alquimiayciencias: Cuerdas Clásicas: Acción de Nambu-Goto

Vamos a empezar a describir una cuerda clásicamente.

Este en principio es un paso natural una vez hemos aprendido a como se describe la partícula relativista.

En esta primera entrada simplemente expondremos como hallar la acción de una cuerda en su evolución en el espaciotiempo.

La cuerda

Ya vimos que para escribir la ecuación de movimiento de una partícula relativista lo que hacíamos era extremar (la variación se anula) la acción de la misma a lo largo de su línea de mundo.

Y dicha acción no era más que la integral del intervalo relativista.

Las partículas describen una curva que se denomina línea de mundo que son el conjunto de puntos en el espaciotiempo que ha ido ocupando la partícula en su evolución dinámica:

Si queremos trabajar con cuerdas lo primero que hemos de hacer es definirlas:

Una cuerda es un objeto unidimensional que en su evolución en el espaciotiempo describe una superficie denominada hoja de mundo.

Las cuerdas pueden ser abiertas o cerradas, así tendremos hojas de mundo abiertas o cerradas:

Recordemos que estamos trabajando con un espaciotiempo de D=1+d dimensiones, donde una de ellas corresponde al tiempo y las d restantes corresponden a coordenadas espaciales.

Al trabajar la línea de mundo de una partícula las coordenadas espaciotemporales dependían de un parámetro $\tau$ que identificaba los puntos de la cuerda respecto a un sistema de referencia solidario:

$(X^0(\tau),X^1(\tau),\dots,X^d(\tau))$

En el caso de la cuerda tenemos que trabajar con superficies bidimensionales correspondientes a la hoja de mundo, por lo tanto para identificar puntos en dicha hoja necesitamos dos coordenadas que llamaremos $(\tau,\sigma)$ :

Con lo que las coordenadas del espaciotiempo en D=1+d dimensiones serán función de las dos coordenadas sobre la hoja:

$X^\mu(\tau,\sigma)$

Se puede considerar que $\tau$ nos da el tiempo en la hoja de mundo y que $\sigma$ nos da la posición.

Siendo un poco más explícitos, las coordenadas espaciotemporales serán:

$(X^0(\tau,\sigma),X^1(\tau,\sigma),\dots,X^d(\tau,\sigma))$

La acción de la cuerda

Al igual que en el caso de la partícula la acción venía dada por la integral del elemento de intervalo relativista $S=-m\int ds$ , en este caso lo que tendremos que usar para definir la acción de la cuerda será el área que cubre en el espaciotiempo durante su evolución:

$S=-T\int dA$

donde T es un parámetro que se denomina tensión de la cuerda y dA es el elemento diferencial de la hoja de mundo subtendida por la cuerda.

Dado que la forma anterior de la acción no es muy amable a la hora de hacer cálculos vamos a manipularla un poco.

Para ello trabajaremos en general con un espacio de dos dimensiones (que corresponde a la hoja de mundo) con coordenadas $\xi^\alpha$ , donde $\alpha$ toma los valores 1,2 y se corresponden con:

$\xi^1=\tau$ y $\xi^2=\sigma$

pero resulta más cómodo trabajar con toda generalidad.

Nota: Los índices griegos correspondientes a las primeras letras del alfabeto son índices en la hoja de mundo y toman valores 1,2.

Los índices griegos correspondientes a las letras a partir de la mitad del alfabeto son índices del espaciotiempo y toman valores desde 0 hasta d.

Ahora calculemos el intervalo relativista en nuestro espaciotiempo:

$ds^2=-\eta_{\mu\nu}dX^\mu dX^\nu$

Dado que las coordenadas espaciotemporales son funciones de las coordenadas de la hoja de mundo $X^\mu(\xi^\alpha)$ la expresión anterior la podemos escribir como:

$ds^2=-\eta_{\mu\nu}\dfrac{\partial X^\mu}{\partial \xi^\alpha}\dfrac{\partial X^\nu}{\partial \xi^\beta}d\xi^\alpha d\xi^\beta$

Pero hemos de darnos cuenta que aquí estamos definiendo una restricción de la métrica espaciotemporal de Minkowski (que vive en D dimensiones) a la hoja de mundo bidimensional obteniendo una métrica $\gamma_{\alpha\beta}$ que llamaremos métrica inducida:

$\gamma_{\alpha\beta}=\eta_{\mu\nu}\dfrac{\partial X^\mu}{\partial \xi^\alpha}\dfrac{\partial X^\nu}{\partial \xi^\beta}$

Esta métrica es la que determina las distancias en la hoja de mundo y es claramente inducida por la métrica del espaciotiempo que contiene a la cuerda, la métrica de Minkowski en D dimensiones.

Ahora, en la hoja de mundo podemos calcular distancias como:

$ds^2=\gamma_{\alpha\beta}d\xi^\alpha d\xi^\beta$

Calculemos ahora las componentes de la métrica inducida:

Para ello usaremos la siguiente notación: $\dot{X}^\mu=\dfrac{\partial X^\mu}{\partial \tau}$ y $X'^\mu=\dfrac{\partial X^\mu}{\partial \sigma}$ .

Es fácil comprobar (se puede considerar un ejercicio fácil):

1.- $\gamma_{11}=\gamma_{\tau\tau}=\eta_{\mu\nu}\dfrac{\partial X^\mu}{\partial \tau}\dfrac{\partial X^\nu}{\partial \tau}=\dot{X}^2$

2.- $\gamma_{\tau\sigma}=\gamma_{\sigma\tau}=\dot{X}\dot X'$ Recordemos que la métrica ha de ser simétrica.

3.- $\gamma_{\sigma\sigma}=X'^2$

En forma matricial:

$\gamma_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix}\dot{X}^2&\dot{X}\dot X'\\ \dot{X}\dot X'&X'^2\end{pmatrix}$

Y el determinante:

$\gamma=det \gamma_{\alpha\beta}=\dot{X}^2X'^2-(\dot{X}\dot X')^2$ .

Ahora, por geometría diferencial se sabe que el elemento de área de una superficie con coordenadas $\xi$ y métrica $G_{\alpha\beta}$ viene dada por: