supergravedad (SUGRA), una versión supersimétrica de la teoría de la gravedad de Einstein, que utiliza el concepto de superespacio en lugar del espaciotiempo usual, añadiendo variables fermiónicas a las usuales (bosónicas).
Las teorías de supergravedad se caracterizan por el número N de supersimetrías (reales) que introducen, que es igual al número de gravitinos (partículas con espín 3/2, compañeras supersimétricas del gravitón,
de espín 2).
Técnicamente, N es el número de variables “fermiónicas” cuyo cuadrado produce el generador de las traslaciones en el tiempo siendo las traslaciones en espacio producidas por variables “bosónicas” (recuerda que el tiempo y el espacio en relatividad tienen signos contrarios en la métrica).
La ausencia de partículas con espín mayor que 2 limita este número entre N=1 y N=8 (en 4D o 3+1 dimensiones). Se sabía que la supergravedad es (perturbativamente) finita hasta segundo orden, pero se pensaba que no lo era más allá.
La supergravedad por la que todo el mundo apostaba era la N=1,
nadie daba un peso por la N=8.
El año pasado demostré que la supergravedad N=8 en 4D es finita hasta tercer orden de perturbaciones y este año se ha demostrado que lo es hasta cuarto orden.
Nadie apostaba por ello.
Había hasta teoremas matemáticos que afirmaban que era imposible, las divergencias en supergravedad eran un “caballo salvaje” imposible de domar.
Pero se ha logrado domar.
¿Será la supergravedad finita a todos los órdenes?
Los teoremas en contra siguen estando ahí.
La supergravedad N=8 es un gran candidato a teoría cuántica
de la gravedad.
Las teorías de campos gauge o Yang-Mills (sin ruptura de simetría) no pueden modelar el mundo que conocemos porque modelan partículas sin masa.
Lo mismo le pasa a la supergravedad N=8, por lo que tampoco puede ser un modelo realista del universo a baja energía.
¿Cómo se arregla este problema en el Modelo Estándar?
Gracias al mecanismo de ruptura de la simetría
(que produce el bosón de Higgs, aún por descubrir).
Dicho mecanismo también tendrá que ser aplicado en supergravedad.
El espectro de partículas de la supergravedad N=8 está constituido por 1 gravitón (bosón con spín 2), 8 gravitinos (partículas con espín 3/2),
28 bosones vectoriales (espín 1), 56 fermiones (espín 1/2)
y 70 bosones escalares.
Algunos de estos bosones escalares podrían ser Higgs que modelaran
el mecanismo concreto de ruptura de las 8 supersimetrías
de la supergravedad N=8.
¿Para qué queremos una teoría que no puede describir el universo?
Pues porque las teorías con N<8,>
que se conocen mejor, sí pueden hacerlo
(son modelos finitos solamente a primer y segundo orden perturbativo, presentando divergencias a tercer orden incontrolables).
Un mecanismo de ruptura de la supersimetría de N=8
que pasará por ellas (siguiendo un camino que evite sus divergencias)
nos llevaría directamente al Modelo Estándar
y la gravedad clásica de Einstein.
¿Cómo se ha demostrado que es finita la supergravedad N=8?
Aceptando la posibilidad de derivar la supergravedad (en aquella época N=1) a partir de ciertas simplificaciones en teoría de cuerdas.
Desarrollando una técnica llamada “método unitario” que permite calcular los términos perturbativos a bajo orden utilizando esta analogía.
En general, esta técnica permite calcular de forma eficiente ciertas amplitudes de probabilidad de procesos (de dispersión o scattering) en teorías de Yang-Mills supersimétricas (superYM) gracias a las relaciones de Kawai-Lewellen-Tye (KLT) entre amplitudes para cuerdas abiertas y cerradas (1997).
¿Y esto qué tiene que ver con la supergravedad?
Se descubrió que los términos perturbativos gravitatorios se pueden factorizar en productos de términos perturbativos de Yang-Mills, en los que el método unitario es aplicable.
Algo prácticamente imposible de ver directamente, sale a la luz gracias a los avances matemáticos en el marco de la teoría de cuerdas.
En física de campos ordinaria hubiera sido imposible descubrir
algo como el método unitario.
Una vez descubierto, ya no se podrá prescindir de él
(igual que pasó con la renormalización dimensional).
Se pensaba que aparecían divergencias terribles en el cálculo de amplitudes de probabilidad en la supergravedad N=8 que implicaban que la teoría no servía para nada.
Hasta cuarto orden estas divergencias no aparecen.
Una sorpresa para todos, quizás,
estamos ante una nueva revolución en física teórica.
Todo lo expuesto es la idea que rige la defensa, claro no están puestas la gran cantidad de fórmulas y ecuaciones que dan forma a un algoritmo cuántico de bella imagen y sentires.
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