Gauge esto, Gauge lo otro… ¿Qué es una teoría gauge?

La palabra gauge la encontramos por doquier en los escritos sobre física. 

Aparecen expresiones como simetría gauge, invariancia gauge, bosones gauge, teorías gauge, etc. 

Sin embargo, pocas veces se explica con propiedad qué es esta teoría, por qué es tan fundamental y cómo la entienden y por qué la veneran tanto los físicos.

En esta entrada pretendemos algo que nos da un poco de vértigo, explicar qué es una simetría gauge y por qué es tan importante sin emplear matemáticas. 

Tenemos esta entrada en mente desde hace mucho tiempo pero no hemos sido capaces hasta ahora de ponernos de acuerdo en la forma más adecuada de exponerla. 

Explicar matemáticamente la teoría gauge no tiene ningún mérito, puede que haya que manejar algunas cosas matemáticas muy guays y “difíciles” pero al fin y al cabo sólo es cuestión de estudiarselas.  

Sin embargo, nuestra experiencia nos dice que cuando se le pregunta a un físico ¿qué es una teoría gauge? 

le entra un sudor frío (lo sabemos por experiencia).

Así que vamos a intentarlo, si aclaramos algo mejor, si todo queda oscuro y acaba siendo un galimatías entonaremos el mea culpa.

Nota:  La entrada ha quedado un poco larga pero hemos intentado ser dar explicaciones lo más detalladas posibles, esperamos que guste.

Simetrías y Física

Un punto esencial de la física es que viene descrita por observadores, que podemos pensar que somos nosotros haciendo medidas y definiendo objetos matemáticos para representar los conceptos físicos.

No menos importante es el principio, que algunos llaman principio Copernicano, de que ningún observador es mejor que otro para explicar un fenómeno. 

Así pues, aunque cada observador tenga toda la libertad para explicar a su manera (con sus medidas y sus fórmulas) un suceso, la física exige que cuando traduzcamos las conclusiones de un observador a otro, observando el mismo fenómeno, los resultados sean iguales.  

Esto dicho de otro modo es:

La física ha de ser independiente del observador.

Entonces, uno puede estudiar un fenómeno aquí o en Beijing, a las tres de la tarde o a las tres de la mañana, mirando al este o al oeste. 

El caso es que todos los observadores que miren el fenómeno han de coincidir en su resultado. 

Tal vez, los números que obtengan los diferentes observadores no coincidan, pero la teoría nos ha de proporcionar herramientas que traduzcan los resultados obtenidos por cada observador en todos los demás de forma que coincidan unos con otros.  

A estas transformaciones se las denominan transformaciones de simetría.

Tal y como lo hemos expresado esto da lugar a los distintos principios de relatividad. 

Un principio de relatividad se basa en dos cosas, cuales son los observadores elegidos para describir los fenómenos y las transformaciones entre ellos y qué leyes físicas permanecen invariantes al cambiar de un observador a otro. 

Simetrías espaciotemporales

Nosotros vivimos en el espaciotiempo. 

Identificamos los sucesos por cuatro numeritos, tres de ellos nos dan su ubicación espacial (x,y,z), mi padre diría el largo, el ancho y el alto, y otro nos dice cuándo ocurrió t, el tiempo.

Imaginemos que queremos estudiar un fenómeno físico, un péndulo oscilando por decir algo, en nuestro laboratorio.  

Dicho laboratorio nos da un marco de referencia. 

Podemos pintar tres ejes en él y dar las coordenadas del péndulo respecto a ese sistema de coordenadas de referencia. 

 Y además tenemos un reloj en el laboratorio para poder determinar la duración del fenómeno.

Pero uno puede hacer diversas transformaciones:

- Podemos rotar el laboratorio y hacer medidas.

- Podemos trasladar sólidamente de un punto nuestro laboratorio.

- Podemos tener un laboratorio en movimiento respecto al nuestro laboratorio donde también observan el mismo péndulo oscilando.

- Podemos estudiar el péndulo a las nueve de la mañana o a las siete de la tarde.

A las leyes físicas todo esto les da igual, no se inmutan por estas tonterías. Se dice entonces que las leyes físicas son invariante bajo rotaciones, traslaciones, boost y traslaciones temporales.

Esto es importantísimo para la física porque la señora Emmy Nöther (o Noether), una de las

 más grandes matemáticas de la historia, nos proporcionó un teorema espectacular:

Toda transformación continua que deja invariante las leyes físicas tiene una cantidad conservada asociada.

El teorema Nöther nos habla de transformaciones continuas. 

 Estas son aquellas que se pueden realizar de manera continua, es decir, sin saltos.

Rotaciones, traslaciones espaciales y temporales y boost son de este tipo.

 Es evidente que para rotar algo 30º primero hay que rotarlo 10º, luego 15º y así sucesivamente. 

O dicho de otro modo, podemos hacer una rotación tan pequeña como queramos. 

Igual pasa con las traslaciones espaciales y temporales y con los distintos sistemas a distintas velocidades.

Pues bien, este teorema nos proporciona lo siguiente:

-  La invariancia bajo traslaciones temporales tiene como cantidad conservada la Energía del sistema.

-  La invariancia bajo traslaciones espaciales tiene como cantidad conservada el momento lineal del sistema.

- La invariancia bajo rotaciones tiene como cantidad conservada el momento angular del sistema.

Está claro que estas son simetrías espaciotemporales, no hay duda al respecto, porque lo que hacen es ser invariantes frente a cambios en las coordenadas del observador producidas por cosas que pasan en el espacio y el tiempo, como la rotaciones y todo el rollo que hemos soltado.

Pero los físicos siempre van un poquito más allá y lo complican todo y nos salen con simetrías internas, ¿qué es eso?

Simetrías Internas = Simetrías Gauge

El caso es que los físicos se dieron cuenta de que las partículas tenían algunas características que no estaban relacionadas con el espaciotiempo. Hay cosas como el espín, el isospín, etc, que son claves para entender cómo se comportan las partículas pero que no están relacionadas con el espaciotiempo, es decir, son cosas que no dependen del punto en el que se encuentre la partícula ni del tiempo. 

 Entonces los físicos llaman a esto propiedades internas de las partículas.

¿Cómo entiende un físico esto de las propiedades internas?

Estamos de acuerdo con que nosotros sólo podemos describir las cosas físicas con matemáticas. 

Y generalmente tenemos que usar funciones que dependen de ciertas coordenadas.

Pero claro, si hay cosas que no dependen de (x,y,z) o t,

 ¿cómo expresamos su comportamiento? 

¿dónde viven esas cosas?

Pues los físicos y matemáticos encontraron la solución. 

En cada punto del espacio le asociamos un espacio matemático donde las propiedades internas toman sus valores.

 Este espacio puede ser un círculo, una esfera, un sistema de dos ejes, de tres, y cosas mucho más chachis.  

 Como ejemplo esta figura:

La malla rectangular representa nuestro espaciotiempo, y en cada punto del mismo tenemos un espacio interno donde ciertas propiedades toman sus valores de forma independiente a las coordenadas espaciotemporales.

¿Esto para que es bueno? 

Hay que ser pacientes, estamos a punto de llegar a lo interesante.

Modificando cosas en el espacio interno

1.- Tomemos una visión más simple, tenemos nuestro espaciotiempo y en cada punto un espacio interno que es una circunferencia:

2.-  Si tengo una partícula que se mueve en el espaciotiempo y además ve ese espacio interno, el estado de la partícula vendrá dado por sus coordenadas espaciales, el tiempo y el valor que tome en dicha circunferencia (tendremos un ángulo entre 0 y 360º, nos da igual donde poner el origen de ángulos). 

Ahora supongamos que en todos los puntos del espaciotiempo, dicha partícula tiene el mismo valor en el espacio interno:

3.-  Ahora cambiamos el ángulo en todos los espacios internos en cada punto del espaciotiempo, a este cambio lo llamamos transformación gauge:

Diremos que tenemos una simetría interna o mejor dicho, una simetría gauge si al efectuar dicho cambio del ángulo en el espacio interno en todo

 el espaciotiempo las leyes de la física permanecen invariantes.

Pero según Nöther todo cambio continuo que deja invariantes las leyes físicas tiene asociada una cantidad conservada. 

Pues bien, este proceso que hemos visto aquí es lo que se conoce como invariancia bajo cambios de fase (una fasegroso modo es simplemente 

un ángulo) o invariancia U(1), (esto es una pijada matemática) y tiene como cantidad conservada asociada… la carga eléctrica.

Es decir, cuando describo un electrón, la función que lo describe depende del espacio (x,y,z) y del tiempo, t. 

Pero además tiene una dependencia en un ángulo que vive en un espacio interno que es una circunferencia, el grupo U(1) para los inciados, y resulta que si cambiamos en todos los puntos dicho angulo en la misma cantidad nos dice que la carga eléctrica es una cantidad conservada, como hemos constatado experimentalmente en todos los experimentos realizados hasta la fecha.

Recapitulando, la carga eléctrica es lo que le permite a las partículas ver ese espacio interno que es un circulito en cada punto del espacio. 

Las partículas sin carga no ven dicho espaciointerno y por lo tanto son insensibles al cambio de ángulo en el mismo.

De lo global a lo local

Hasta aquí hemos introducido lo que se conoce como simetría gauge, que es una simetría que tiene que ver con que las leyes de la física queden invariantes cuando hacemos transformaciones en espacios internos, es decir, correspondientes a propiedades de las partículas que no están relacionadas con el espaciotiempo.

Sin embargo, un lector avispado puede estar mosca ahora mismo. 

 Hemos empezado diciendo que podemos tener multitud de observadores y que cada uno puede asignar de la manera que quiera coordenadas y ahora, por supuesto, puede fijar a su gusto donde poner el origen del espaciointerno. 

 Es decir, que cada uno podrá asignar el ángulo que le de la gana:

Ahora cada uno puede hacer una transformación del ángulo en el espacio interno, es decir, pueden hacer una transformación gauge:

Uno aún puede exigir que la física sea invariante frente a este tipo de transformaciones gauge locales (cada observador en cada punto hace una transformación distinta en contraposición con el caso explicado en la sección anterior que era una transformación gauge global).

Pero aquí viene la magia, ¿por qué?

 Porque ahora tenemos el problema de que hemos de comparar las transformaciones que ha hecho cada observador, es decir, si la flecha apunta al mismo punto de la circunferencia o no. 

Pero como cada observador tiene la libertad para hacer su transformación local tenemos que encontrar un criterio para comparar entre dos transformaciones. de dos observadores.

 Y cuando encontramos dicho criterio que nos permite comparar hacia donde apuntan las flechas que identifican los ángulos en las circunferencias que representan los espacios internos lo que tenemos entre manos es un potencial. 

Sí, un potencial y sabemos que los potenciales determinan la forma que tienen de interactuar las partículas.

En el caso que nos ocupa, lo que obtenemos es el potencial electromagnético, es decir, dicho potencial electromagnético es la receta que nos permita comparar entre las transformaciones gauge locales en distintos puntos del espaciotiempo. 

Por lo tanto, si uno exige la invariancia gauge local lo que obtiene es que tiene que haber una interacción entre partículas que ven ese espacio interno, en este caso, partículas cargadas electricamente.

 Y cuando uno va al régimen cuántico lo que encuentra es una partícula asociada a este potencial, en nuestro caso el fotón, que por eso se llama bosón gauge.

Modelo Estándar

Todo nuestro entendimiento de la física de partículas yace en las teorías gauge. Ellas explican cargas conservadas como la carga eléctrica, el isospín, el color de los quarks, etc, cuando se consideran como invariancias frente a transformaciones globales.  

Y además introducen las interacciones electromagnéticas, débil y fuerte a través de invariancia frente a transformaciones gauge locales.

Cuando se lee por ahí que el modelo estándar es una teoría U(1)xSU(2)xSU(3) eso indica qué tipo de espacio interno tenemos entre manos y cuales son las transformaciones gauge.  

Explicaremos eso de forma técnica en el curso de introducción a la teoría cuántica de campos.

Para matemáticos o gente con alma de matemático

Lo que hemos explicado aquí es lo siguiente, brevemente y sin contemplaciones:

1.-  El espaciotiempo se considera la variedad base de un fibrado principal de grupo estructural dado, que en física se denomina grupo gauge.

2.-  Los grupos más comunes son los grupos de Lie unitarios o especiales unitarios como U(1), SU(2), SU(3) etc.

3.-  Uno elige una sección de dicho fibrado y tiene que elegir una noción de paralelismo, para ello construye una conexión que generalmente toma valores en el álgebra del grupo y que en física es el potencial o campo gauge.

Por ello en las teorías gauge, teorías que presentan algún tipo de invariancia bajo transformaciones gauge locales, se usan extensamente los fibrados, la teoría de conexiones, holonomías y demás divertimentos como el grupo de homotopía, homología etc.  

Sin duda, es un campo excepcional para los físicos y matemáticos con inclinación a la geometría diferencial aplicada a la física.

Esperamos que al menos haya podido transmitir algo de este tema.