Matemáticos de América del Norte, Europa, Australia y América del Sur,
han resuelto los primeros casos de mil billones,
de un antiguo problema de matemáticas.
El avance fue posible gracias a una ingeniosa técnica
para multiplicar números grandes.
Los números implicados son tan enormes que si se
escribieran sus cifras a mano se extenderían hasta la luna y volverían.
El mayor desafío es que estos números ni siquiera
caben en la memoria principal de los ordenadores disponibles,
por lo que los investigadores tuvieron que hacer un uso extensivo
de los discos duros de estos ordenadores.
Según Brian Conrey, Director del Instituto Americano de Matemáticas,
"estos viejos problemas pueden parecer oscuros, pero generan una gran cantidad
de investigaciones útiles e interesantes,
así como nuevos desarrollos para ...
El problema.
que fue el primero en enunciarse hace más de mil años,
se refiere a las áreas de los triángulos rectángulos.
El problema es sorprendentemente difícil a la hora de determinar
cuáles son los números enteros del área de un triángulo rectángulo,
cuyos lados son números enteros o fracciones.
El área de dicho triángulo, se llama un "número congruente".
Por ejemplo, el triángulo 3-4-5 que los estudiantes ven en la geometría
tiene un área de 1/2 x 3 x 4 = 6,
por lo que 6 es un número congruente.
El número congruente más pequeño es 5,
que es el área del triángulo rectángulo con lados de 3/2, 20/3, y 41/6.
Los primeros números son congruentes son 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20 y 21.
Muchos números congruentes eran conocidos antes del nuevo cálculo.
Por ejemplo, cada número de la secuencia de 5, 13, 21, 29, 37, ...,
es un número congruente.
Sin embargo, otras secuencias de aspecto similar, como la 3, 11, 19, 27, 35, ....,
son más misteriosos y debe ser revisado individualmente.
El cálculo descubre 3.148.379.694 nuevos números congruentes,
hasta mil billones.
Consecuencias y planes futuros
El equipo de Bill Hart señaló que,
"lo parte difícil era desarrollar una biblioteca general rápida de códigos
de ordenador para hacer este tipo de cálculos.
Una vez puestos, no pasó mucho tiempo hasta escribir un programa especializado necesario para este cálculo en particular".
El software utilizado de libre acceso, y cualquier persona
con un ordenador adecuado puede usarlo para romper el récord
del equipo o hacer otros cálculos similares.
Además de los avances prácticos necesarios para este resultado,
la respuesta tiene también implicaciones teóricas.
Según el matemático Michael Rubinstein, de la Universidad de Waterloo,
"Hace algunos años, combinamos las ideas de la teoría de números y de la física, para predecir cómo se comportan los números congruentes estadísticamente.
Me complace comprobar que nuestra predicción era bastante precisa".
Fue Rubinstein quien desafió al equipo a intentar este cálculo.
El método de Rubinstein predice entre 800 mil millones números congruentes
hasta unos mil trillones, esta predicción se podría comprobar
si los equipos estuvieran dotados con un disco duro lo suficientemente grande.
Historia del problema
El problema de los número congruentes fue declarado por el matemático
persa Al-Karaji (953 - 1029).
Su versión no suponía triángulos, sino que se expresaba
en términos de números cuadrados,
números que son cuadrados de números enteros:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ..., o cuadrados de números racionales:
25/9, 49/100, 144/25, etc.
Él se preguntaba:
Si para cualesquiera números enteros n existe un cuadrado a2,
entonces ¿a2-n y a2+n son también cuadrados?
Cuando esto sucede, n se llama número congruente.
El nombre viene del hecho de que hay tres cuadrados
que son congruentes al módulo n. A Al-Karaji le influyo enormemente
la traducción al árabe de las obras del matemático griego
Diofanto (210 - 290), que planteaba problemas similares.
Se progresó un poco en los siguientes mil años.
En 1225, Fibonacci (de la "sucesión de Fibonacci"),
demostró que los números 5 y 7 eran congruentes,
y declaró, pero no demostró, que el 1 no es un número congruente.
La prueba fue proporcionada por Fermat
(de el "último teorema de Fermat") en 1659.
En 1915, los números congruentes menores de 100
ya habían sido determinados, y en 1952, Kurt Heegner,
introdujo profundas técnicas matemáticas en esta materia
y demostró que todos los números primos, en la secuencia de 5, 13, 21, 29, ...,
son congruentes. Sin embargo, para 1980 todavía había unos pocos casos,
menores de 1.000, que no habían sido resueltos.
Los modernos resultados
En 1982, Jerrold Tunnell, de la Universidad Rutgers,
hizo progresos significativos mediante la explotación de la conexión
(Heegner fue el primero en usarlo)
entre los números congruentes y las curvas elípticas,
objetos matemáticos para los que hay una bien establecida teoría.
Él halló una sencilla fórmula para determinar si un número era o no,
un número congruente.
Esto permitió que los primeros miles de casos
se resolvieran rápidamente.
Una cuestión es que la plena validez de su fórmula depende de la veracidad
de un caso particular, de uno de los problemas pendientes en las matemáticas, conocido como laConjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.
Esta conjetura es uno de los siete Problemas del Milenio,
planteados por el Instituto Clay de Matemáticas,
con un premio de un millón de dólares.
Los cálculos
Resultados como estos, son vistos a veces con escepticismo,
debido a la complejidad de llevar a cabo cálculos tan grandes,
y a la posibilidad de errores ya sea del ordenador o bien de la programación.
Los investigadores tomaron especial cuidado en verificar sus resultados,
haciendo el cálculo en dos ocasiones, en equipos diferentes,
y usando diferentes algoritmos, escritos por dos grupos independientes.
El equipo de Bill Hart (Universidad de Warwick, en Inglaterra)
y el de Gonzalo Tornaria (Universidad de la República, en Uruguay),
utilizaron el ordenador "Selmer" de la Universidad de Warwick.
Selmer está financiado por el Engineering and Physical Sciences Research Council
del Reino Unido.
El equipo de Mark Watkins (Universidad de Sydney, en Australia),
David Harvey (Courant Institute, New York University, en Nueva York)
y de Robert Bradshaw (Universidad de Washington, en Seattle)
usaron el ordenador "Sage", de la Universidad de Washington.
Sage es un proyecto financiado por la National Science Foundation de EE.UU.
El código del equipo fue desarrollado durante un taller, en el Centro de Ciencias
de Benasque Pedro Pascual, en Benasque, España, en julio de 2009.
Ambos talleres financiados por el Instituto Americano de Matemáticas,
a través de una beca del Focused Research Group de la Fundación Nacional
de Ciencias.
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