jueves, 13 de septiembre de 2012

El operador nabla (20737)

Sin duda, uno de los operadores más conocidos, utilizados y reputados en el mundo de la Física y de las Matemáticas es el operador nabla. 
Este operador se denota con el símbolo \nabla.

Definición Matemática
 El operador nabla en coordenadas cartesianas se puede definir este operador de la siguiente forma:

\displaystyle{\nabla = \hat{x}{\partial \over \partial x} + \hat{y}{\partial \over \partial y} + \hat{z}{\partial \over \partial z}}

Los vectores \displaystyle{\hat{x},\, \hat{y},\, \hat{z}}
 son los vectores unitarios en cada uno de los ejes coordenados ortogonales.
Se puede transformar dicho operador en otras sistemas de coordenadas.
 La vamos a reproducir aquí por completitud, pero vamos a llegar a la expresión de dicho operador de otra manera.

\displaystyle{\nabla = \frac{\hat{q}_1}{h_1}{\partial \over \partial q_1}\, + \, \frac{\hat{q}_2}{h_2}{\partial \over \partial q_2}\, +\, \frac{\hat{q}_3}{h_3}{\partial \over \partial q_3}}
En la expresión anterior aparecen los llamados factores de escala que no son más que la forma en que el tensor métrico de un determinado sistema de coordenadas está expresado con referencia precisamente
 a dicho sistema de coordenadas.
 Quizás y por su importancia, le dedicaremos otro post a este tema, ya que el cálculo tensorial es muy importante en física y como comprobaremos en este viaje, es omnipresente, ya que hasta los escalares son tensores…sí, de un orden determinado (concretamente de orden nulo) pero tensores al fin y al cabo.
Para centrar ideas, de forma muy breve diremos que un tensor es una entidad que se transforma de una forma determinada cuando se realizan
 cambios en los ejes de coordenadas. 
Usualmente se utiliza la notación matricial para expresarlos y los cambios de 
un sistema de coordendas a otro vienen dados por productos de matrices.
Que me perdonen los puristas si no soy muy puntilloso (o riguroso) 
con las definiciones, pero creo que debemos primero centrar ideas.
Bien, una vez dicho esto, vamos a ver cómo podemos deducir la expresión del operador \nabla  en otros sistemas de coordenadas.
El operador nabla en coordenadas cilíndricas
Como partimos de las coordenadas cartesianas, vamos a recordar cómo se expresan las coordenadas cartesianas en función de las coordenadas cilíndricas:

Relación coordenadas cartesianas y cilíndricas

Las ecuaciones de transformación entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas son:

\displaystyle{x\, =\, \rho\cdot \cos\left(\varphi\right)}

\displaystyle{z\, =\, z}\displaystyle{y\, =\, \rho\cdot \sin\left(\varphi\right)}

Y las transformadas inversas


\displaystyle{\rho\, =\, \sqrt{x^2\, +\, y^2}}

\displaystyle{\varphi\, =\, \arctan\frac{y}{x}}

\displaystyle{z\, =\, z}

Como ven, tenemos tres funciones f_{i}\left( \rho,\, \varphi,\, z\right) y sus inversas g_{i}\left( x,\, y,\, z\right) donde i=1,2,3 para representar la transformaciones.
 Sirviéndonos de la regla de la cadena, podemos deducir las derivadas con respecto a una variable en función de sus variables transformadas. 
Así, para la coordenada  x tenemos:

\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}\, =\, \frac{\partial}{\partial \rho}\frac{\partial \rho}{\partial x}\, +\, \frac{\partial}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial x}}

Para la coordenada  tenemos:

\displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}\, =\, \frac{\partial}{\partial \rho}\frac{\partial \rho}{\partial y}\, +\, \frac{\partial}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial y}}
Para la coordenada  es extremadamente fácil:

\displaystyle{\frac{\partial}{\partial z}\, =\, \frac{\partial}{\partial z}}
Nos quedan por determinar, para completar el cambio, las siguientes derivadas:

\displaystyle{\frac{\partial \rho}{\partial x}\, =\, \frac{x}{\sqrt{x^2\, +\, y^2}}\, =\, \frac{\rho \cos\left( \varphi \right)}{\rho}\, =\, cos\left( \varphi \right)}

\displaystyle{\frac{\partial \rho}{\partial y}\, =\, \frac{y}{\sqrt{x^2\, +\, y^2}}\, =\, \frac{\rho \sin\left( \varphi \right)}{\rho}\, =\, \sin\left( \varphi \right)}

\displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial x}\, =\, -\frac{\frac{y}{x^2}}{1\, +\, \left(\frac{y}{x}\right)^2}\, =\, -\frac{\frac{\rho \sin\left( \varphi\right)}{\rho^2 \cos^2\left( \varphi\right)}}{1\, +\, \left(\frac{\rho \sin\left( \varphi\right)}{\rho \cos^2\left( \varphi\right)}\right)}\, =\, -\frac{\frac{\sin \left( \varphi\right)}{\rho \cos^2\left( \varphi\right)}}{\frac{1}{\cos^2\left( \varphi\right)}}\, =\, -\frac{\sin\left( \varphi\right)}{\rho}}

\displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial y}\, =\, \frac{\frac{1}{x}}{1\, +\, \left(\frac{y}{x}\right)^2}\, =\, \frac{\frac{1}{\rho \cos\left( \varphi\right)}}{1\, +\, \left(\frac{\rho \sin\left( \varphi\right)}{\rho \cos^2 \left( \varphi\right)}\right)}\, =\, \frac{\frac{1}{\rho \cos^2 \left( \varphi\right)}}{\frac{1}{\rho^2 \cos^2 \left( \varphi \right)}} \, =\, \frac{\cos\left( \varphi\right)}{\rho}}

Por tanto, el operador  \nablaqueda de la siguiente manera:

\displaystyle{\Bigg ( \frac{\partial}{\partial \rho}\cos\left( \varphi\right)\, -\, \frac{\partial}{\partial \varphi}\frac{\sin\left( \varphi\right)}{\rho}, \, \frac{\partial}{\partial \rho}\sin\left( \varphi\right)\, +\, \frac{\partial}{\partial \varphi}\frac{cos\left( \varphi\right)}{\rho}\, ,\, \frac{\partial}{\partial z} \Bigg)}

Nos queda un pequeño paso para tener el operador \nabla en cilíndricas,
 más concretamente, el grandiente. 
Bien, pues si se han fijado, dicho gradiente en cartesianas es el producto escalar del operador  \nablacon los vectores unitarios según los ejes coordenados. Efectivamente, lo han adivinado, falta por expresar los vectores unitarios cartesianos en coordenadas cilíndricas.
 Los cambios de los vectores son (lo podemos comprobar):

\displaystyle{\hat{e}_{x}\, =\, \cos\left( \varphi\right) \hat{e}_{\rho}\, -\sin(\varphi) \hat{e}_{\varphi}}
\displaystyle{\hat{e}_{y}\, =\, \sin\left( \varphi\right) \hat{e}_{\rho}\, +\cos(\varphi) \hat{e}_{\varphi}}

\displaystyle{\hat{e}_{z}\, =\, \hat{e}_{z}}
Para obtener el gradiente, simplemente realizamos el producto escalar entre el operador  y el vector formado por las componentes anteriores, quedando:

\displaystyle{\nabla \, =\, \frac{\partial}{\partial \rho} \hat{e}_{\rho}\, +\, \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \varphi} \hat{e_{\varphi}}\, +\, \frac{\partial}{\partial z} \hat{e}_{z}}
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