Decimos que una propiedad define a un número si esa propiedad es satisfecha solamente por ese número y por ningún otro objeto matemático (observemos, dicho sea de paso, que acabo de definir el concepto de definición).
Para evitar ambigüedades, admitiremos solamente definiciones que usen las letras del alfabeto castellano, más los dígitos del 0 al 9 y los símbolos de puntuación usuales.
Debe entenderse, por otra parte, que estamos hablando de números reales y no sólo de enteros o racionales.
Algunos ejemplos:
"Es el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro"
define al númeroi Pi
"Es el número ocho quintos" define al número 8/5.
"Es el resultado de sumar 2 más 3" define al número 5.
Diremos que un número es definible si existe alguna propiedad que lo define.
Los ejemplos que acabamos de ver nos dicen que Pi y 8/5
son números definibles.
En realidad todos los números racionales son definibles, aunque también son definibles algunos irracionales, como el ya mencionado Pi.
También son definibles, por ejemplo, el número e, la raíz cuadrada de dos
y el número de oro.
Incluyamos en este concepto a todas las definiciones concebibles, pasadas, presentes o futuras.
Es decir, definible será cualquier número que alguna vez haya sido definido (mediante una definición traducible al alfabeto castellano) o que pudiera llegar a ser definido en algún momento del futuro (no importa si esa definición alguna vez es escrita realmente, basta con que sea expresable en potencia).
Llamaremos inefables a los números no definibles.
Es decir, son inefables aquellos números que nunca han sido definidos
y que nunca, ni siquiera en teoría, podrían llegar a ser definidos en cualquier época o lugar.
La pregunta es ¿existen números inefables?
La respuesta
es que sí existen, veamos por qué.
Hace ya más de cien años Georg Cantor demostró que el conjunto de los números reales es no numerable.
Es decir, es imposible establecer una correspondencia uno-a-uno entre ese conjunto y el conjunto de los números naturales (que es el formado
por los números 0, 1, 2, 3,...).
Al conjunto de los números reales corresponde un orden de infinitud superior al del conjunto de los números naturales.
Ahora bien, puede probarse sin dificultad que el conjunto de todas las definiciones posibles es numerable.
El orden de infinitud de este conjunto es el mismo
que el del conjunto de los números naturales.
Por lo tanto, en un sentido bien definido, hay más números reales
que definiciones posibles y en consecuencia es imposible que a todo número real le corresponda una definición (pasada, presente o futura).
Hemos probado así que existen números inefables (de hecho, que existen infinitos números inefables).
¿Por ejemplo...? No hay ejemplos.
Por su propia naturaleza, es imposible señalar un número inefable
en concreto.
Todo número que seamos capaces de mencionar es,
inevitablemente, definible.
Hemos probado así la existencia de un conjunto infinito de números
de los cuales somos (y seremos por siempre) incapaces de señalar ni siquiera un ejemplo.
Pero sí podemos probar propiedades de estos números inefables.
Por ejemplo la siguiente:
Propiedad:
la suma de un número inefable más un número definible es un número inefable.
Demostración:
Sea x un número inefable cualquiera y sea q un número definible cualquiera.
Tenemos que probar que z = x + q es inefable.
Supongamos, por el absurdo, que z fuera definible.
Entonces, dado que x = z - q, entonces x sería definible porque se lo podría definir como "Es el resultado de restar el número que cumple que (cópiese aquí la definición de z) menos el número que cumple que (cópiese aquí la definición de q)".
Esto contradice la suposición de que x es inefable.
Por lo tanto z también es inefable. Q.E.D.
Ahora bien, ¿qué queremos decir en una demostración cuando decimos "sea x un número inefable cualquiera"?
¿Qué quiere decir "cualquiera"?
Suele entenderse que el uso de la palabra "cualquiera" indica que lo que se está haciendo es un "razonamiento genérico", un razonamiento que puede repetirse en cada caso particular.
Como si dijéramos "reemplace x por cualquier número inefable y verá que todo lo que se dice después es cierto".
Pero... ¿Cómo puede aceptarse en este caso una tal interpretación si es imposible (y será por siempre imposible) tomar ni siquiera un ejemplo particular?
¿Es válida la demostración de la propiedad?
¿Tiene sentido el concepto de número inefable, a pesar de que la Teoría de Conjuntos nos permite demostrar que existen infinitos de tales números?
Preguntas que quedan planteadas para quien quiera reflexionar sobre ellas.
Nota:
Como se acota en el primer comentario, en efecto las definiciones deben ser de longitud finita.
En principio no me pareció necesario aclararlo, ya que se sobreentiende que las definiciones son textos escritos (y leídos) por humanos y todos los textos escritos (y leídos) por humanos tienen, inevitablemente, una longitud finita.
Nótese que "Es el número 0,333...", que tiene una longitud finita (ya que abarca exactamente 18 símbolos, sin contar el acento y los espacios) no es una definición, a menos que se aclare qué significan los puntos suspensivos.
Tenemos, por un lado, una recta infinita.
Por otro lado tenemos una cantidad infinita de pequeños segmentos.
Uno de estos segmentos mide 1/2 cm, otro mide 1/4 cm, otro 1/8 cm.
y así sucesivamente.
Aunque la cantidad de segmentos es infinita, la suma total de sus longitudes es apenas 1 cm.
Si distribuyéramos los segmentos a lo largo de la recta, la longitud total que cubrirían sería de apenas 1 cm. (o menos todavía, si los segmentos
se superponen).
La intuición nos dice que, no importa cómo coloquemos los segmentos, inevitablemente quedarán grandes porciones de la recta sin cubrir.
Después de todo, estaríamos cubriendo apenas 1 cm.
de una recta de longitud infinita.
Imaginemos que hemos colocado, de alguna forma, los infinitos segmentos sobre la recta.
Tomemos ahora otro segmento de, digamos, 1 mm. de longitud.
Éste será nuestro segmento de prueba.
Si al colocar el segmento de prueba sobre la recta, éste toca a alguno de los infinitos segmentos que colocamos primero, entonces sonará una alarma.
Por "tocar" entendemos que haya una parte en común (que no se reduzca
a un solo punto) entre alguno de los segmentos iniciales y el segmento de prueba.
La intuición nos dice que, no importa cómo hayamos colocado los segmentos iniciales (que abarcan solamente 1 cm. en una recta de longitud infinita), habrá muchas formas de colocar el segmento de prueba sin que suene la alarma.
Sin embargo... existe una manera de ubicar los segmentos iniciales de tal modo que, no importa cómo se coloque el segmento de prueba, la alarma siempre suene.
Es decir, con segmentos que suman en total apenas 1 cm. de longitud
es posible cubrir casi totalmente una recta de longitud infinita.
Más exactamente, es posible cubrirla de tal modo que no haya en ella ni siquiera una parte de 1 mm. de longitud que quede sin ser tocada por al menos un segmento.
Más aún, lo mismo sucedería si en lugar de un segmento de prueba de 1 mm. de longitud hubiéramos elegido uno de 0,000000001 mm., o cualquier otra longitud aún menor (siempre que no fuera cero).
El modo de lograr este prodigo es el siguiente.
Es sabido que el conjunto de los números racionales es numerable, es decir, es posible establecer una correspondencia uno-a-uno entre el conjunto de los números racionales y el conjunto formado por 0, 1, 2, 3, 4,...
Fijemos una tal correspondencia y llamemos q0 al número racional que se corresponde con el 0, q1 al que se corresponde con el 1, y así sucesivamente. (Es interesante observar que esta correspondencia puede definirse explícitamente, por lo que podríamos decir concretamente quién es q0,
quién es q1, etc.)
Transformemos a la recta que teníamos al principio en una recta "numérica".
Para ello marquemos dos puntos a 1 cm. de distancia entre sí, a uno de ellos asignémosle el número 0 y al otro, el número 1.
De la manera usual quedan asignados todos los números racionales.
Pasemos ahora a ubicar los segmentos:
El segmento de longitud 1/2 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo
[q0 - 1/4, q0 + 1/4].
El de longitud 1/4 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo
[q1 - 1/8, q1 + 1/8].
El de longitud 1/8 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo
[q2 - 1/16, q2 + 1/16].
Y así sucesivamente.
No es difícil probar que esta distribución cumple las condiciones indicadas antes: la suma total de los segmentos es 1 cm., pero no hay ninguna parte
de longitud 1 mm. (o menor) que quede sin ser tocada por al menos
un segmento.
Para demostrar esto último, imaginemos que colocamos nuestro segmento de prueba de modo que coincida con el intervalo [a, b].
Ese intervalo (no importa su longitud, siempre que no sea nula) contiene
al menos un número racional qn tal que b > qn > a.
Por lo tanto, el segmento de prueba se toca con el segmento centrado en qn.
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