jueves, 13 de septiembre de 2012

Ecuación de difusión (20736)

La función de distribución de partículas resulta de resolver una ecuación en derivadas parciales, que trata de modelar la dinámica de un aerosol,
 tanto por procesos internos, conocidos como difusión, como por fenómentos de fuerzas externas.

Ecuación de difusión convectiva
La deducción de la ecuación se realiza a partir de un balance de materia 
a un volumen de control infinitesimal. 
Para el caso de la difusión, vamos a suponer que las partículas entran
 al volumen de control con una cierta velocidad \bar{u}, que determina la tasa
 a la que las partículas son arrastradas hacia el volumen de control.
Para el volumen de control dado, el flujo de partículas va según el eje x ,
 por tanto, el flujo de partículas entrantes viene dado por la siguiente relación:


\displaystyle{\delta y\delta z\left[n\cdot u_{x} -\frac{\delta x}{2}\frac{\partial\left(n\cdot u\right)}{\partial x}\right]}

Para el flujo saliente tenemos análogamente:

\displaystyle{\delta y\delta z\left[n\cdot u_{x} +\frac{\delta x}{2}\frac{\partial\left(n\cdot u\right)}{\partial x}\right]}

Recordemos que la diferencia entre lo que entra y lo que sale es la tasa de acumulación de partículas según el eje x:

\displaystyle{-\delta x\delta y\delta z\cdot \frac{\partial \left(n\cdot u_{x}\right)}{\partial x}}

Para el resto de los ejes se obtienen expresiones análogas. 
Sumando para los tres ejes, obtenemos la tasa neta de acumulación:

\displaystyle{-\delta x\delta y\delta z\left[\frac{\partial\left(n\cdot u\right)}{\partial x}+\frac{\partial\left(n\cdot u\right)}{\partial y}+\frac{\partial\left(n\cdot u\right)}{\partial z}\right]\, =\, -\delta x\delta y\delta z \bar{\nabla}\cdot n\cdot \bar{u}}

La ecuación anterior es la ecuación de difusión pura y dura, sin tener en cuenta los efectos de fuerzas externas. 
Teniendo en cuenta dichas fuerzas llegamos a la siguiente expresión


\displaystyle{\frac{\partial n\delta x\delta y\delta z}{\partial t}\, =\, -\delta x\delta y\delta z\bar{\nabla}\cdot n\bar{u}\, +\, \delta x\delta y\delta z\bar{\nabla}\cdot \left(D\bar{\nabla}n\, -\, \bar{c}n\right)}

Podemos reorganizar un poco la ecuación anterior, ya que vista así parece un poco más farragosa de lo que en realidad es. 
Además, vamos a desarrollar el término

\nabla\left(n\cdot \vec{v}\right)\, =\, n\cdot \nabla \vec{v}\, +\, \vec{v}\cdot \nabla n

 Asimiento flujo incompresible (a veces también son estos flujos incomprensibles) esto es

\mathbf{\nabla}\cdot \mathbf{u}\, =\, 0

que el coeficiente de difusión  es constante y dividiendo por el elemento diferencial de volumen

\delta x\delta y\delta z

llegamos a la ecuación de difusión

\displaystyle{\frac{\partial n}{\partial t}\, +\, \mathbf{u}\cdot \mathbf{\nabla}n\, =\, D\mathbf{\nabla}^2n\, -\, \mathbf{\nabla}\cdot \mathbf{c}n}
El campo de velocidades del fluido  viene determinado por el régimen mecánico del fluido. En algunos casos, dicho campo de velocidades puede ser obtenido resolviendo las ecuaciones de Navier-Stokes.
 En otro post trataremos estas ecuaciones, su deducción y veremos soluciones. Todo un mundo por descubrir…¿o no?
Por supuesto, ya saben que el coeficiente de difusión puede obtenerse según varias perspectivas y campos distintos de enfoque. 
Pero esto también merece varios posts para él solito,
 ya que es harina de otro costal.
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