sobre Los Números Surreales.

Los Números Surreales fueron creados (¿o descubiertos?) por John H. Conway a principios de la década de 1970. 

Mi intención es iniciar con esta entrada una exposición de la definición de estos números, así como de sus operaciones y propiedades.

 Finalmente, quiero tomarlos como base para algunas reflexiones relativas a otras áreas de la Matemática, como por ejemplo el Análisis Matemático.

En palabras de Donald Knuth, que describió el sistema de Conway en un libro titulado, precisamente, Números Surreales (Editorial Reverté, España, 1979), estos números se construyen siguiendo dos reglas:

Regla 1: 

cada número surreal corresponde a dos conjuntos de números preexistentes tales que ningún elemento del conjunto izquierdo es mayor o igual que algún elemento del conjunto derecho.

Regla 2:

 un número es menor o igual que otro si y sólo si ningún elemento del conjunto izquierdo del primer número es mayor o igual que el segundo número y ningún elemento del conjunto derecho del segundo número es menor o igual que el primer número.

Es decir, los números surreales se van construyendo en pasos sucesivos.

 Un número surreal se define como un par de conjuntos, cada uno de ellos formado por números surreales construidos en pasos previos. 

Es decir, si x es un número surreal entonces x = (A,B), donde A y B son conjuntos de números creados previamente, con la condición de que ningún elemento de A sea mayor o igual que algún elemento de B.

La segunda regla nos dice cómo comparar números surreales. 

Si x = (A,B) e y = (C,D) entonces x es menor o igual que y si y sólo si se cumple:

Ningún elemento de A es mayor o igual que y.

Ningún elemento de D es menor o igual que x.

Desde luego, no hay ningún círculo vicioso en esta regla, ya que la comparación entre x e y se define a partir de la comparación de estos dos números con con otros que fueron creados previamente.

 Se trata entonces de una definición por inducción en el número de paso en que cada número fue creado.

El primer paso y la suma

Para comenzar recordemos las dos reglas de construcción de los números surreales:

Regla 1: 

cada número surreal corresponde a dos conjuntos de números preexistentes tales que ningún elemento del conjunto izquierdo es mayor o igual que algún elemento del conjunto derecho.

Regla 2: 

un número es menor o igual que otro si y sólo si ningún elemento del conjunto izquierdo del primer número es mayor o igual que el segundo número y ningún elemento del conjunto derecho del segundo número es menor o igual que el primer número.

Como dijimos los números surreales se van construyendo en pasos sucesivos. 

Cada número surreal, como dice la regla 1, se define como un par de conjuntos cuyos elementos son, a su vez,

 números surreales creados en pasos previos.

Vayamos ahora al primero de estos pasos.

 Al enfrentarnos al primer paso todavía no tenemos números construidos por lo que el único conjunto que podemos tomar es el conjunto vacío, que indicaremos como {}. 

En el primer paso, entonces,

sólo podemos definir el número surreal ({},{}), 

que, provisionalmente, llamaremos ?:

? = ({},{})

La regla 1 dice que ningún miembro del conjunto izquierdo puede ser mayor o igual que algún miembro del conjunto derecho. 

En efecto, ({},{}) cumple esta condición ya que no hay modo de hallar 

un elemento del conjunto izquierdo que sea mayor o igual que alguno del derecho. 

Un razonamiento similar nos permite probar (a partir de la regla 2) 

que es mayor o igual que sí mismo.

Para identificar a ? con un poco más de precisión necesitamos definir la operación de suma entre números surreales.

Suma: 

Si x = (A,B) e y = (C,D) entonces x + y es el número surreal z cuyos dos conjuntos se definen de la siguiente manera (indicamos como a un elemento genérico del conjunto A, lo mismo para B, C, D):

En el conjunto izquierdo de z aparecen todas las sumas de la forma a + y

 (es decir, todos los resultados que se obtiene al sumarle y a los elementos de A) y también todas las sumas de la forma c + x. 

(Se le suma x a los elementos izquierdos de y, 

y se le suma y a los elementos izquierdos de x.)

En el conjunto derecho de z aparecen todas las sumas de la forma b + y 

y también todas las sumas de la forma d + x.

Por inducción en el número de paso en que cada número ha sido creado, puede probarse que esta suma es (como toda suma debe ser) una operación asociativa y conmutativa.

Observemos también que si, por ejemplo, A es vacío entonces los elementos de la forma a + y simplemente no existen. 

Con esta consideración en mente es fácil ver que ? + ? = ?.

 Más aún, si x es un número surreal cualquiera puede probarse (nuevamente, por inducción en el número de paso en que x ha sido creado) que x + ? = x. 

Es decir, ? es el neutro de la suma y esto justifica que identifiquemos a ?

 con el símbolo 0:

0 = ({},{})

({},{}) es el número surreal 0

 ¿Qué relación existe entre este número surreal 0 y el númeroreal 0? 

Exploraremos esta pregunta más adelante.

Algunas observaciones sobre la suma

y el segundo paso

En el capítulo anterior decíamos que se puede probar, por inducción, que la suma de números surreales es una operación asociativa y conmutativa. 

Esto es verdad, sin embargo la prueba, cuando uno quiere escribirla con todo detalle, presenta una o dos complicaciones inesperadas. 

De todos modos, no es mi intención internarme aquí en detalles técnicos, sino comentar solamente algunas de las ideas más importantes relativas

 a los números surreales, por lo que, en adelante, omitiré las demostraciones cuando éstas sean complicadas.

Por otra parte, previamente a la prueba de la asociatividad

 y la conmutatividad de la suma, habría que probar el hecho de que la suma es una operación válida.

 Es decir, que si x e y son números surreales (ambos cumplen las condiciones indicadas en la regla 1), entonces x + ytambién cumple esas mismas restricciones. Como en el caso de la asociatividad y de la conmutatividad 

de la suma, aceptaremos este hecho sin adentrarnos en su demostración.

Vayamos ahora al segundo paso. 

En el primer paso obtuvimos el número surreal que hemos llamado 0

 (dado que es el neutro de la suma).

 En el segundo paso podemos formar dos nuevos números que, por el momento, llamaremos alfa y beta:

alfa = ({0},{})

beta = ({},{0})

Notemos que la construcción ({0},{0}) no define un número porque en ella

 el elemento del conjunto de la izquierda es mayor o igual que el elemento

 del conjunto de la derecha (y en consecuencia se viola la restricción 

de la regla 1).

Recordemos que, según la regla 2, un número es menor o igual que otro si 

y sólo si ningún elemento del conjunto izquierdo del primer número es mayor

 o igual que el segundo número y ningún elemento del conjunto derecho

 del segundo número es menor o igual que el primer número.

Tenemos entonces que beta = ({},{0}) es menor o igual que 0 = ({},{}) 

y que 0 = ({},{}) es menor o igual que alfa = ({0},{}).

En cambio 0 = ({},{}) no es menor o igual que beta = ({},{0}) ya que 

el elemento del conjunto derecho del segundo número es mayor o igual que 

el primer número. 

Por la misma razón alfano es menor o igual que 0. 

Podemos decir entonces que: alfa > 0 > beta.

Recordemos también que si x = (A,B) e y = (C,D) entonces x + y 

es el número surreal cuyos dos conjuntos se definen de la siguiente manera: en el conjunto izquierdo de la suma aparecen todas las sumas de la forma 

a + y y también todas las sumas de la forma c + x.

En el conjunto derecho de la suma aparecen todas las sumas de la forma

 b + y y también todas las sumas de la forma d + x. 

(Indicamos como a un elemento genérico del conjunto A,

 lo mismo para B, C, D.)

Según esta definición, alfa + beta = ({beta},{alfa}).

Aquí se ve una de las dificultades que aparecen al hacer demostraciones sobre la suma: aunque alfa y beta son números creados en el paso 1, su suma, en cambio, es un número que sólo puede ser definido en el paso 2

 (este detalle complica las demostraciones por inducción en las que uno necesita basarse en lo que sucede en los pasos previos).

Para determinar quién es alfa + beta debemos apelar a un teorema que se demuestra en el libro de Knuth, y que es fundamental para todo lo que haremos en adelante.

Teorema:

si x = (A,B) entonces x es estrictamente mayor que todos los números de A 

y estrictamente menor que todos los números de B.

 Más aún, x es el número más antiguo que cumple esa condición (donde "más antiguo" quiere decir "el que es creado en el paso de menor número posible").

Este teorema no dice que, dado que alfa > 0 > beta, entonces ({beta},{alfa}) = 0.

 Es decir,({beta},{alfa}) es otra representación del número 0, 

de la misma forma que en la aritmética usual 7/14

 es otra representación

del número 1/2.

Podemos decir entonces que -beta = alfa y que, en general,

 para todo número positivo x vale que ({-x},{x}) = 0