alquimiayciencias: Mecánica Lagrangiana

domingo, 9 de octubre de 2011

Consideremos una partícula de masa m sometida a una fuerza de Hooke

F=-kx.

Encontrar la ecuación del movimiento empleando el método Lagrangiano.

Ayuda: El movimiento es en una única dimensión.

Hemos dado la fuerza, recordar que en este caso el potencial se recupera por integración directa.

Solución:

Vamos a construir la Lagrangiana.

Primero construimos la energía cinética:

$T=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2$

Ahora calculamos el potencial, para ello hacemos una integral:

$F=-\dfrac{dV}{dx}$

El potencial diferencial será:

$dV=-Fdx$

Integrando (con los límites de integración entre 0 y x):

$V=\int dV=-\int Fdx=-\int -kxdx=k\int xdx=k\dfrac{x^2}{2}$

Así pues:

$V=\dfrac{1}{2}kx^2$

Por lo tanto la Lagrangiana será:

$L=T-V=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-\dfrac{1}{2}kx^2$ .

Ahora aplicamos las ecuaciones de Euler-Lagrange:

$\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\dfrac{\partial L}{\partial x}=0$

Para lo que sigue hemos de recordar que las variables $x$ y $\dot{x}$

se tratan como independientes.

1.- Calculamos $\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}$

2.- Calculamos la derivada temporal de esta última expresión

y obtenemos $m\ddot{x}$ .

3.- Calculamos $\dfrac{\partial L}{\partial x}=-kx$ .

Uniendolo todo: $m\ddot{x}=-kx$ .

Si ahora modificamos un poco la expresión:

$\dfrac{d^2 x}{dt^2}+\omega^2 x=0$ donde $\omega^2 =k/m$ es la frecuencia del oscilador.

La anterior ecuación de movimiento es la que identifica

un movimiento armónico simple.

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