domingo, 12 de mayo de 2013

Café matemático... Campos conservativos


Sea A \subseteq {\mathbb R}^n abierto. Se dice que un campo vectorial {\bf f} \colon A \to {\mathbb R}^n es conservativo si existe un campo escalar latex g \colon A \to {\mathbb R} tal que {\bf f} = \nabla g.
 Se dice que el campo g es un potencial escalar del campo {\bf f}. Si A es un abierto conexo, dos potenciales escalares de un mismo campo vectorial difieren en una constante.

Sea {\bf r} \colon [a,b] \to {\mathbb R}^n una curva parametrizada simple regular de clase C^1 con {\bf r}([a,b]) \subseteq A.Según la regla de la cadena se tiene
\displaystyle{\frac{d}{dt} g({\bf r}(t))= \nabla g ({\bf r}(t)) \cdot {\bf r}^\prime(t)={\bf f}({\bf r}(t)) \cdot {\bf r}^\prime(t)}
y por lo tanto la integral del campo {\bf f} a lo largo de la curva C={\bf r}([a,b]) viene dada por
\displaystyle{\int_C {\bf f} \cdot d{\bf r}= g({\bf r}(b))-g({\bf r}(a)),}
es decir, que la integral de línea tiene el mismo valor a lo largo de aquellas curvas que tienen el mismo origen y el mismo extremo. Este curioso fenómeno se conoce como independencia del camino. Es fácil probar la siguiente
Proposición. Sea A \subseteq {\mathbb R}^n un abierto conexo y sea {\bf f} \colon A \to {\mathbb R}^n un campo vectorial continuo. Son equivalentes:
  1. {\bf f} es conservativo,
  2. Si C \subseteq A es cualquier curva simple, cerrada y regular a trozos entonces \displaystyle{\oint_C {\bf f} \cdot d{\bf r}=0,}
  3. La integral de línea \displaystyle{\int_C {\bf f} \cdot d{\bf r}} es independiente del camino.
La energía cinética de una partícula que recorre una curva parametrizada
 {\bf r} \colon [a,b] \to {\mathbb R}^nviene dada por la expresión
\displaystyle{E_c=\frac{1}{2} m \|{\bf r}^\prime(t)\|^2}
La energía potencial de la partícula en un campo de fuerzas conservativo
 {\bf f} = - \nabla u viene dada por la expresión
\displaystyle{E_p=u({\bf r}(t)).}
La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la energía potencial:
E=E_c + E_p.
La segunda ley de Newton asegura que {\bf f}({\bf r}(t))= m {\bf r}^{\prime \prime}(t)). 
Se sigue de la regla de la cadena que
\displaystyle{-\frac{d}{dt} u({\bf r}(t))= -\nabla u ({\bf r}(t)) \cdot {\bf r}^\prime(t) = {\bf f}({\bf r}(t)) \cdot {\bf r}^\prime(t)= m {\bf r}^{\prime \prime}(t) \cdot {\bf r}^\prime(t) = \frac{d}{dt} \frac{1}{2}m \|{\bf r}^\prime(t)\|^2,}
y por lo tanto
\displaystyle{\frac{d}{dt} \left [ \frac{1}{2} m \|{\bf r}^\prime(t)\| + u({\bf r}(t)) \right ]=0.}
de donde se deduce el principio de conservación de la energía, es decir, que en un campo conservativo la energía mecánica permanece constante a lo largo de las trayectorias.
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