miércoles, 11 de mayo de 2011

Entrelazar una partícula con una memoria cuántica permite medir su posición y velocidad con mayor precisión de la permitida por el principio de incertidumbre de Heisenberg



El principio de incertidumbre de Heisenberg afirma que la medida simultánea de dos propiedades complementarias (como la posición y la velocidad)
 está sujeta a un error imposible de mejorar 
(Δx·Δp≥h/(4π)). 


Conocer muy bien  una de ellas es conocer muy mal la otra. 
Si  entrelazamos la partícula con una memoria cuántica podemos 
medir ambas propiedades complementarias con una precisión mayor
 que la permitida por el principio de incertidumbre, 
limitada ahora solo por el grado de entrelazamiento. 

La memoria cuántica incrementa su entropía permitiendo que la incertidumbre en ambas magnitudes complementarias se reduzca sin límite. 

Este resultado fue conjeturado en un artículo publicado en PRL en 2011
 y ahora se demuestra en un artículo teórico publicado en Nature Physics. 

Los autores creen que en unos años se podrá verificar su predicción de forma experimental gracias a los avances en memorias cuánticas. 
La teoría de la información cuántica revoluciona nuestra comprensión íntima de la mecánica cuántica y el entrelazamiento (entanglement) se nos revele más sutil cada día que pasa. 

El nuevo trabajo teórico de físicos de la Universidad de Ludwig-Maximilians, Munich, Alemania, y del ETH de Zürich, Suiza, podría tener aplicaciones
 en criptografía cuántica para el cifrado seguro de mensajes.

 El artículo técnico es Mario Berta, Matthias Christand, Roger Colbeck, Joseph M. Renes, Renato Renner, “The uncertainty principle in the presence of quantum memory,” Nature Physics, Published online: 25 April 2011 
(la demostración del teorema aparece en la información suplementaria)
y el artículo está disponible gratis en ArXiv. 

La conjetura se presentó en Joseph M. Renes, Jean-Christian Boileau, “Conjectured Strong Complementary Information Tradeoff,” Phys. Rev. Lett. 103: 020402, 2011 [ArXiv]. 

Se han hecho eco del artículo varios medios como “More accurate than Heisenberg allows? – Uncertainty in the presence of a quantum memory,” AlphaGalileo, 27 april de 2011; ”More Accurate Than Heisenberg Allows? Uncertainty in the Presence of a Quantum Memory,” ScienceDaily, April 27, 2011;  ”Position and momentum can be predicted more precisely than Heisenberg’s Uncertainty Principle and Provide a Measurement of Entanglement,” Next Big Future, April 28, 2011.

El protocolo de medida más allá del principio de incertidumbre es el siguiente. 

(1) Bob envía una partícula a Alicia que ha 
sido entrelazada con una memoria cuántica. 

(2) Alicia puede medir cualquiera de las dos propiedades complementarias
 R o S y anotar el resultado. 

(3) Alicia anuncia su medida a Bob por un canal clásico.

 La nueva relación de incertidumbre afirma que gracias a la repetición 
de este protocolo Bob puede llegar a conocer los valores de ambas propiedades complementarias R y S con mayor precisión que la permitida 
por el principio de incertidumbre de Heisenberg, 
limitado solo por el grado de entrelazamiento entre la partícula
 y la memoria cuántica.

 A priori este grado de entrelazamiento puede ser arbitrario, 
ya que no se conoce ninguna ley física que lo limite.

 Lo más interesante de este resultado no es obtener medidas más precisas
 de variables complementarias sino que este protocolo permite medir experimentalmente el grado de entrelazamiento entre la partícula 
y la memoria cuántica, algo que tendrá mucha utilidad 
en computación cuántica.

Aclaración para todos: 

El principio de incertidumbre de Heisenberg es el principio fundamental 
de la mecánica cuántica y desempeña un papel central en computación cuántica, ya que establece un límite a la precisión con la que se puede determinar el estado cuántico de un sistema. 

La mecánica cuántica nos dice que la medida de un parámetro
 (posición o velocidad) puede perturbar el propio estado de la partícula. 

Si hubiera que medir la posición de una partícula con precisión infinita, 
no se sabría nada sobre su momento (velocidad). 

La criptografía cuántica utiliza este tipo de efectos para cifrar datos. 

Se entrelazan (correlacionan) dos partículas cuánticas de forma
 que la medición de cierta propiedad en una de ellas determina de 
el valor de dicha propiedad en la otra. 

Cualquier observación por un intruso de dicho estado lo altera
 y se puede detectar su presencia.

Los investigadores han demostrado que el resultado de una medición 
sobre una partícula cuántica se puede predecir con mayor exactitud 
si la información sobre la partícula está disponible en una memoria cuántica. 

La nueva versión del Principio de Incertidumbre tiene en cuenta el efecto 
de una memoria cuántica. 

Cuando la partícula está altamente entrelazada con la memoria cuántica, 
esta acapara parte de la incertidumbre y relaja la incertidumbre entre 
la posición y el momento propios de la partícula.

 El desorden o la incertidumbre en el estado de la partícula depende 
de la información almacenada en la memoria cuántica. 

Según los autores del artículo es como observar un montón d
e papeles

 sobre una mesa de escritorio. 



Con frecuencia parecen estar completamente desordenados,

 salvo para la persona que los puso cada uno en su lugar.

Lo más importante del nuevo resultado es que permite medir 
el grado de entrelazamiento entre una partícula y una memoria cuántica.

 Pero también tiene otras aplicaciones. 

Por ejemplo, se podría usar para poner a prueba la seguridad de los sistemas criptográficos cuánticos actuales ya que están limitados por el Principio 
de Incertidumbre de Heisenberg y el nuevo resultado permite estudiarlos 
más allá de lo permitido por dicho principio.

Aclaración solo para físicos: 

El principio de incertidumbre de Heinserberg restringe el conocimiento 
que un observador puede obtener de las propiedades de un sistema físico. 

Esta restricción en nuestro conocmiento se suele cuantificar utilizando
 las desviaciones estándares. 

Para el observable R se tiene que 

\Delta R = \sqrt{\langle R^2 \rangle - \langle R \rangle^2 }, 

donde \langle R\rangle es el valor esperado en la medida de R.

 Para dos observables complementarios, sean R y S,
 el principio de Heisenberg se escribe en función de su conmutador como

\Delta R \cdot\Delta S\geq\frac{1}{2}|\langle[R,S]\rangle|.

La teoría de la información (cuántica) permite escribir este resultado
 en función de la entropía de Shannon de la siguiente forma

H(R)+H(S)\geq \log_2 \frac{1}{c},

donde H(R) es la entropía de Shannon de la distribución de probabilidad 
de los resultados de la medida de R. El término {1}/{c} cuantifica el grado 
de complementaridad entre los observables de la misma forma que lo hace
 el conmutador de los operadores. 

En el caso de observables no degenerados

 c = \max_{j, k} |\langle{\psi_j}|{\phi_k}\rangle|^2,

 donde |{\psi_j}\rangle y |{\phi_k}\rangle 

son los autovectores asociados a los observables R y S, respectivamente.

El juego de la incertidumbre ilustra esta relación de indeterminación.

 Los dos jugadores son Alicia y Bob. Antes de empezar a jugar, 
Alicia y Bob están de acuerdo en medir dos observables complementarios,
 R y S. 

Durante el juego, Bob crea un estado cuántico a su elección 
y se lo envía a Alicia. 

Alicia a continuación realiza una de las dos medidas posibles 
y anuncia su elección a Bob.

 La tarea de Bob es tratar de reducir al mínimo su incertidumbre 
sobre el resultado de la medición de Alicia.

 Ver la figura que abre esta entrada. 

La ecuación anterior acota la incertidumbre de Bob
 en el caso de que no posea una memoria cuántica.

Bob puede mejorar su incertidumbre si utiliza una memoria cuántica. 

Más aún, en el caso de que el entrelazamiento entre esta memoria 
y el estado que recibe de Alicia sea máximo, 
puede reducir la incertidumbre hasta cero (sin límite ínfimo)
 para ambos observables complementarios. 

Sea cual sea la medida elegida por Alicia, 
hay una medida en la memoria cuántica de Bob que da el mismo resultado que Alicia ha obtenido, de tal forma que las incertidumbrs de los observables H(R) y H(S) se anulan, violando el principio de incertidumbre de Heisenberg. 

En general, Bob no podrá lograr que el entrelazamiento entre su memoria cuántica y el estado enviado por Alicia sea máximo. 

Aún así, la presencia de la memoria cuántica cambia la desigualdad 
sobre las incertidumbres de las medidas de tal forma que incorpora 
un término que dependerá de la cantidad de entrelazamiento entre 
el sistema A y la memoria cuántica B. 

El resultado (previamente conjeturado y ahora ya demostrado) 
es:

H(R|B)+H(S|B)\geq\log_2\frac{1}{c}+H(A|B).

La incertidumbre de Bob sobre el resultado de la medida de R se denota mediante la entropía condicional de von Neumann H(R|B),
 que generaliza la entropía de Shannon H(R) al caso en el que Bob tiene una memoria cuántica B. 

Lo mismo ocurre para el observable S. 

Técnicamente la entropía condicional de von Neumann está dada por
\rho_{AB} es el estado conjunto del sistema y de la memoria y |{\psi_j}\rangle 
son los autovectores del observable R

El término adicional en el miembro derecho de la nueva desigualdad,
 H(A|B), cuantifica el grado de entrelazamiento
 entre el sistema y la memoria.

El artículo técnico discute varias circunstancias que paso a enumerar.

[1] Si el estado del sistema A y el de la memoria B están entrelazados 
de forma máxima, entonces H(A|B)=-\log_2 d, 
donde d es la dimensión del sistema enviado a Alicia 
(nota que H(A|B) tiene un valor negativo). 

Como \log_2\frac{1}{c} no puede ser mayor que \log_2 d,
 la nueva relación de incertidumbre se reduce 

a H(R|B)+H(S|B)\geq 0, 

una relación trivial ya que la entropía condicional 
del sistema tras la maedida no puede ser negativa. 

En este caso Bob puede conocer con exactitud perfecta los valores 
de los dos observables complementarios
 (violando la desigualdad de Heisenberg).

[2] Si el sistema A y la memoria B no están entrelazados,
 entonces H(A|B)\geq 0. 
Como H(R|B) \leq H(R) y H(S|B) \leq H(S), 
para todos los estados, la nueva relación de incertidumbre 
se reduce a la relación de indeterminación de Heisenberg convencional.

[3] Si Bob no tiene una memoria cuántica, 
la nueva relación de incertidumbre se reduce a

H(R)+H(S)\geq\log_2\frac{1}{c}+H(A).

 Si el estado del sistema es un estado puro, entonces H(A)=0 
y obtenemos la relación de incertidumbre de Heisenberg. 

Sin embargo, si el sitema está en un estado mezcla,
 entonces H(A)>0 y el resultado
 es una relación de incertidumbre más fuerte que la relación de Heisenberg. Este resultado es bien conocido en mecánica cuántica y no es novedoso.

[4] El caso más interesando es cuando el sistema y la memoria
están entrelazados, pero no de forma máxima. 
En dicho caso, la entropía condicional H(A|B) puede ser utilizada 
como medida para cuantificar el grado de entrelazamiento entre el sistema 
y la memoria. 

El nuevo resultado tiene una aplicación muy importante en el futuro desarrollo de la computación cuántica, posibilitando la medida del grado 
de entrelazamiento entre sistemas de cubits. 

Además, puede tener aplicaciones en cifrado cuántico. 
El artículo técnico discute con cierto detalle su aplicación al protocolo 
de distribución de claves cuánticas BB84. 

No entraré en más detalles técnicos que nos alejarían 
del objetivo divulgativo de esta entrada.

Por supuesto, recomiendo la lectura del artículo técnico a todos los físicos,
 a los que espero haber dejado buen sabor de boca con esta incursión técnica.
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