La teoría de las cascadas de bifurcaciones de periodo doble:
Rutas genéricas para la aparición del caos determinista
Una ruta hacia el caos es un mecanismo por el cual un sistema dinámico
con un parámetro pasa de un estado no caótico
a un estado caótico determinista conforme varía dicho parámetro.
La ruta hacia el caos más famosa es una cascada de bifurcaciones
de periodo doble.
Se conocen muchos ejemplos pero no hay una teoría genérica
sobre este tipo de rutas.
Sander y Yorke nos presentan el nacimiento de dicha teoría,
la Teoría de las Cascadas de Periodo Doble,
en un artículo que acabará siendo publicado en PRL
(tiempo al tiempo).
Habitualmente un sistema dinámico que presenta una cascada
de este tipo presenta también infinitas más.
Sander y Yorke lo demuestran en dimensión 1 y 2 y lo conjeturan
en dimensión arbitraria.
Hay que recordar que el caos no se da en sistemas dinámicos continuos (ecuaciones diferenciales ordinarias) en dichas dimensiones,
pero sí en los discretos (aplicaciones o maps, en inglés).
Aunque los autores no lo conjeturan explícitamente en su artículo,
parece cantado conjeturar dicho resultado también en dimensión mayor de 2.
El artículo técnico es Evelyn Sander, James A. Yorke,
“The cascades route to chaos,” ArXiv, Submitted on 19 Oct 2009.
En la figura que abre esta entrada se presenta el diagrama de bifurcaciones
de la aplicación logística.
Conforme mu crece acercándose a un punto de acumulación en 3,5699457…
se observa una sucesión infinita de bifurcaciones de periodo doble, que duplica
el número de órbitas periódicas de periodo par hasta alcanzar virtualmente
un valor infinito, tras el cual aparece una ventana con un periodo impar.
La más curiosa de estas ventanas es la ventana de periodo 3
que aparece alrededor de 3,8284…
Este comportamiento es bastante genérico y se observa
en gran número de modelos discretos con aplicaciones prácticas.
Sander y Yorke han demostrado (en dimensión 1 (como la aplicación logística)
y 2) que en un sistema discreto que presenta una cascada de bifurcaciones
de doble periodo toda órbita periódica es parte de una cascada,
luego hay siempre infinitas cascadas en un sistema caótico.
Este comportamiento es genérico bajo hipótesis muy generales
en el sistema discreto. Por ejemplo, si un sistema presenta
sólo un número finito de cascadas (y cumple las condiciones del teorema), entonces no es caótico.
Los resultados de Sande y Yorke muestran que las cascadas
de doble periodo son tan fundamentales como las órbitas periódicas.
francisthemule
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