domingo, 4 de diciembre de 2011

Mi amigo se ha vuelto LOCO...

Estaba hablando con mi amigo el electrón y de repente se ha vuelto loco. 

 Ha empezado a temblar y a hacer cosas raras.

Le he preguntado que le pasa al electrón  y me respondió que padece de un “mal” llamado Zitterbewegung. 
 El Zitterbewegung es como un baile de San Vito de los electrones.
En esta entrada vamos a describir este Zitterbewegung. 
 Intentaré ser lo más claro posible y hacer la matemática lo más simple y visual que me permita mi capacidad.

Zitterbewegung


Esta es una palabra alemana compuesta por:
Bewegung = Movimiento
zitter =  tembloroso, traqueteo, tiriteo
Así que lo que nos habla es de un movimiento a lo largo de una trayectoria que a su vez tiene un temblor mientras se desarrolla el mismo.

Electrones y movimiento


Cuando queremos descubrir cómo se mueve un electrón tenemos que recurrir a la mecánica cuántica. Y aquí es donde empiezan las sorpresas.  
Intentaré hacer la cosa lo más visual posible porque no es algo muy conocido pero que con un poco de visualización es muy fácil de entender.
Como se ha discutido la evolución temporal (el movimiento) de las partículas cuánticas se describen por ecuaciones que son de tipo ondulatorio. 
Las ecuaciones más famosas son la ecuación de Schrödinger (para el caso no relativista, los electrones se mueven con velocidades menores a la de la luz) y la ecuación de Dirac (para el caso relativista, cuando los electrones se mueven con velocidades comparables a la velocidad de la luz en el vacío).  
Entonces veamos cómo se describe una partícula según estas ecuaciones en distintos casos.
Partícula libre
Supongamos que estamos describiendo un electrón libre, es decir, que no interactúa con nada.  
Está claro que este electrón tendrá una velocidad o un momento constante.  Es decir, si no hay interacciones entonces no hay cambios de velocidad.  
Es importante resaltar que lo que vamos a discutir aquí no depende de si estamos en el régimen relativista o en el régimen no relativista, podemos decir que esta es una característica inherente al movimiento de los electrones. Puntualizaremos algo más sobre este aspecto más adelante.
La cuántica nos dice que una partícula libre está representada por una función que es solución a la ecuación cuántica de evolución pertinente que equivale a una onda de frente plano:
Es decir, la onda se mueve en una dirección, y los frentes de onda son ortogonales a dicha dirección y dichos frentes tienen una extensión infinita.
Esto es muy interesante porque como sabemos existe eso que se llama el principio de indeterminación que nos dice que si conocemos el momento (velocidad) de una partícula entonces desconocemos totalmente la posición que ocupa y viceversa.
En una partícula libre hemos dicho que el momento no cambia, siempre es el mismo, entonces su posición está totalmente indeterminada.
  Si pensamos en la onda de frentes planos como representando la partícula, simplemente no sabemos donde se encuentra esta.
Paquetes de onda
¿Cómo podemos “localizar” una partícula? 
 Si queremos saber más o menos por dónde se mueve la partícula hemos de conseguir que la solución a las ecuaciones de onda nos den algo que uno pueda decir que está concentrado en una determinada posición.
Esto se consigue con lo que se llama paquetes de onda:
Eso es un paquete de onda.
Evidentemente eso parece que tiene una posición (promedio) determinada y que podemos seguirle el rastro.
¿Cómo se consigue un paquete de ondas?
Veamos:
Una onda plana tiene este aspecto matemático:
\psi(x,t)=Ae^{(-i\omega t+ikx)}
Aquí:  \omega es la frecuencia de la onda.  k es su momento. 
 De hecho esta onda representa un movimiento en el sentido positivo del eje X (no lo voy a demostrar, así que pido fe en este punto).
Pero resulta que si eso de ahí soluciona la ecuación “ondulatoria” del movimiento de la partícula cuántica, está también lo hace:
\psi(x,t)=Be^{(-i\omega t-ikx)}
Vemos que en este caso el momento ha cambiado de signo, eso quiere decir que la onda se mueve en el sentido negativo del eje X.
Es lógico que la solución admita partículas libres moviéndose en un sentido u otro de la dirección en la que se están moviendo ¿no?
Pues bien, un paquete de ondas es una “suma” de ondas planas de distintas frecuencias.  
Con esto se consigue una cosa INTERFERENCIA, así sumando adecuadamente ondas de distintas frecuencias se consiguen paquetes de onda reforzándose las ondas compuestas en algunas zonas y aniquilándose en otras.
Por tanto, si nuestra partícula se mueve en el sentido positivo del eje X pues usaremos la soluciones del primer tipo de onda plana sumando para distintos valores de la frecuencia \omega.  
Pero hay un detalle, esencialmente \omega=kc. 
 Por tanto para cada momento le corresponde una frecuencia.
  Así pues nuestro paquete será:
\psi_{paquete}(x,t)=\sum_{k_1}^{k_n} Ae^{-i\omega_k t + kx}
Aquí llamamos \omega_k a la frecuencia asociada al momento k. 
 Y el símbolo \sum_{k_1}^{k_n} sólo nos dice que estamos sumando momentos desde un valor k_1 hasta un valor k_n, n puede ser tan grande como queramos.
Recordemos eso de cuanto mejor el nuestro conocimiento de la posición peor es el conocimiento en el momento y viceversa. 
 Ahora el paquete tiene una posición más definida pero sin embargo ya no está compuesto por ondas de un único momento así que hemos perdido precisión en nuestro conocimiento del mismo.  
Todo cuadra. 
De hecho, si quiero localizar totalmente la partícula entonces tengo que sumar todos los momentos posibles y por tanto pierdo toda la información respecto al mismo.

Cuántica, relatividad, energía negativa y electrones nerviosos


Cuánticamente tenemos que la energía es esencialmente la frecuencia:
E=\hbar \omega
Así que dada la frecuencia sabemos la energía.
Si queremos hacer la cosa relativista entonces tenemos que aplicar la ecuación relativista de la energía:
E^2=m^2c^4+p^2c^2
Si tomamos la raíz cuadrada esto puede darnos dos signos:
E=\pm c\sqrt{m^2c^2+p^2}=\hbar(\pm \omega)
Lo que quiere decir que para un momento dado p=\hbar k tenemos un valor de la frecuencia positiva \omega o un valor negativo -\omega (implicando, energías positivas o negativas respectivamente).
Este es un efecto característico de intentar describir una partícula relativista en cuántica (hemos hablado de ello en las entradas relativas a la ecuación de Klein-Gordon en el curso de introducción a la teoría cuántica de campos).
El efecto que tiene eso en la determinación de la posición (promedio)
 x_{paquete} del paquete de ondas es el siguiente:
1.-  Construimos el paquete de ondas del electrón como hemos visto antes, sumando para distintos momentos.
2.-  Pero ahora por cada momento tenemos que introducir una onda con frecuencia positiva y otra con frecuencia negativa (para el mismo momento).
3.-  El paquete tendrá una determinada velocidad.  Entonces uno puede elegir estar moviéndose a la misma velocidad que el paquete.  Dicho de otro modo, estar en el sistema de referencia en el que el electrón está en reposo.
Deberíamos ver algo así:
4.-  Sin embargo, si hacemos eso vemos una cosa rara, la posición del electrón (del paquete que lo representa) empieza a oscilar.
Esto es debido a que las distintas frecuencias ahora interfieren de tal forma que las contribuciones  de frecuencias positivas y negativas hacen que la posición x_{paquete} oscile:
Así que lo que percibimos es un electrón tembloroso. 
Un electrón que no puede estar quieto y está nervioso. 
 Lo que vemos es que el paquete se concentra un poquito a la derecha y luego un poquito a la izquierda de donde esperábamos encontrar x_{paquete}.

Unas palabras sobre esto


Este efecto lo puso de manifiesto Schrödinger en 1930 en un artículo donde analizaba el movimiento de un electrón relativista libre.  
 Esto es así porque si combinamos este efecto deZitterbewegung con un electrón propagandose en una determinada dirección encontraremos:
Así podríamos interpretar el espín como el giro que hace la posición promedio del paquete alrededor de la dirección de movimiento.
Además el efecto no sólo se ha encontrado en la versión relativista de la mecánica cuántica sino que hay argumentos (más difíciles de justificar sin matemáticas) para su existencia en el régimen no relativista.
Pero bueno, aunque sólo nos centremos en el ámbito relativista de la cuántica estaría de lujo poder comprobar esto en un sistema donde los electrones fueran relativistas. 
Lo malo es que eso implica que son muy rápidos y hacer cosas con ellos experimentalmente es complicado… 
¡Oh, Espera! 
 Había un sitio donde los electrones se comportaban como partículas relativistas con una velocidad muy baja, el grafeno.
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